中考数学专题复习讲座第九讲分式方程


中考数学专题复习第九讲:分式方程
【基础知识回顾】 一、 分式方程的概念 分母中含有 的方程叫做分式方程 【名师提醒:分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据】 二、分式方程的解法: 1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程:即分式

方程整式

﹥方程

转化
2、解分式方程的一般步骤: 1、 2、 3、 3、培根: 在进行分式方程去分母的变形时,有时可产生使原方程分母为 的根称为方程的 培根。因此,解分式方程时必须验根,验根的方法是代入最简公分母,使最简公分母为 的根是培根应舍去。 【名师提醒:1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤,不被省略 2、分式方程的培根与无解并非用一个概念,无解完包含产生培根这一情况, 也包含原方程去分母后的整式方程无解。如:

x?a 3 x ?1 x

=1 无解,有 a 的值培根】

三、分式方程的应用: 解题步骤同其它方程的应用一样,不同的是列出的方程是分式方程,所以在解分式方程 应用题同样必须 完要检验是否为原方程的根,又要检验是否符合题意。 【名师提醒:分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等,其中行程问 题中又出现逆水、顺水、航行这一类型】 【重点考点例析】 考点一:分式方程的概念(解为正、负数) 例1 (2009?孝感)关于 x 的方程

2x ? a ? 1 的解是正数,则 a 的取值范围是( x ?1



A.a>-1 B.a>-1 且 a≠0 C.a<-1 D.a<-1 且 a≠-2 思路分析:先解关于 x 的分式方程,求得 x 的值,然后再依据“解是正数”建立不等式求 a 的取值范围. 解:去分母得,2x+a=x-1, ∴x=-1-a, ∵方程的解是正数, ∴-1-a>0 即 a<-1。 又因为 x-1≠0, ∴a≠-2。

1

则 a 的取值范围是 a<-1 且 a≠-2 故选 D. 点评:由于我们的目的是求 a 的取值范围,根据方程的解列出关于 a 的不等式,另外,解答 本题时,易漏掉 a≠-2,这是因为忽略了 x-1≠0 这个隐含的条件而造成的,这应引起同学 们的足够重视. 例2 (2012?鸡西)若关于 x 的分式方程

2m ? x 2 ? 1 ? 无解,则 m 的值为( x?3 x



A.-1.5 B.1 C.-1.5 或 2 D.-0.5 或-1.5 思路分析:去分母得出方程①2m+x)x-x(x-3)=2(x-3),分为两种情况:①根据方程无 解得出 x=0 或 x=3,分别把 x=0 或 x=3 代入方程①,求出 m;②求出当 2m+1=0 时,方程也无 解,即可得出答案. 解:方程两边都乘以 x(x-3)得:(2m+x)x-x(x-3)=2(x-3), 即(2m+1)x=-6,① ①∵当 2m+1=0 时,此方程无解, ∴此时 m=-0.5, ②∵关于 x 的分式方程

2m ? x 2 ? 1 ? 无解, x?3 x

∴x=0 或 x-3=0, 即 x=0,x=3, 当 x=0 时,代入①得:(2m+0)×0-0×(0-3)=2(0-3), 解得:此方程无解; 当 x=3 时,代入①得:(2m+3)×3-3(3-3)=2(3-3), 解得:m=-1.5, ∴m 的值是-0.5 或-1.5, 故选 D. 点评:本题考查了对分式方程的解的理解和运用,关键是求出分式方程无解时的 x 的值,题 目比较好,需要考虑周全,不要漏解,难度也适中.

对应训练 1.(2010?牡丹江)已知关于 x 的分式方程 值范围是 1.a>0 且 a≠2 .

2 a =1 的解为负数,那么字母 a 的取 x?2 x?2

2.(2011?黑龙江)已知关于 x 的分式方程 为 .

a 2a ? x ? 1 =0 无解,则 a 的值 x ?1 x2 ? x

1 2.0、 、或-1 2

2

2.解:去分母得 ax-2a+x+1=0. ∵关于 x 的分式方程

a 2a ? x ? 1 =0 无解, x ? 1 x2 ? x

(1)x(x+1)=0, 解得:x=-1,或 x=0, 当 x=-1 时,ax-2a+x+1=0,即-a-2a-1+1=0, 解得 a=0, 当 x=0 时,-2a+1=0, 解得 a=

1 . 2

(2)方程 ax-2a+x+1=0 无解, 即(a+1)x=2a-1 无解, ∴a+1=0,a=-1. 故答案为:0、

1 或-1. 2

点评:本题主要考查了分式方程无解的情况,需要考虑周全,不要漏解,难度适中.

考点二:分式方程的解法 例3 (2012?上海)解方程:

x 6 1 ? 2 ? . x?3 x ?9 x ?3

思路分析:观察可得最简公分母是(x+3)(x-3),方程两边乘最简公分母,可以把分式方 程转化为整式方程求解. 解:方程的两边同乘(x+3)(x-3),得 x(x-3)+6=x+3, 2 整理,得 x -4x+3=0, 解得 x1=1,x2=3. 经检验:x=3 是方程的增根,x=1 是原方程的根, 故原方程的根为 x=1. 点评:本题考查了分式方程的解法.注意:(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”, 把分式方程转化为整式方程求解.(2)解分式方程一定要验根. 对应训练 3.(2012?苏州)解分式方程: 3.解:去分母得:3x+x+2=4,

3 1 4 ? ? 2 . x ? 2 x x ? 2x

1 , 2 1 经检验,x= 是原方程的解. 2
解得:x=
3

考点三:分式方程的增根问题 例 4 (2012?攀枝花)若分式方程:2+ 思路分析:把 k 当作已知数求出 x= x=2,得出方程

1 ? kx 1 = 有增根,则 k= x?2 2? x



2 ,根据分式方程有增根得出 x-2=0,2-x=0,求出 2?k

2 =2,求出 k 的值即可. 2?k 1 ? kx 1 解:∵分式方程 2+ = 有增根, x?2 2? x
去分母得:2(x-2)+1-kx=-1, 整理得:(2-k)x=2, 当 2-k≠0 时,x=

2 ; 2?k

当 2-k=0 是,此方程无解,即此题不符合要求; ∵分式方程 2+

1 ? kx 1 = 有增根, x?2 2? x

∴x-2=0,2-x=0, 解得:x=2, 即

2 =2, 2?k

解得:k=1. 故答案为:1. 点评:本题考查了对分式方程的增根的理解和运用,题目比较典型,是一道比较好的题目, 增根问题可按如下步骤进行: ①根据最简公分母确定增根的值; ②化分式方程为整式方程; ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 对应训练 4.(2012?佳木斯)已知关于 x 的分式方程 4.1 4.解:方程两边都乘以(x+2)得, a-1=x+2, ∵分式方程有增根, ∴x+2=0, 解得 x=-2, ∴a-1=-2+2,

a ?1 =1 有增根,则 a= x?2



4

解得 a=1. 故答案为:1.

考点四:分式方程的应用 例 5 (2012?岳阳)岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动,其中某项工程,若由甲、 乙两建筑队合做,6 个月可以完成,若由甲、乙两队独做,甲队比乙队少用 5 个月的时间完 成. (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间? (2)已知甲队每月施工费用为 15 万元,比乙队多 6 万元,按要求该工程总费用不超过 141 万元,工程必须在一年内竣工(包括 12 个月).为了确保经费和工期,采取甲队做 a 个月, 乙队做 b 个月(a、b 均为整数)分工合作的方式施工,问有哪几种施工方案? 思路分析:(1)设乙队需要 x 个月完成,则甲队需要(x-5)个月完成,根据两队合作 6 个月完成求得 x 的值即可; (2)根据费用不超过 141 万元列出一元一次不等式求解即可. 解:(1)设乙队需要 x 个月完成,则甲队需要(x-5)个月完成,根据题意得:

1 1 1 ? ? , x?5 x 6
解得:x=15, 经检验 x=15 是原方程的根. 答:甲队需要 10 个月完成,乙队需要 15 个月完成; (2)根据题意得:15a+9b≤141,

a b ? ?1, 10 15
解得:a≤4 b≥9. ∵a、b 都是整数 ∴a=4 b=9 或 a=2 b=12 点评:此题主要考查了分式方程的应用,关键是弄清题意,找出题目中的等量关系,列出方 程,列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这 5 步进行做题, 规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.

对应训练 5.(2012?珠海)某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支,第二次又用 600 元购进该款 铅笔,但这次每支的进价是第一次进价的

5 倍,购进数量比第一次少了 30 支. 4

(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元? (2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于 420 元,问每支售价 至少是多少元? 5.解:(1)设第一次每支铅笔进价为 x 元, 根据题意列方程得,

5

600 600 ? ? 30 , 5 x x 4
解得,x=4, 检验:当 x=4 时,分母不为 0,故 x=4 是原分式方程的解. 答:第一次每只铅笔的进价为 4 元. (2)设售价为 y 元,根据题意列不等式为:

600 600 ? ( y ? 4) ? ? ( y ? 5) …420 , 5 4 4? 4
解得,y≥6. 答:每支售价至少是 6 元.

【聚焦山东中考】 1. (2012?莱芜)对于非零的实数 a、b,规定 a⊕b= ﹣ .若 2⊕(2x﹣1)=1,则 x=( A. B. C. D. ﹣ )

考点: 解分式方程。 专题: 新定义。 分析: 根据新定义得到 ﹣ =1,然后把方程两边都乘以 2(2x﹣1)得到 2﹣(2x﹣

1)=2(2x﹣1) ,解得 x= ,然后进行检验即可. 解答: 解:∵2⊕(2x﹣1)=1, ∴ ﹣ =1,

去分母得 2﹣(2x﹣1)=2(2x﹣1) , 解得 x= , 检验:当 x= 时,2(2x﹣1)≠0, 故分式方程的解为 x= . 故选 A. 点评: 本题考查了解分式方程:先去分母,把分式方程转化为整式方程,解整式方程,然 后把整式方程的解代入原方程进行检验,最后确定分式方程的解.也考查了阅读理解能力. 2.(2012?潍坊)方程 2.x=30
6

66 60 ? ? 0 的根是 x?3 x



3. (2012?日照)某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包,文具店 规定一次购买 400 个以上,可享受 8 折优惠.若给九年级学生每人购买一个,不能享受 8 折优惠,需付款 1936 元;若多买 88 个,就可享受 8 折优惠,同样只需付款 1936 元.请问 该学校九年级学生有多少人? 3.解:设九年级学生有 x 人,根据题意,列方程得:

1936 1936 ? 0.8 ? , x x ? 88
整理得:0.8(x+88)=x, 解之得:x=352, 经检验 x=352 是原方程的解.) 答:这个学校九年级学生有 352 人. 4.(2012?青岛)小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家,她去时经过环湾高速公路,全程约 84 千米,返回时经过跨海大桥,全程约 45 千米.小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的 1.2 倍,所用时间却比返回时多 20 分钟.求小丽所乘汽车返回时的平均速度. 4.解:设小丽所乘汽车返回时的平均速度是 x 千米/时,根据题意得:

84 45 20 ? ? , 1.2 x x 60
解这个方程,得 x=75, 经检验,x=75 是原方程的解. 答:小丽所乘汽车返回时的速度是 75 千米/时. 5. (2012?临沂)某工厂加工某种产品.机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品 的数量的 2 倍多 9 件,若加工 1800 件这样的产品,机器加工所用的时间是手工加工所用时 间的

3 倍,求手工每小时加工产品的数量. 7

5.解:设手工每小时加工产品 x 件,则机器每小时加工产品(2x+9)件, 根据题意可得:

1800 3 1800 ? ? , x 7 2x ? 9
解方程得 x=27, 经检验,x=27 是原方程的解, 答:手工每小时加工产品 27 件. 6. (2012?济南)冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节,他们采摘了油桃和樱桃两种水 果,其中油桃比樱桃多摘了 5 斤,若采摘油桃和樱桃分别用了 80 元,且樱桃每斤价格是油 桃每斤价格的 2 倍,问油桃和樱桃每斤各是多少元? 6.解:设油桃每斤为 x 元,则樱桃每斤是 2x 元, 根据题意得出:

80 80 ? ? 5, x 2x
解得:x=8, 经检验得出:x=8 是原方程的根, 则 2x=16, 答:油桃每斤为 8 元,则樱桃每斤是 16 元.

7

7. (2012?泰安)一项工程,甲,乙两公司合做,12 天可以完成,共需付施工费 102000 元; 如果甲,乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的 1.5 倍,乙公司每天的施 工费比甲公司每天的施工费少 1500 元. (1)甲,乙两公司单独完成此项工程,各需多少天? (2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少? 7.解:(1)设甲公司单独完成此项工程需 x 天,则乙公司单独完成此项工程需 1.5x 天. 根据题意,得

1 1 1 ? ? , x 1.5 x 12

解得 x=20, 经检验知 x=20 是方程的解且符合题意. 1.5x=30 故甲,乙两公司单独完成此项工程,各需 20 天,30 天; (2)设甲公司每天的施工费为 y 元,则乙公司每天的施工费为(y-1500)元, 根据题意得 12(y+y-1500)=102000,解得 y=5000, 甲公司单独完成此项工程所需的施工费:20×5000=100000(元); 乙公司单独完成此项工程所需的施工费:30×(5000-1500)=105000(元); 故甲公司的施工费较少. 8. (2012?威海)小明计划用 360 元从大型系列科普丛书《什么是什么》 (每本价格相同)中 选购部分图书.“六一”期间,书店推出优惠政策:该系列丛书 8 折销售.这样,小明比原 计划多买了 6 本.求每本书的原价和小明实际购买图书的数量. 考点: 分式方程的应用。 分析: 根据: 用 360 元钱打折后可购书本数﹣打折前 360 元钱可购书本数=6, 列分式方程. 解答: 解:设每本书的原价为 x 元,根据题意,得 , 解这个方程,得 x=15, 经检验,x=15 是所列方程的根, 则 (本) ,

所以,每本书的原价为 15 元,小明实际可购买图书 30 本. 点评: 本题考查了分式方程的应用. 利用分式方程解应用题时, 一般题目中会有两个相等 关系,这时要根据题目所要解决的问题,选择其中的一个相等关系作为列方程的依据,而另 一个则用来设未知数.

8

【备考真题过关】 一、选择题 1. (2012?丽水)把分式方程 A.x 1.D. B.2x

2 1 ? 转化为一元一次方程时,方程两边需同乘以( x?4 x
D.x(x+4)



C.x+4

2.(2012?随州)分式方程 A.v=-20 2.B. B.v=5

100 60 ? 的解是( 20 ? v 20 ? v
C.v=-5 D.v=20



3.(2012?宜宾)分式方程

12 2 1 ? ? 的解为( x ?9 x ?3 x ?3
2



A.3 B.-3 C.无解 D.3 或-3 3.C 4.(2012?台州)小王乘公共汽车从甲地到相距 40 千米的乙地办事,然后乘出租车返回, 出租车的平均速度比公共汽车多 20 千米/时,回来时路上所花时间比去时节省了 共汽车的平均速度为 x 千米/时,则下面列出的方程中正确的是( )

1 ,设公 4

40 3 40 ? ? x ? 20 4 x 40 1 40 ? ? C. x ? 20 4 x
A.

B.

40 3 40 ? ? x 4 x ? 20 40 40 1 ? ? D. x x ? 20 4

4.A 5.(2012?宁夏)运动会上,初二(3)班啦啦队,买了两种价格的雪糕,其中甲种雪糕共 花费 40 元,乙种雪糕共花费 30 元,甲种雪糕比乙种雪糕多 20 根.乙种雪糕价格是甲种雪 糕价格的 1.5 倍,若设甲种雪糕的价格为 x 元,根据题意可列方程为( )

40 30 ? ? 20 1.5 x x 30 40 ? ? 20 C. x 1.5 x
A. 5.B

40 30 ? ? 20 x 1.5 x 30 40 ? ? 20 D. 1.5 x x
B.

7. (2012?本溪)随着生活水平的提高,小林家购置了私家车,这样他乘坐私家车上学比乘 坐公交车上学所需的时间少用了 15 分钟,现已知小林家距学校 8 千米,乘私家车平均速度 是乘公交车平均速度的 2.5 倍,若设乘公交车平均每小时走 x 千米,根据题意可列方程为 ( ) A. B. C. D.

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考点: 由实际问题抽象出分式方程。 分析: 根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的 2.5 倍, 乘坐私家车上学比乘坐公交 车上学所需的时间少用了 15 分钟,利用时间得出等式方程即可. 解答: 解:设乘公交车平均每小时走 x 千米,根据题意可列方程为: = + ,

故选:D. 点评: 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程, 解题关键是正确找出题目中的相等关 系,用代数式表示出相等关系中的各个部分,把列方程的问题转化为列代数式的问题.

8. (2012?吉林)某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器,现在生产 600 台机器所需 的时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同. 设原计划每天生产 x 台机器, 则可列方程为 ( ) A. B. C. D.

考点: 由实际问题抽象出分式方程。 分析: 根据现在生产 600 台机器的时间与原计划生产 450 台机器的时间相同, 所以可得等 量关系为:现在生产 600 台机器时间=原计划生产 450 台时间. 解答: 解:设原计划每天生产 x 台机器,则现在可生产(x+50)台. 依题意得: = .

故选:C. 点评: 此题主要考查了列分式方程应用,利用本题中“现在平均每天比原计划多生产 50 台机器”这一个隐含条件,进而得出等式方程是解题关键. 9. (2012?黑河)若关于 x 的分式方程 A.﹣1.5 B. 1 = 无解,则 m 的值为( C. ﹣1.5 或 2 )

D. ﹣0.5 或﹣1.5

考点: 分式方程的解。 分析: 先把方程两边乘以 x(x﹣3)得到 x(2m+x)﹣x(x﹣3)=2(x﹣3) ,整理得(2m+1) x=﹣6,由于关于 x 的分式方程 = 无解,则可能有 x=3 或 x=0,然后分别把它们

代入(2m+1)x=﹣6,即可得到 m 的值,然后再讨论方程(2m+1)x=﹣6 无解得到 m=﹣ . 解答: 解:去分母得,x(2m+x)﹣x(x﹣3)=2(x﹣3) , 整理得, (2m+1)x=﹣6, ∵关于 x 的分式方程 = 无解,

∴x=3 或 x=0, 把 x=3 代入(2m+1)x=﹣6 得, (2m+1)×3=﹣6,解得 x=﹣1.5; 把 x=0 代入(2m+1)x=﹣6 得, (2m+1)×0=﹣6,无解,

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又∵2m+1=0 时,方程(2m+1)x=﹣6 无解, ∴m=﹣ , 所以 m 的值为﹣1.5 或﹣0.5. 故选 D. 点评: 本题考查了分式方程的解: 把分式方程转化为整式方程, 然后把整式方程的解代入 原方程进行检验, 若整式方程的解使分式方程的分母不为零, 则这个整式方程的解是分式方 程的解;若整式方程的解使分式方程的分母为零,则这个整式方程的解是分式方程的增根. 10. (2012?赤峰)解分式方程 A.1 B. ﹣1 C. ﹣2 的结果为( )

D. 无解

考点: 解分式方程。 分析: 观察可得最简公分母是(x﹣1) (x+2) ,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程 转化为整式方程求解. 解答: 解:方程的两边同乘(x﹣1) (x+2) , 得:x+2=3 解得:x=1. 检验:把 x=1 代入(x﹣1) (x+2)=0,即 x=1 不是原分式方程的解. 则原分式方程无解. 故选 D. 点评: 此题考查了分式方程的求解方法.此题比较简单,注意掌握转化思想的应用,注意 解分式方程一定要验根. 二、填空题 11.(2012?襄阳)分式方程

2 5 ? 的解是 x x?3



11.x=2 12.(2012?铁岭)某城市进行道路改造,若甲、乙两工程队合作施工 20 天可完成;若甲、 乙两工程队合作施工 5 天后,乙工程队在单独施工 45 天可完成.求乙工程队单独完成此工 程需要多少天?设乙工程队单独完成此工程需要 x 天,可列方程为 . 12.

5 45 ? ?1 20 x
,② ,③ ;请利用它们所

13. (2012?资阳)观察分析下列方程:①

蕴含的规律,求关于 x 的方程

(n 为正整数)的根,你的答案是:



考点: 分式方程的解。 专题: 规律型。

11

分析: 首先求得分式方程①②③的解,即可得规律:方程 x+

=a+b 的根为:x=a 或 x=b,

然后将 x+

=2n+4 化为(x﹣3)+

=n+(n+1) ,利用规律求解即可求得答案.

解答: 解:∵由①得,方程的根为:x=1 或 x=2, 由②得,方程的根为:x=2 或 x=3, 由②得,方程的根为:x=3 或 x=4, ∴方程 x+ =a+b 的根为:x=a 或 x=b,

∴x+

=2n+4 可化为(x﹣3)+

=n+(n+1) ,

∴此方程的根为:x﹣3=n 或 x﹣3=n+1, 即 x=n+3 或 x=n+4. 故答案为:x=n+3 或 x=n+4. 点评: 此题考查了分式方程的解的知识.此题属于规律性题目,注意找到规律:方程 x+ =a+b 的根为:x=a 或 x=b 是解此题的关键.

14. (2012?连云港)今年 6 月 1 日起,国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推 广使用,某款定速空调在条例实施后,每购买一台,客户可获财政补贴 200 元,若同样用 11 万元所购买的此款空调台数, 条例实施后比实施前多 10%, 则条例实施前此款空调的售价 为 元. 考点: 分式方程的应用。 分析: 可根据: “同样用 11 万元所购买的此款空调台数, 条例实施后比实施前多 10%, ” 来列出方程组求解. 解答: 解:假设条例实施前此款空调的售价为 x 元,根据题意得出: (1+10%)= ,

解得:x=2200, 经检验得出:x=2200 是原方程的解, 答:则条例实施前此款空调的售价为 2200 元, 故答案为:2200. 点评: 此题主要考查了分式方程的应用,解题关键是找准描述语,找出合适的等量关系, 列出方程,再求解. 15. (2012?鞍山)A、B 两地相距 10 千米,甲、乙二人同时从 A 地出发去 B 地,甲的速度是 乙的速度的 3 倍,结果甲比乙早到 小时.设乙的速度为 x 千米/时,可列方程 为 .

考点: 由实际问题抽象出分式方程。

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分析: 根据甲乙速度关系得出两人所行走的时间,进而得出等式方程即可. 解答: 解:设乙的速度为 x 千米/时,则甲的速度是 3x 千米/时, 根据题意可得: 故答案为: + = + = . .

点评: 此题考查了由实际问题抽象出分式方程, 解决行程问题根据时间找出等量关系是解 决本题的关键. 三、解答题 16.(2012?盐城)解方程:

3 2 ? . x x ?1

16.解:方程的两边同乘 x(x+1), 得:3(x+1)=2x, 解得:x=-3. 检验:把 x=-3 代入 x(x+1)=6≠0,即 x=-3 是原分式方程的解. 故原方程的解为:x=-3. 17.(2012?咸宁)解方程:

x 8 ?1 ? 2 . x?2 x ?4

17.解:原方程即:

x 8 ?1 ? . x?2 ( x ? 2)( x ? 2)

方程两边同时乘以(x+2)(x-2), 得 x(x+2)-(x+2)(x-2)=8. 化简,得 2x+4=8. 解得:x=2. 检验:x=2 时,(x+2)(x-2)=0,即 x=2 不是原分式方程的解, 则原分式方程无解. 18.(2012?泰州)当 x 为何值时,分式 18.解:根据题意得:

3? x 1 =3, 2? x x?2

3? x 1 的值比分式 的值大 3? 2? x x?2

方程两边同乘以 2-x, 得:3-x+1=3(2-x), 解得 x=1. 检验:当 x=1 时,2-x=1≠0,即 x=1 是原方程的解, 即当 x=1 时,分式

3? x 1 的值比分式 的值大 3. 2? x x?2

19.(2012?长春)某班有 45 名同学参加紧急疏散演练,对比发现:经专家指导后,平均每 秒撤离的人数是指导前的 3 倍, 这 45 名同学全部撤离的时间比指导前快 30 秒, 求指导前平 均每秒撤离的人数. 19.解:设指导前平均每秒撤离的人数为 x 人,由题意得:

45 45 ? ? 30 , x 3x
13

解得:x=1, 经检验:x=1 是原分式方程的解, 答:指导前平均每秒撤离的人数为 1 人. 20.(2012?北京)列方程或方程组解应用题: 据林业专家分析, 树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物, 具有 滞尘净化空气的作用. 已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘 量的 2 倍少 4 毫克,若一年滞尘 1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 550 毫克所需 的国槐树叶的片数相同,求一片国槐树叶一年的平均滞尘量. 20.解:设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 x 毫克,则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 (2x-4)毫克,由题意得:

100 550 ? , 2x ? 4 x
解得:x=22, 经检验:x=22 是原分式方程的解. 答:一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 22 毫克. 21.(2012?玉林)一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥,从运输量来估算:若租两辆车 合运, 10 天可以完成任务; 若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用 15 天. (1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天? (2) 已知两车合运共需租金 65000 元, 甲车每天的租金比乙车每天的租金多 1500 元. 试问: 租甲乙车两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中,哪一种租金最少?请说明理由. 21.解:(1)设甲车单独完成任务需要 x 天,乙单独完成需要 y 天, 由题意可得:

? 1 1 ?10( ? ) ? 1 , ? x y ? y ? x ? 15 ?
解得:

? x ? 15 , ? ? y ? 30
即甲车单独完成需要 15 天,乙车单独完成需要 30 天; (2)设甲车租金为 a,乙车租金为 y, 则根据两车合运共需租金 65000 元,甲车每天的租金比乙车每天的租金多 1500 元可得:

?10a ? 10b ? 65000 , ? ?a ? b ? 500
解得: ?

?a ? 4000 , ?b ? 2500

①租甲乙两车需要费用为:65000 元; ②单独租甲车的费用为:15×4000=60000 元;

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③单独租乙车需要的费用为:30×2500=75000 元; 综上可得,单独租甲车租金最少. 22. (2012?河池)解分式方程: .

考点: 解分式方程。 专题: 计算题。 分析: 先把方程两边都乘以 3(x﹣3)得到 3(5x﹣4)+x﹣3=6x+5,解得 x=2,然后进行 检验确定分式方程的解. 解答: 解:去分母得 3(5x﹣4)+x﹣3=6x+5, 解得 x=2, 检验:当 x=2 时,3(x﹣3)≠0, 所以原方程的解为 x=2. 点评: 本题考查了解分式方程:先去分母,把分式方程转化为整式方程,解整式方程,然 后把整式方程的解代入原方程进行检验,最后确定分式方程的解. 24. (2012?贵阳)为了全面提升中小学教师的综合素质,贵阳市将对教师的专业知识每三年 进行一次考核.某校决定为全校数学教师每人购买一本义务教育《数学课程标准(2011 年 版) 》 (以下简称《标准》 ) ,同时每人配套购买一本《数学课程标准(2011 年版)解读》 (以 下简称《解读》 ) ,其中《解读》的单价比《标准》的单价多 25 元.若学校购买《标准》用 了 378 元,购买《解读》用了 1053 元,请问《标准》和《解读》的单价各是多少元? 考点: 分式方程的应用。 分析: 首先设《标准》的单价为 x 元,根据《解读》的单价比《标准》的单价多 25 元, 得出《解读》的单价是(x+25)元,利用两种书数量相同得出等式方程求出即可. 解答: 解:设《标准》的单价为 x 元,则《解读》的单价是(x+25)元,由题意得: = ,

解得:x=14, 经检验 x=14 是原方程的根, 则 x+25=25+14=39. 答: 《标准》和《解读》的单价各是 14 元、39 元. 点评: 此题主要考查了分式方程的应用, 根据已知表示出两种书的数量, 进而得出等式方 程是解题关键. 25. (2012?宁德)为配合“书香进校园”活动的开展,学校决定为各班级添置图书柜,原计 划用 4000 元购买若干个书柜,由于市场价格变化,每个单价上涨 20 元,实际购买时多花了 400 元,求书柜原来的单价是多少元? 考点: 分式方程的应用。 分析: 首先设书柜原来的单价是 x 元,则由于市场价格变化,每个单价上涨 20 元后的单 价是(x+20)元,根据等量关系:原计划 4000 元所买的书柜数量=实际 4400 元所买的书柜 数量可得方程,解方程可得答案. 解答: 解:设书柜原来的单价是 x 元,由题意得:

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=



解得:x=200, 经检验:x=200 是原分式方程的解, 答:书柜原来的单价是 200 元. 点评: 此题主要考查了分式方程的应用,关键是弄清题意,找出题目中的等量关系,列出 方程.列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这 5 步进行做 题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.

26. (2012?南平)解分式方程:x﹣3+

=0.

考点: 解分式方程。 分析: 公分母为(x+3) ,两边同乘以公分母,转化为整式方程求解,结果要检验. 2 解答: 解:去分母,得(x﹣3) (x+3)+6x﹣3x =0, 2 2 去括号,得 x ﹣9+6x﹣3x =0, 合并,得﹣9+6x=0, 解得 x= , 检验:当 x= 时,x+3≠0, 所以,原方程的解为 x= . 点评: 本题考查了解分式方程. (1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程 转化为整式方程求解, (2)解分式方程一定注意要验根. 27. (2012?黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装,想尽快制作 8800 件投入市场,服装厂有 AB 两个制衣间,A 车间每天加工的数量是 B 车间的 1.2 倍,A、B 两车间共完成一半后,A 车间出现故障停产,剩下全部由 B 车间单独完成,结果前后共用了 20 天完成,求 A、B 两车 间每天分别能加工多少件. 考点: 分式方程的应用。 分析: 首先设 B 车间每天能加工 x 件,则 A 车间每天能加工 1.2x 件,由题意可得等量关 系:A、B 两车间生产 4400 件所用的时间+B 两车间生产 4400 件所用的时间=20 天,有等量 关系可列出方程 + =20,解方程可得答案,注意不要忘记检验.

解答: 解:设 B 车间每天能加工 x 件,则 A 车间每天能加工 1.2x 件,由题意得: + =20,

解得:x=320, 经检验:x=320 是原分式方程的解, 1.2×320=384(件) . 答:A 车间每天能加工 384 件,B 车间每天能加工 320 件.

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点评: 此题主要考查了分式方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系, 再列出方程.列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答,必须严格按照这 5 步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性.

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