高二(上)数学“一周三练”4

丽水中学 2015 届高二(上)数学《一周三练》课外强化系列练习

高二数学“一周三练” (4)
班级 1. 已知 AB 是椭圆 姓名

x2 y2 =1 的长轴,若把线段 AB 五等份,过每个分点作 AB 的垂线, ? 25 9
) C.18 D.20 答案:D

分别与 椭圆的上半部 分相交 于 C、D、 E、G 四点, 设 F 是 椭 圆的左焦点, 则

FC ? FD ? FE ? FG 的值是(
A.15 B.16

2.椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e ?

2 ,椭圆上的点到焦点的最短 2

距离为 1 ? e, 直线l 与 y 轴交于 P 点 (0, , m) 与椭圆 C 交于相异两点 A、 且 AP ? ? PB. B, (1)求椭圆方程; (2)若 OA ? ? OB ? 4OP , 求m 的取值范围.

解 :( 1 ) 设 C :

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 设c ? 0, c 2 ? a 2 ? b 2 , 由 条 件 知 2 a b

a ? c ? 1?

2 c 2 , ? , 2 a 2

∴ a ? 1, b ? c ?

2 , 2

故 C 的方程为: y ?
2

x2 ?1 1 2


( 2 ) 由 AP ? ? PB得, OP ? OA ? ? (OB ? OP ), (1 ? ? )OP ? OA ? ? OB,

? ? 1 ? 4, ? ? 3
设 l 与椭圆 C 交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? y ? k x ? m, 得(k 2 ? 2) x 2 ? 2k mx ? (m 2 ? 2) ? 0 ? 2 2 ?2 x ? y ? 1

? ? (2km) 2 ? 4(k 2 ? 2)( m 2 ? 1) ? 4(k 2 ? 2m 2 ? 1) ? 0 (*)

x1 ? x2 ?

? 2km m2 ?1 , x1 x2 ? 2 k2 ? 2 k ?2

∵ AP ? 3PB

∴ ? x1 ? 3x2

∴?

? x1 ? x 2 ? ?2 x 2 ? x1 x 2 ? ?3 x
2 2

消去 x 2 , 得3( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 0,
2

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∴ 3(

? 2km2 2 m2 ?1 ) ?4 2 ?0 k2 ? 2 k ?2

整理得 4k 2 m 2 ? 2m 2 ? k 2 ? 2 ? 0

1 1 2 ? 2m 2 ,因 ? ? 3 ,∴ k ? 0 m 2 ? 时, 上式不成立 : m 2 ? 时, k 2 ? 4 4 4m 2 ? 1
∴k ?
2

2 ? 2m 2 ? 0, 4m 2 ? 1
2 2

∴ ?1 ? m ? ? 或

1 2

1 ? m ?1 2
即所求 m 的取值范围为

容 易 验 证 k ? 2m ? 2成立, 所 以 ( * ) 成 立

1 1 (?1,? ) ? ( ,1) 2 2


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