数列1:通项公式的求法


雲影玫瑰焰
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题 往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。

定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义 法,这种方法适应于已知数列类型的题目.

? 2 n ?1 ? (?1) n [( ?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3

例 1.等差数列 ?a n ? 是递增数列,前n项和为 S n ,且 式.
解:设数列

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3
经验证 a1

2 a1 , a3 , a9 成等比数列, S 5 ? a5 .求数列 ?a n ? 的通项公

?a n ?公差为 d (d ? 0)
2

∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 ? a1 a9 ,

2 ? 1 也满足上式,所以 an ? [2 n?2 ? (?1) n?1 ] 3 ?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 点评:利用公式 a n ? ? 求解时, ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2

? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 8d ) ? d 2 ? a1 d ∵ d ? 0, ∴ a1 ? d ????????????① 2 ∵ S 5 ? a5 5? 4 ∴ 5a1 ? ? d ? (a1 ? 4d ) 2 ????② 2 3 3 由①②得: a1 ? , d ? 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5
即 (a1 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求 出首项与公差(公比)后再写出通项。

要注意对n分类讨论,但若能合写时一定要合并.

由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式 的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊 的转化方法与特殊数列。 类型 1 递推公式为 an ?1

? an ? f (n) ? an ? f (n) ,利用累加法(逐

解法:把原递推公式转化为 an ?1 差相加法)求解。 (2004 全国卷 I.22)已知数列

?a n ? 中,

公式法
若已知数列的前n项和 S n 与 a n 的关系,求数列

a1 ? 1, 且a 2 k ? a2 k ?1 ? (?1) k , a2 k ?1 ? a2 k ? 3k ,其中

?a n ? 的

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 通项 a n 可用公式 an ? ? 求解。 ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 例 2.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 满足
解:由 a1 有

k ? 1, 2,3, ??,求数列 ?a n ? 的通项公式。
例 3. 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?
解: 由条件知:a n ?1

S n ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?a n ? 的通项公式。

1 1 , n?1 ? a n ? 2 , an 。 求 a 2 n ?n

? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1

? an ?

当n≥2 时,

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

a n ? S n ? S n ?1 ? 2(a n ? a n ?1 ) ? 2 ? (?1) n ,
n ?1

分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累 加之,即 1

? an ? 2an ?1 ? 2 ? (?1)

, , ??, a2 ? 2a1 ? 2.
1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n

an?1 ? 2a n?2 ? 2 ? (?1)

n?2

? an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1) 2 ? ? ? 2 ? (?1) n?1

~1~

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所以 an

? a1 ? 1 ?

1 n

解法:只需构造数列 异.

?bn ?,消去 f ?n ? 带来的差

? a1 ?

1 1 3 1 1 ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 n 2 n 2

类型 2(1)递推公式为 a n ?1

? f ( n) a n

a 例 5. 设数列 ?a n ? : 1 ? 4, a n ? 3a n ?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,
求 an .
解:设

解法:把原递推公式转化为

a n ?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相 an

乘法)求解。 (2004 全国卷 I.15)已知数列{an}, 满足 a1=1,n=a1+2a2+3a3+? a

bn ? a n ? An ? B, 则a n ? bn ? An ? B ,
将 a n , a n ?1 代入递推式,得

+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项

?1 an ? ? ? ___

n ?1 n?2

bn ? An ? B ? 3?bn?1 ? A(n ? 1) ? B? ? 2n ? 1
2 n , n ?1 ? 求 a an , a n 。 3 n ?1

例 4.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?
解: 由条件知

? 3bn?1 ? (3 A ? 2)n ? (3B ? 3 A ? 1)

a n ?1 n , 分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , ? an n ?1

? A ? 3A ? 2 ?A ? 1 ? ?? ?? ?B ? 3B ? 3 A ? 1 ? B ? 1 ?
? 取bn ? an ? n ? 1 ?(1)则 bn ? 3bn?1 ,
又 b1 得 an

代入上式得 (n ? 1) 个等式累乘之,即

a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? ??????? a1 a2 a3 an?1 2 3 4 n
a 1 ? n ? a1 n

? 6 , bn ? 6 ? 3 n ?1 ? 2 ? 3 n 代入 故 (1)
? 2 ? 3n ? n ? 1

说明:(1)若

f (n) 为 n 的二次式,

2 2 又? a1 ? ,? an ? 3 3n
(2).由 a n ?1 如下求得: 由已知递推式有 a n

? f (n)a n 和 a1 确定的递推数列 ?a n ? 的通项可

则可设 bn

? a n ? An 2 ? Bn ? C ;

(2)本题也可由 a n

? 3a n?1 ? 2n ? 1

,

? f (n ? 1)an?1 , an?1 ? f (n ? 2)an?2 ,

an?1 ? 3an?2 ? 2(n ? 1) ? 1
(n

? ? ? , a2 ? f (1)a1 依次向前代入,得
an ? f (n ? 1) f (n ? 2) ? ? ? f (1)a1 ,
简记为 an

? 3 )两式相减得

an ? an ?1 ? 3(an ?1 ? an ? 2 ) ? 2 转
化为 bn

? ( ? f (k )) a1
k ?1

n ?1

? pbn ?1 ? q 求之.
3n ? 1 an (n ? 1) ,求 a n 。 3n ? 2

(n ? 1, ? f (k ) ? 1) ,这就是叠
k ?1

0

例 6.已知 a1 ? 3 , a n?1 ?
解:

(迭)代法的基本模式。

(3)递推式: a n ?1

? pan ? f ?n ?

~2~

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3(n ? 1) ? 1 3(n ? 2) ? 1 3? 2 ?1 3 ?1 an ? ? ????? ? a1 3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2
设数列

?an ? 的前 n 项的和 Sn ?

4 1 2 a n ? ? 2n?1 ? , 3 3 3

n ? 1, 2,3,? ? ?

?
类型 3

3n ? 4 3n ? 7 5 2 6 ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 1 3n ? 4 8 5 3n ? 1 。

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; 解法:该类型较类型 3 要复杂一些。一般地,要先在原递推公式

递推公式为 a n ?1

? pan ? q (其中 p,q 均为常数,

两边同除以 q

n ?1

,得:

a n ?1 p a n 1 ? ? ? q n ?1 q q n q

( pq( p ? 1) ? 0) )。
解法:把原递推公式转化为: an?1

? t ? p(an ? t ) ,其中

引入辅助数列

?bn ?(其中 bn ? a n ),得:bn?1 ? n
q

p 1 bn ? q q

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 t? 1? p
(2006.重庆.14)在数列

再应用类型 3 的方法解决。

例 8. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 求 an 。

1 1 n?1 5 , an?1 ? a n ? ( ) , 3 2 6

?an ? 中,若

a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ?
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特级教师 王新敞
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例 7. 已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? 3 ,求 a n .
解:设递推公式 a n ?1

? 2a n ? 3 可以转化为

an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 .故递推公
式为 an?1

? 3 ? 2(an ? 3) ,令 bn ? a n ? 3 ,则
bn?1 a n ?1 ? 3 ? ? 2 .所以 ?bn ? 是以 bn an ? 3
n ?1

1 1 ? an ? ( ) n?1 两边乘以 2n?1 得: 3 2 2 2 n?1 ? an?1 ? (2 n ? an ) ? 1 3 2 n 令 bn ? 2 ? a n ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,应用例 7 解法得: 3 2 bn ? 3 ? 2( ) n 3 bn 1 n 1 n 所以 an ? n ? 3( ) ? 2( ) 2 3 2
解:在 a n ?1 类型 5 递推公式为 a n ? 2

? pan?1 ? qan(其中 p, 均为常数) q 。

b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且

b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn ? 4 ? 2
所以 a n

?2

n ?1

解法:先把原递推公式转化为 an ? 2 , 其中 s,满足 ? t

? san?1 ? t (an?1 ? san )

?2

n ?1

?3.

?s ? t ? p , 再应用前面类型 3 的方法求解。2006. ( ?st ? ?q

类型 4 递推公式为 a n ?1

? pan ? q n

福建.理.22)(本小题满分 14 分) 已知数列

(其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)( q ? 1) (或 an ?1

? 0) )。

?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). ?an ? 的通项公式;

(I)求数列

? pan ? rq

n

其中 p,q, r 均为常数)

2006 全国 I.22(本小题满分 12 分)

例 9. 已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1

~3~

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2 1 a2 ? 2 , an?2 ? an?1 ? an ,求 a n 。 3 3 2 1 解:由 a n ? 2 ? a n ?1 ? a n 可转化为 3 3
于是 S n ?1 所以 an ?1

? S n ? (an ? an?1 ) ? (
? an ? an?1 ?

1 2
n?2

1 ? an?1 2 n?1

) 2 n?1 1 1 ? an ? n 2 2
n?1

?

1

.

an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san )
即 an?2

(2)应用类型 4 的方法,上式两边同乘以 2

得:

? ( s ? t )a n?1 ? stan

2 n?1 an?1 ? 2 n an ? 2
由 a1

2 ? 1 ?s ? 1 ? ?s ? t ? 3 ? ? ?s ? ? ?? ?? 3 1或? ?t ? ? 3 ?t ? 1 ?st ? ? 1 ? ? ? 3 ?
1 ?s ? 1 ? ? ?s ? ? 这里不妨选用 ? (当然也可选用 ? 3 ,大家可以试 1 t?? ? ?t ? 1 3 ? ?

? S1 ? 4 ? a1 ?

1 ? a1 ? 1 .于是数列 ?2 n an ?是以 2
1? 2

2 为首项,2 为公差的等差数列,所以

2 n a n ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ? an ?
类型 7 双数列型

n 2 n?1

解法: 根据所给两个数列递推公式的关系, 灵活采用累加、 累乘、 化归等方法求解。

1 ? an?1 ? ? (an?1 ? an ) ? ?an?1 ? an ? 是 3 1 以首项为 a2 ? a1 ? 1 ,公比为 ? 的等比数列,所以 3 1 an?1 ? an ? (? ) n?1 ,应用类型 1 的方法,分别令 3
一试),则 a n ? 2

例 11. 已知数列 ?a n ?中,a1 ? 1 ; 数列 ?bn ? 中,b1 ? 0 。 当 n ? 2 时, a n ?

1 (2an?1 ? bn?1 ) ; 3

n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之,

1 bn ? (an?1 ? 2bn?1 ) ,求 a n bn . 3 1 1 解:因 a n ? bn ? ( 2a n ?1 ? bn ?1 ) ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) 3 3

1 0 11 1 n?2 即 a n ? a1 ? (? ) ? (? ) ? ? ? ? ? ? ? ?(? ) 3 3 3 1 1 ? (? ) n?1 3 ? 1 1? 3 7 3 1 n?1 又? a1 ? 1 ,所以 a n ? ? (? ) 。 4 4 3 类型 6 递推公式为 S n 与 a n 的关系式。(或 S n ? f (an ) )

? an?1 ? bn?1
所以 a n

? bn ? an?1 ? bn?1

? an?2 ? bn?2 ? ? ? ? ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ? 1
即 an

? bn ? 1 ????????????????(1) ? bn ?
1 1 (2a n ?1 ? bn ?1 ) ? (an?1 ? 2bn?1 ) 3 3

又因为 a n

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 解法:利用 a n ? ? 进行求解。 ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)
(2006.陕西.20)
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(本小题满分 12 分)
2

已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an +5an+6 且

a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an}的通项 an

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例 10. 已知数列 ?a n ?前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.

(1)求 an?1 与 a n 的关系;(2)求通项公式 a n .
解: (1) S n 由

1 ? (an?1 ? bn?1 ) 3 1 1 2 所以 a n ? bn ? ( a n ?1 ? bn ?1 ) ? ( ) a n ? 2 ? bn ? 2 ) ? ?? 3 3 1 ? ( ) n?1 (a1 ? b1 ) 3 1 n ?1 1 ? ( ) .即 an ? bn ? ? ( ) n ?1 ?????????(2) 3 3 1 1 n?1 1 1 n?1 由 (1) (2) 、 得:a n ? [1 ? ( ) ] , bn ? [1 ? ( ) ] 2 3 2 3

? 4 ? an ?

1 2
n?2

得:S n ?1

? 4 ? an?1 ?

1 2 n?1

~4~

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待定系数法(构造法)
∴{ a n

?

7 1 7 7 3 }是以 ? 为公比,以 a1 ? ? 1 ? ? ? 为首 4 3 4 4 4

项的等比数列

求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关 系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推 式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法 体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换 递推式中的常数就是一种重要的转化方法。 1、通过分解常数,可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一 般地,形如 a n ?1 =p

7 3 1 7 3 1 ? ? ? (? ) n?1 ? an ? ? ? (? ) n?1 4 4 3 4 4 3 例 14.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ?1 ? 3an ? 2 ,
∴ an

?

求 an .
解:设 a n?1

an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) ? ?a n ? 1?是以 (a1 ? 1) 为首项,以 3 为
an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ?

? t ? 3(an ? t ) ,则 an?1 ? 3an ? 2t ? t ? 1 ,

公比的等比数列 ?

an ? 2 ? 3n?1 ? 1
点评:求递推式形如 a n ?1

? pan ? q (p、q 为常数)的数列通

a n +q(p≠1,pq≠0)型的递推式均可通过待定系数法对常
数 q 分解法:设 a n ?1 +k=p(a n +k)与原式比较系数可得 pk

项,可用迭代法或待定系数法构造新数列

an?1 ?

q q “归纳—猜想— ? p(a n ? ) 来求得,也可用 p ?1 1? p

证明”法来求,这也是近年高考考得很多的一种题型.

q -k=q,即 k= ,从而得等比数列{a n + k}。 p ?1

例 15.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , an ? 3n ? 2a n?1

1 例 12、数列{a n }满足 a 1 =1,a n = a n ?1 +1(n≥2),求 2
数列{a n }的通项公式。
解:由 a n =

(n ? 2) ,求 a n .
解:将 a n

? 3n ? 2an?1 两边同除 3 n ,得

an 2a ? 1 ? n?1 ? n 3 3n

1 1 a n ?1 +1(n≥2)得 a n -2= (a n ?1 -2),而 2 2

a 1 -2=1-2=-1,

1 为公比,-1 为首项的等比数列 2 1 n ?1 1 n ?1 ∴a n -2=-( ) ∴a n =2-( ) 2 2
∴数列{ a n -2}是以 说明:这个题目通过对常数 1 的分解,进行适当组合,可得等比 数列{ a n -2},从而达到解决问题的目的。

例 13、数列{a n }满足 a 1 =1, 3an?1 ? an ? 7 ? 0 求数列{a n }的通项公式。

an 2 an?1 ? 1? n 3 3n?1 3 an 2 2 设 bn ? n , bn ? 1 ? bn?1 . bn ? t ? (bn ?1 ? t ) ? 则 令 3 3 3 2 1 bn ? bn?1 ? t 3 3 2 ? t ? 3 .条件可化成 bn ? 3 ? (bn?1 ? 3) ,数列 ?bn ? 3? 3 a1 8 2 是以 b1 ? 3 ? ? 3 ? ? 为首项, 为公比的等比数 3 3 3 an 8 2 n?1 列. bn ? 3 ? ? ? ( ) .因 bn ? n , 3 3 3 8 2 ? an ? bn 3n ? 3n (? ? ( ) n?1 ? 3) ? 3 3 n ?1 n?2 an ? 3 ? 2 .
点评:递推式为 a n ?1 同除 q
n ?1

? pan ? q n ?1 (p、q 为常数)时,可

1 7 解:由 3a n ?1 ? a n ? 7 ? 0 得 a n ?1 ? ? a n ? 3 3 1 k 7 设 a n ?1 ? k ? ? ( a n ? k ) ,比较系数得 ? k ? ? 解得 3 3 3 7 k?? 4

,得

a a n ?1 p a n ? ? n ? 1 ,令 bn ? n 从而化归为 n ?1 q q qn q an?1 ? pan ? q (p、q 为常数)型.
2、通过分解系数,可转化为特殊数列 {a n

? a n ?1} 的形式求解。

~5~

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这种方法适用于 a n ? 2

? pan?1 ? qan 型的递推式,通过对系数 ? a n ?1 } :设
∴ an

=3? 2

n

?1

p 的分解,可得等比数列 {a n

? 3 ? 2 n?1 ? 1

a n? 2 ? kan?1 ? h(a n?1 ? kan ) ,比较系数得
h ? k ? p,?hk ? q ,可解得 h, k 。
(2006.福建.文.22)(本小题满分 14 分)已知数列

例 17、 数列 ?a n ? 中,a1 ? 1, a 2 ? 2,3a n ? 2 ? 2a n ?1 ? an , 求数列 ?a n ? 的通项公式。

?an ? 满足

解:由 3a n ? 2

? 2a n?1 ? a n 得 a n ? 2 ?

2 1 a n ?1 ? a n , 设 3 3

a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N * ).
(I)证明:数列 (II)求数列

a n? 2 ? kan?1 ? h(a n?1 ? kan )
比较系数得 k

?an ?1 ? an ? 是等比数列;

1 2 1 ? h ? , kh ? ,解得 k ? 1, h ? ? 或 ? 3 3 3

?an ? 的通项公式;

1 k ? ? ,h ?1 3 1 1 ,则有 a n ? 2 ? a n ?1 ? ? (an ?1 ? a n ) 3 3 1 ∴ {a n ?1 ? a n } 是以 ? 为公比,以 a 2 ? a1 ? 2 ? 1 ? 1为首 3
若取 k

例 16、 数列 ?a n ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 5, an? 2 ? 3an?1 ? 2 a n =0,求数列{a n }的通项公式。
分析:递推式 a n ? 2

? 1, h ? ?

项的等比数列 ∴ a n ?1

? 3an?1 ? 2an ? 0 中含相邻三项,因而考

1 ? a n ? (? ) n?1 3

虑每相邻两项的组合,即把中间一项 a n ?1 的系数分解成 1 和 2, 适当组合,可发现一个等比数列 {a n 解:由 a n ? 2

由逐差法可得

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
1 n?2 1 1 1 ) ? ( ? ) n ?3 ? ? ? ( ? ) 2 ? ( ? ) ? 1 ? 1 3 3 3 3 1 1 ? (? ) n ?1 3 = ?1= 1 1? 3
= (?

? a n ?1} 。

? 3an?1 ? 2an ? 0 得

an? 2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) ? 0
即 an?2 ∴ {a n ?1 ∴ a n ?1

? an?1 ? 2(an?1 ? an) a2 ? a1 ? 5 ? 2 ? 3 ,且 ? a n } 是以 2 为公比,3 为首项的等比数列

3? 1 n ?1 ? 7 3 1 n ?1 ?1 ? (? 3 ) ? ? 1 ? 4 ? 4 ? (? 3 ) 4? ?

? a n ? 3 ? 2 n ?1

利用逐差法可得

an?1 ? (an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
= 3? 2
n?1

? 3 ? 2 n?2 ? ? ? 3 ? 2 0 ? 2

= 3 ? (2

n ?1

? 2 n?2 ? ? ? 2 ? 1) ? 2

=3?

1 ? 2n ?2 1? 2

1 ? ? , h ? 1 ,则有 3 1 1 an? 2 ? an?1 ? a n?1 ? an 即得 3 3 1 1 1 {a n?1 ? a n } 为常数列, a n ?1 ? a n ? an ? an?1 3 3 3 1 ? ? ? a2 ? a1 3 1 7 ? 2 ? ? 故可转化为例 13。 3 3 例 18.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1
说明:若本题中取 k

~6~

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a2 ? 2
2 1 an?1 ? an 求 a n . 3 3 解:设 a n ? 2 ? sa n ?1 ? t (a n ?1 ? sa n ) ? an?2 ?
当 a1

? 4 时, a1 ? x0 , b1 ? a1 ?

3 11 ? . 2 2

数列 {bn } 是以 ?

1 为公比的等比数列.于是 3

2 ? ?s ? t ? 3 ? a n? 2 ? ( s ? t )a n?1 ? stan ? ? ?st ? ? 1 ? 3 ? 1 ?s ? 1 ? ? ?s ? ? 或? ?? 3 1 ?t ? ? 3 ?t ? 1 ? ?
则条件可以化为 a n ? 2

1 11 1 bn ? b1 (? ) n ?1 ? (? ) n ?1 , a n 3 2 3 3 3 11 1 n ?1 ? ? ? bn ? ? ? (? ) , n ? N. 2 2 2 3
2、 对于由递推公式 a n ? 2 出的数列

? pan?1 ? qan ,a1 ? ? , a 2 ? ? 给

?a n ?,方程 x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?a n ?的特
? x2 时,数列

1 ? an?1 ? ? (an?1 ? an ) 3
1 的等比数 3

征方程。若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,当 x1

? ?an?1 ? an ? 是以首项为 a2 ? a1 ? 1 , 公比为 ?
列,所以 a n ?1

?a n ?的通项为 an

n ? Ax1n ?1 ? Bx2 ?1 ,其中 A,B 由

1 问题转化为利用累加法求数列的 ? an ? (? ) n?1 . 3 7 3 1 n?1 通项的问题,解得 a n ? ? (? ) . 4 4 3 点评:递推式为 a n ? 2 ? pan ?1 ? qan (p、q 为常数)时,
可以设 an ? 2

a1 ? ? , a 2 ? ? 决定(即把 a1 , a 2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入
n 得到关于 A、 的方程组) 当 x1 ? x2 B ; a n ? Ax1n ?1 ? Bx2 ?1 ,

? san?1 ? t (an?1 ? san ) ,其待定常数 s、t 由 s ? t ? p , st ? ?q 求出,从而化归为上述已知题型.

时,数列

?a n ?的通项为 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,其中 A,B 由

a1 ? ? , a 2 ? ? 决定(即把 a1 , a 2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入
a n ? ( A ? Bn) x1n ?1 ,得到关于 A、B 的方程组)。

特征根法
1、设已知数列 {a n } 的项满足 a1 其中 c

? b, a n ?1 ? can ? d

例 20:已知数列 ?a n ?满足

a1 ? a, a 2 ? b,3a n? 2 ? 5a n?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N )
,求数列 ?a n ?的通项公式。
解法一(待定系数——迭加法) 由 3a n ? 2

? 0, c ? 1, 求这个数列的通项公式。作出一个方程

x ? cx ? d , 则当 x 0 ? a1 时, a n 为常数列,即

an ? a1;当x0 ? a1时, an ? bn ? x0 , {bn } 是以 c 为公比 其中
的等比数列,即 bn

? 5a n ?1 ? 2a n ? 0 ,得
2 (an?1 ? an ) , 3

? b1c n ?1 , b1 ? a1 ? x0 .

an? 2 ? an?1 ?
且 a2

? a1 ? b ? a 。

例 19.已知数列 {a n } 满足:
则数列

1 a n?1 ? ? a n ? 2, n ? N, a1 ? 4, 求 a n . 3 1 3 解:作方程 x ? ? x ? 2, 则x0 ? ? . 3 2

?a n?1 ? a n ?是以 b ? a 为首项, 2 为公比的等比数列,
3

于是

2 a n?1 ? a n ? (b ? a)( ) n?1 。把 n ? 1,2,3,? ? ?, n 代入,得 3

a2 ? a1 ? b ? a ,

~7~

雲影玫瑰焰
2 a3 ? a 2 ? (b ? a) ? ( ) , 3 2 a 4 ? a3 ? (b ? a) ? ( ) 2 , 3
当特征方程有且仅有一根 x0 时 则?

?

???
2 a n ? a n?1 ? (b ? a)( ) n?2 。 3
把以上各式相加,得

1 ? ? 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 ?1 、 ? 2 ? an ? x0 ? ? an ? x1 ? ? 是等比数列。 ? an ? x2 ?

时,则 ?

a n ? a1 ? (b ? a)[1 ?

2 2 2 ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) n?2 ] 3 3 3

(2006.重庆.文.22).(本小题满分 12 分) 数列

2 1 ? ( ) n ?1 3 ? (b ? a) 。 2 1? 3
2 ? a n ? [3 ? 3( ) n ?1 ](b ? a) ? a 3 。 2 n ?1 ? 3(a ? b)( ) ? 3b ? 2a 3
解法二(特征根法):数列

{an }满足a1 ? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 求
数列 {a n } 的通项公式.

解: 由已知, an ?1 得

?

2an ? 5 16 ? 8an

, 其特征方程为 x

?

2x ? 5 , 16 ? 8 x

?a n ?:

解之,得 x

1 5 ? 或x ? 2 4

3an? 2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,

a1 ? a, a 2 ? b 的特征方程是: 3x 2 ? 5x ? 2 ? 0 。
2 ? x1 ? 1, x 2 ? , 3 2 n ? a n ? Ax1n ?1 ? Bx2 ?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。 3
又由 a1

1 5 6(an ? ) 12(an ? ) 1 2 ,? a ? 5 ? 4 ? an ?1 ? ? n ?1 2 16 ? 8an 4 16 ? 8an

? a, a 2 ? b ,于是

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? ? B ? 3(a ? b) ?b ? A ? 3 B ?
故 an

1 1 a ? 1 n 2 2? , ? 5 2 5 an ?1 ? an ? 4 4 1 1 an ? a1 ? 2? 2 ? ( 1 )n ?1 ? ? 4 ? 5 5 2 2n an ? a1 ? 4 4 an ?1 ?
an ? 2n ?1 ? 5 。 2n ? 4

2 ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) n?1 3

例 21、已知数列 {a n } 满足性质:对于

3、如果数列 {a n } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,

n ? N, a n ?1 ?

都有 a n ?1

?

pan ? q (其中 p、q、r、h 均为常数,且 ra n ? h
h ) ,那么,可作特征方程 r

an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {a n } 的通项公式. 2a n ? 3
? x?4 , 变形得 2x ? 3

ph ? qr, r ? 0, a1 ? ? px ? q x? rx ? h

解: 数列 {a n } 的特征方程为 x

2 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0, 其根为 ?1 ? 1, ?2 ? ?2. 故特征方程有两
个相异的根,使用定理 2 的第(2)部分,则有

~8~

雲影玫瑰焰
cn ? ? a1 ? ?1 p ? ?1 r n ?1 ?( ) a1 ? ? 2 p ? ? 2 r
令 bn

? 0, 则 n ? ?7 ? n. ∴对于 n ? N, b n ? 0.

3 ? 1 1 ? 1 ? 2 n ?1 ?( ) , n ? N. 3 ? 2 1? 2? 2

∴ an

?

∴ cn

?

2 1 n?1 (? ) , n ? N. 5 5

1 ?? ? bn

1 5n ? 43 ?5? , n ? N. n ?1 n?7 1? 8

∴ an

?

? 2 c n ? ?1
cn ? 1

2 1 ? 2 ? (? ) n ?1 ? 1 5 5 ? , n ? N. 2 1 n ?1 (? ) ? 1 5 5

(4)、显然当 a1

? ?3 时,数列从第 2 项开始便不存在.由本题的 ? 5 时,数列 {a n } 是存在的,

第(1)小题的解答过程知, a1 当 a1

即 an

?

(?5) n ? 4 , n ? N. 2 ? (?5) n

? ? ? 5 时,则有
1 r 1 n ?1 ? (n ? 1) ? ? , n ? N. a1 ? ? p ? ?r a1 ? 5 8

例 22.已知数列 {a n } 满足:对于 n ? N, 都有

bn ?
令 bn

a n ?1 ?

13a n ? 25 . an ? 3

? 0, 则得 a1 ?
?

(1) a1 ? 5, 求 a n ; 若 (2) a1 ? 3, 求 a n ; 若 (3) a1 ? 6, 若 求 a n ; (4)当 a1 取哪些值时,无穷数列 {a n } 不存在?

∴当 a1

5n ? 13 (其中 n ? N 且 N≥2)时,数列 {a n } 从 n ?1 5n ? 13 : n ? N , 且 n ≥2} n ?1

5n ? 13 , n ? N 且 n ≥2. n ?1

第 n 项开始便不存在. 于是知:当 a1 在集合 {?3 或

13 x ? 25 . 变形得 x 2 ? 10 x ? 25 ? 0, x?3 特征方程有两个相同的特征根 ? ? 5. 依定理 2 的第(1)部分解
解:作特征方程 x

?

上取值时,无穷数列 {a n } 都不存在.

答. (1)∵ a1 (2)∵ a1

说明:形如: a n

?

? 5,? a1 ? ?. ?对于 n ? N, 都有 a n ? ? ? 5;
? 3,? a1 ? ?.
1 r ? (n ? 1) a1 ? ? p ? r?

ma n?1 递推式,考虑函数倒数关系有 k (an?1 ? b)


1 1 1 1 1 k 1 ? k( ? )? ?k? ? 令 bn ? an an a n?1 m an a n ?1 m

∴ bn

?

?bn ? 可归为 an?1 ? pan ? q 型。(取倒数法)
例 23: a n ?

1 1 ? ? (n ? 1) ? 3?5 13 ? 1 ? 5 1 n ?1 ?? ? , 2 8
令 bn

a n?1 , a1 ? 1 3 ? a n?1 ? 1

解:取倒数:

? 0 ,得 n ? 5 .故数列 {a n } 从第 5 项开始都不存在,
? 1 5n ? 17 ?? ? bn n?5
.

1 3 ? a n?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

当 n ≤4, n ? N 时, a n

?1? 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 a n a1 ? an ?
? an ? 1 3n ? 2

(3)∵ a1

? 6, ? ? 5, ∴ a1 ? ?.
1 r n ?1 ? (n ? 1) ? 1? , n ? N. a1 ? ? p ? ?r 8

∴ bn

?

构造法 ~9~

雲影玫瑰焰
an?2 ? (n ? 3)an?1 ? (n ? 2)an ,(n∈N*),求通项公
构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的 充分剖析, 有时会联想出一种适当的辅助模型, 如某种数量关系, 某个直观图形,或者某一反例,以此促成命题转换,产生新的解 题方法,这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数 列的递推公式要求出该数列的通项公式,此类题通常较难,但使 用构造法往往给人耳目一新的感觉. 1、构造等差数列或等比数列

式 an .
解:? an ? 2

? an?1 ? (n ? 2)(an?1 ? an ) ? (n ? 2)( n ? 1)( an ? an?1 )
? ? ? (n ? 2)( n ? 1) ?4 ? 3(a2 ? a1 ) ? (n ? 2)! a n ? a1 ? (a 2 ? a1 ) ? (a3 ? a 2 ) ? ? ? (a n ? a n ?1 )
? 1 ? 2!?3!? ? n!
(n∈N*)



例 24:设各项均为正数的数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 对于任意正整数 n,都有等式: an ? 2a n ? 4S n 成立,
2

3、构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式, 然后连乘也是求数列通项公式的 一种简单方法.

求 ?a n ?的通项 an.
解: a ∴ an
2

2 n

? 2an ? 4S n ? a n ?1 ? 2a n ?1 ? 4 S n ?1 ,
2

例 28: 数列 ?a n ?中, a1 ?
解:

2 ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ? 4( S n ? S n?1 ) ? 4an

(an ? an?1 )( an ? an?1 ? 2) ? 0 ,∵ an ? an?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 .
2 1

1 ,前 n 项的和 S n ? n 2 an ,求 an?1 . 2



?a n ?是以 2 为公差的等差数列,且

a n ? S n ? S n ?1 ? n 2 a n ? (n ? 1) 2 a n ?1 ? (n 2 ? 1)a n ? (n ? 1) 2 a n ?1

a ? 2a1 ? 4a1 ? a1 ? 2 . ∴ an ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n
通项公式 a n .
解:∵ a1

例 25:数列 ?a n ?中前 n 项的和 S n ? 2n ? an ,求数列的

a n ? S n ? S n ?1 ? 2n ? a n ? ?2(n ? 1) ? a n ?1 ? ? ?a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ? 1 a n ?1 ? 1 2

? S1 ? 2 ? a1 ? a1 ? 1 当 n≥2 时,

an n ?1 , ? an?1 n ? 1 an an?1 a2 ∴ an ? ? ? ? a1 an?1 an?2 a1 n ?1 n ? 2 1 1 1 ? ? ? ? ? n ?1 n 3 2 n(n ? 1) 1 ∴ a n ?1 ? (n ? 1)( n ? 2) ?
4、构造对数式或倒数式 有些数列若通过取对数, 取倒数代数变形方法, 可由复杂变 为简单,使问题得以解决.

1 ? an ? 2 ? (an?1 ? 2) 2 1 令 bn ? a n ? 2 ,则 bn ? bn?1 ,且 b1 ? 1 ? 2 ? ?1 2 1 ?bn ? 是以 为公比的等比数列,bn ? ?1? ( 1 ) n?1 ? ?( 1 ) n?1 2 2 2 1 n?1 ∴ an ? 2 ? ( ) . 2
2、构造差式与和式 解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差, 然后 采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.

例 29:

2 设正项数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an ? 2an?1 (n≥2).求数

列 ?a n ?的通项公式.

解:两边取对数得: log 2n

a

? 1 ? 2 log an ?1 , 2

log an ? 1 ? 2(log an?1 ? 1) ,设 bn ? log an ? 1 , 2 2 2
则 bn

例 26:设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且

?bn ? 是以 2 为公比的等比数列, b1 ? log12 ? 1 ? 1 .
? 22
n ?1

? 2bn?1

a ?a
2 n

2 n ?1

? nan ? nan?1 ? 0 ,(n∈N*),求数列的通项

bn ? 1? 2 n?1 ? 2 n?1 ,log an ? 1 ? 2 n?1 ,log an ? 2 n?1 ? 1 , 2 2
∴ an
?1

公式 a n
解:由题设得 (an ∵ an ∴ a n ? a n ?1 ? n

? an?1 )( an ? an?1 ? n) ? 0 .

? 0 , a n ?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 0 .

a n ? a1 ? (a 2 ? a1 ) ? (a3 ? a 2 ) ? ? (a n ? a n ?1 ) n(n ? 1) 2 例 27:数列 ?a n ?中, a1 ? 1, a2 ? 3 ,且 ?1? 2 ? 3 ??? n ?

~ 10 ~


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