2015届高考数学一轮复习 第八章 第4讲 直线、平面垂直的判定及性质配套课件 理 新人教A版_图文

第4讲 直线、平面垂直的判定及性质
考点梳理
1.直线与平面垂直

(1)定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面 任意一条 直线都垂直,就说这条直线和这个平面互相 内的_________
垂直.

相交 直线 (2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条_____
都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.用符号语言表示

为:a?α,b?α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b?l⊥α.
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(3)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条 直线平行.用符号语言表示为:a⊥α,b⊥α?a∥b. (4)直线与平面所成的角 射影 所成的锐角(或直角), 平面的一条斜线和它在平面上的_____ 叫做这条直线与这个平面所成的角.

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2.二面角 (1)定义:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面 垂直于 棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做 内分别作_______

二面角的平面角.
(2)二面角的大小是通过其平面角来度量的,而二面角的平 面角须具有以下三个特点:

①顶点在棱上;②两边分别在两个面内;③两边与棱都垂
直. (3)作二面角平面角常用的方法是定义法和垂直面法.

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3.面面垂直 直二面角, (1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是________ 就说这两个平面互相垂直. 垂线, (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条____ 那么这两个平面互相垂直.用符号语言表示为a⊥β, a?α?α⊥β.

(3)性质定理:如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于
交线 的直线垂直于另一个平面.用符号语言表示为: 它们的_____ α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β.

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【助学· 微博】 高考中始终将直线与平面垂直的性质与判定作为考查的重 点,尤其是以多面体为载体的线面平行、垂直的证明,更

是年年考,并且在难度上以中档题为主,预计高考中本节
内容仍为考试的重点和热点.

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考点自测
1.用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命 题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c; ③若a∥γ,b∥γ,则a∥b; ④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.

其中真命题的序号是________.
解析 由公理4知①是真命题.在空间内a⊥b,b⊥c,直线a、 c的关系不确定,故②是假命题. 由a∥γ,b∥γ,不能判定a、b的关系,故③是假命题.④是直 线与平面垂直的性质定理. 答案 ①④
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2.(2012· 南通第一学期期末考试)已知直线l⊥平面α,直 线m?平面β.给出下列命题:①α∥β?l⊥m;② α⊥β?l∥β;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β.其中正确 的命题是________(填序号).

答案

①③

3.(2012· 无锡市第一学期期末考试)对于直线m,n和平面 α,β,γ,有如下四个命题:①若m∥α,m⊥n,则 n⊥α;②若m⊥α,m⊥n,则n∥α;③若α⊥β,γ⊥β, 则α∥γ;④若m⊥α,m∥n,n?β,则α⊥β.其中正确命

题是________(填序号).
答案 ④
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4.(2012· 盐城调研)如图,二面角α -l-β的大小是60°,线段 AB?α,B∈l,AB与l所成的角 为30°,则AB与平面β所成的角 的正弦值是________. 解析 如图,过点A作AO⊥平面β

于点O,作OC⊥l于点C,连接

AC,则AC⊥l,∠ACO为平面α与
平面β所成二面角的平面角,且 ∠ACO=60°,
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AO 3 AC 则 AC= , AO= AC, 在 Rt△ACB 中, AB= sin 60° 2 sin 30° =2AC,在 Rt△ABO 中,AB 与平面 β 所成的角∠ABO 的 AO 3 正弦值 sin∠ABO= = . AB 4

答案

3 4

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5.(2011· 全国卷Ⅰ)已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l, C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足.则AB=2,AC=BD =1,则D到平面ABC的距离等于________.
解析 如图,连接 BC, AD, AB,

∵ AC⊥ l,∴ AC⊥ β,∴ AC⊥ BC, ∴ BC= 3, CD= 2. 设 D 到平面 ABC 的距离为 h, ∵ VA- BDC= VD- ABC, 1 1 1 1 6 ∴ × 1× × 1× 2= × × 3× 1× h,∴ h= . 3 2 3 2 3
答案 6 3

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考向一

直线与平面垂直的判定与性质

【例1】 如图所示,在四棱锥P- ABCD中,PA⊥底面ABCD,

AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,
PA=AB=BC,E是PC的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE.

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证明

(1)由四棱锥P-ABCD中,

∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD, ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,

∴CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC,∴CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.

∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
由(1),知AE⊥CD,且PC∩CD=C, ∴AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD,∴AE⊥PD.
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∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD=A, ∴AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD, ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE. [方法总结] 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关

系的判定与性质,注意平面图形中的一些线线垂直关系的
灵活利用,这是证明空间垂直关系的基础.由于“线线垂 直”、 “线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证 明过程围绕着线面垂直这个核心而展开,这是化解空间垂 直关系难点的技巧所在.
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【训练 1】 (2012· 南通调研)如图,平面 PAC⊥ 平面 ABC, 点 E、F、O 分别为线段 PA、PB、 AC 的中点,点 G 是线段 CO 的中点,AB= BC=AC= 4,PA=PC=2 2.求证: (1)PA⊥平面 EBO; (2)FG∥平面 EBO.

证明

由题意可知,△PAC为等腰直角三角形,

△ABC为等边三角形. (1)因为O为边AC的中点,所以BO⊥AC.

因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC.
BO?平面ABC,所以BO⊥平面PAC.
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因为PA?平面PAC,所以BO⊥PA.
在等腰直角三角形PAC内,O、E为所在边的中点, 所以OE⊥PA. 又BO∩OE=O,所以PA⊥平面EBO.
(2)连接 AF 交 BE 于点 Q,连接 QO. 因为 E, F, O 分别为边 PA,PB,PC 的中点, AO AQ AO 所以 = 2, 且 Q 是△PAB 的重心. 于是 = 2= . OG QF OG 所以 FG∥ QO.因为 FG?平面 EBO, QO?平面 EBO, 所以 FG∥平面 EBO.
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考向二

平面与平面垂直的判定与性质

【例2】

如图所示,△ABC为正三

角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE, EC=CA=2BD,M是EA的中

点.求证:
(1)DE=DA; (2)平面BDM⊥平面ECA.

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证明

(1)如图所示,取 EC 中点 F,连接 DF.

∵ EC⊥平面 ABC, BD∥ CE, ∴ DB⊥平面 ABC. ∴ DB⊥ AB,∴ EC⊥ BC. 1 ∵ BD∥ CE, BD= CE= FC, 2 ∴四边形 FCBD 是矩形, ∴ DF⊥ EC.又 BA= BC= DF, ∴ Rt△ DEF≌ Rt△ ADB,∴ DE= DA.

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(2) 如图所示,取 AC 中点 N,连接 MN、 NB, 1 ∵ M 是 EA 的中点,∴ MN 綉 EC. 2 1 由 BD 綉 EC,且 BD⊥平面 ABC,可得四边形 MNBD 是 2 矩形,于是 DM⊥ MN, ∵ DE= DA, M 是 EA 的中点, ∴ DM⊥ EA.又 EA∩ MN= M, ∴ DM⊥平面 ECA,而 DM?平面 BDM, ∴平面 ECA⊥平面 BDM.
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[方法总结] 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻 找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅 助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一

个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一
步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直” 间的转化条件是解决这类问题的关键.

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【训练2】 (2011· 江苏卷)如图,在四棱锥P -ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是

AP,AD的中点.
求证:(1)直线EF∥平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD. 证明 (1)如图,在△PAD中,因为 E,F分别为AP,AD的中点,所以 EF∥PD.

又因为EF?平面PCD,
PD?平面PCD, 所以直线EF∥平面PCD.
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(2)连结BD.因为AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD为正三角形. 因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD,
BF?平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,

所以BF⊥平面PAD.
又因为BF?平面BEF, 所以平面BEF⊥平面PAD.

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考向三

线面、面面垂直的综合应用

【例 3】 (2012· 广东 )如图所示,在四棱锥 P- ABCD 中, AB⊥平面 PAD, AB∥ CD, PD = AD, E 是 PB 的中点, F 是 DC 上的点且 1 DF= AB, PH 为△PAD 中 AD 边上的高. 2 (1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH= 1,AD= 2,FC= 1,求三棱锥 E - BCF 的体积; (3)证明: EF⊥平面 PAB.
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(1)证明 ∵AB⊥平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD.

∵平面PAD∩平面ABCD=AD,PH⊥AD,
∴PH⊥平面ABCD.
(2)解 连结 BH,取 BH 中点 G,连结 EG.

∵ E 是 PB 的中点, ∴ EG∥ PH.∵PH⊥平面 ABCD, 1 1 ∴ EG⊥平面 ABCD,∴ EG= PH= , 2 2 1 11 2 VE- BCF= S△BCF· EG= ·· FC· AD· EG= . 3 32 12

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(3)证明

取 PA 中点 M,连结 MD, ME.∵ E 是 PB 的中点,

1 ∴ ME 綉 AB. 2 1 又∵ DF 綉 AB,∴ ME 綉 DF, 2 ∴四边形 MEFD 是平行四边形,∴ EF∥ MD. ∵ PD= AD,∴ MD⊥ PA.∵ AB⊥平面 PAD,∴ MD⊥ AB. ∵PA∩ AB= A,∴ MD⊥平面 PAB,∴ EF⊥平面 PAB.

[方法总结] 当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一
个面内作交线的垂线,把面面垂直转化为线面垂直,进而 可以证明线线垂直.
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【训练3】(2012· 南通市第一学期
期末考试)在如图所示的几何体 中,四边形ABCD是正方形, MA⊥平面ABCD,PD∥MA, E、G、F分别为MB、PB、PC

的中点,且AD=PD=2MA.
(1)求证:平面EFG⊥平面PDC; (2)求三棱锥P-MAB与四棱锥P -ABCD的体积之比.

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(1)证明

因为MA⊥平面ABCD,PD∥MA,

所以PD⊥平面ABCD. 又BC?平面ABCD,所以PD⊥BC.

因为四边形ABCD为正方形,所以BC⊥DC.
又PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC. 在△PBC中,因为G、F分别为PB、PC的中点,

所以GF∥BC,所以GF⊥平面PDC.
又GF?平面EFG,所以平面EFG⊥平面PDC.

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(2)解

因为 PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,

不妨设 MA= 1,则 PD= AD= 2, 1 8 所以 VP- ABCD= S 正方形 ABCD· PD= . 3 3 由题意易知 DA⊥平面 MAB,且 PD∥ MA, 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离, 1 1 2 所以 VP- MAB= × × 1× 2× 2= . 3 2 3 所以 VP- MAB∶ VP- ABCD= 1∶ 4.

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考向四

线面角、二面角的求法

【例 4】 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边 形 ADEF 是正方形, FA⊥平面 ABCD, BC ∥ AD,CD= 1,AD= 2 2, ∠ BAD=∠ CDA = 45° . (1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值; (2)证明: CD⊥平面 ABF; (3)求二面角 B- EF- A 的正切值.

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(1)解

因为四边形 ADEF 是正方形,所以 FA∥ED.

所以∠ CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角. 因为 FA⊥平面 ABCD,所以 FA⊥ CD.故 ED⊥ CD. 在 Rt△ CDE 中, CD= 1, ED= 2 2, CE= CD2+ ED2= 3, ED 2 2 所以 cos∠ CED= = . CE 3 2 2 故异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为 . 3

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(2)证明

如图,过点B作BG∥CD,

交AD于点G,则∠BGA= ∠CDA=45°.由∠BAD=45°,

可得BG⊥AB,从而CD⊥AB.
又CD⊥FA,FA∩AB=A, 所以CD⊥平面ABF.

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(3)解

由(2)及已知,可得 AG= 2,

即 G 为 AD 的中点. 取 EF 的中点 N,连结 GN,则 GN⊥ EF. 因为 BC∥ AD,所以 BC∥ EF. 过点 N 作 NM⊥ EF,交 BC 于点 M, 则∠ GNM 为二面角 B- EF- A 的平面角. 连结 GM,可得 AD⊥平面 GNM,故 AD⊥ GM, 2 从而 BC⊥ GM.由已知,可得 GM= . 2

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由 NG∥FA,FA⊥GM,得 NG⊥GM. GM 1 在 Rt△NGM 中 tan∠GNM= = . NG 4 1 所以二面角 B-EF-A 的正切值为 . 4

[方法总结] 找二面角的平面角常用的方法有:
(1)定义法:作棱的垂面,得平面角. (2)利用等腰三角形、等边三角形的性质,取中点找二面角.

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【训练4】 (2011· 山东卷)在如图所示的
几何体中,四边形ABCD为平行四边 形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,

EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB
=2EF. (1)若M是线段AD的中点,求证: GM∥平面ABFE; (2)若AC=BC=2AE,求二面角A-

BF-C的大小.

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(1)法一

因为EF∥AB,

FG∥BC,EG∥AC,∠ACB= 90°,所以∠EGF=90°, △ABC∽△EFG. 由于AB=2EF,
1 因此 BC=2FG.连接 AF,由于 FG∥BC,FG= BC, 2 在?ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,则 AM∥BC,且 AM 1 = BC,因此 FG∥AM 且 FG=AM, 2

所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM∥FA. 又FA?平面ABFE,GM?平面ABFE,

所以GM∥平面ABFE.
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法二 因为EF∥AB,FG∥BC, EG∥AC,∠ACB=90°, 所以∠EGF=90°, △ABC∽△EFG,

由于AB=2EF,
所以BC=2FG. 取BC的中点N,连接GN,

因此四边形BNGF为平行四边形,所以GN∥FB.
在?ABCD中,M是线段AD的中点,连接MN, 则MN∥AB.因为MN∩GN=N,AB∩FB=B,

所以平面GMN∥平面ABFE. 又GM?平面GMN, 所以GM∥平面ABFE.
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(2) 由题意知,平面ABFE⊥平面 ABCD,

取AB的中点H,连接CH,
因为AC=BC,所以CH⊥AB, 则CH⊥平面ABFE. 过H向BF引垂线交BF于R,连接CR, 则CR⊥BF, 所以∠HRC为二面角A-BF-C的平面 角. 由题意,不妨设AC=BC=2AE=2.

在直角梯形ABFE中,连接FH,
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则 FH⊥AB,又 AB=2 2, 所以 HF=AE=1,BH= 2, 6 因此在 Rt△BHF 中,HR= . 3 1 由于 CH= AB= 2, 2 2 所以在 Rt△CHR 中,tan∠HRC= = 3, 6 3 因此二面角 A-BF-C 的大小为 60° .

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规范解答13

求线段的长度问题

高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线
面垂直为核心,以多面体为载体结合平面几何知识,考查 判定定理、性质定理等内容,难度为中低档题目.

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【示例】(2011· 浙江卷)如图,在三棱锥P- ABC中,AB=AC,D为BC的中点, PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上, 已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:AP⊥BC; (2)在线段AP上是否存在点M,使得二面 角A-MC-B为直二面角?若存在,求

出AM的长;若不存在,请说明理由.

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[审题路线图] (1)证明BC⊥AD,BC⊥PO即可, (2)作BM⊥AP,连CM,根据已知的长度求AB、PB、PA 长,易求cos∠BPA,则可求AM.

[解答示范] (1)证明:由AB=AC,D是BC的中点,
得AD⊥BC.又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC. 因为PO∩AD=O,所以BC⊥平面PAD,故BC⊥PA.(4分)

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(2) 如图,在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M, 连结 CM,由 (1)知 AP⊥ BC, 得 AP⊥平面 BMC.又 AP?平面 APC,所以 平面 BMC⊥平面 APC. 在 Rt△ ADB 中, AB2= AD2+ BD2= 41,得 AB= 41. 在 Rt△ POD 中, PD2= PO2+ OD2, 在 Rt△ PDB 中, PB2=PD2+ BD2, 所以 PB2= PO2+ OD2+ DB2= 36,得 PB= 6.
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在 Rt△ POA 中, PA2= AO2+ OP2= 25,得 PA=5. PA2+ PB2- AB2 1 又 cos∠ BPA= = , 2PA· PB 3 从而 PM= PBcos∠ BPA= 2,所以 AM=PA- PM= 3. 综上所述,存在点 M 符合题意,AM= 3. (12 分 )

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[点评 ] 证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义: a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥ α; m、 n? α, m∩ n= A ? ?? l⊥ α; (2)判定定理 1: l⊥ m, l⊥ n ? (3)判定定理 2: a∥ b, a⊥α? b⊥ α; (4)面面平行的性质: α∥ β, a⊥ α?α⊥ β; (5)面面垂直的性质: α⊥ β, α∩ β= l, a? α, a⊥ l? a⊥ β.

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高考经典题组训练
1.(2012· 辽宁卷)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的 点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3的正 方形.若 PA=2 6,则△OAB 的面积为________.
解析 将直四棱锥补成长方体如图:

球 O 的直径 2R= ? 2 3?2+? 2 3?2+? 2 6?2 =4 3, 1 ∴R=2 3.S△OAB= ×2 3×3=3 3. 2
答案 3 3
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2.(2011· 广东卷 ) 如图,在锥体 P- ABCD 中, ABCD 是边长为 1 的菱形, 且∠ DAB = 60° , PA= PD= 2 , PB= 2 , E, F 分别是 BC, PC 的中点. (1)证明: AD⊥平面 DEF; (2)求二面角 P- AD- B 的余弦值.

(1)证明
BO,

如图,取AD的中点O,连接PO、

∵四边形ABCD是边长为1的菱形,连接 BD, ∴△ABD为等边三角形.

∴BO⊥AD.

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又 PA=PD= 2,∴PO⊥AD. 又 PO∩BO=O,∴AD⊥平面 POB. 又∵E、F 分别为 BC、PC 的中点,∴EF∥BP. 而 O 为 AD 的中点,得 DE∥OB,EF∩ED=E, ∴平面 POB∥平面 DEF.∴AD⊥平面 DEF.
(2)解 由(1)知 PO⊥ AD, BO⊥ AD, 则∠ POB 为所求二面角的平面角, 3 在等边三角形 ABD 中, 可得 OB= , 在△PAD 中, 2 可得 PO= ? 2?
2

?1 ?2 -? ? = ?2 ?

7 , 2
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又 PB=2,在△POB 中,由余弦定理得 7 3 + -4 PO2+OB2-PB2 4 4 21 cos∠ POB= = =- , 2PO· OB 7 7 3 2× × 2 2 21 ∴二面角 P-AD-B 的余弦值为- . 7

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3. (2012· 福建卷)如图,在长方体
ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD= 1,E为CD的中点. (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱AA1上是否存在一点P,使

得DP∥平面B1AE;若存在,求出
AP的长;若不存在,说明理由.

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(1)如图,连结AD1,则由ADD1A1

是正方形,得AD1⊥A1D. 又由长方体ABCD-A1B1C1D1知 A1B1⊥AD1.而A1B1∩A1D=A1,

所以AD1⊥平面A1B1ED.因为B1E?平面
A1B1ED,所以B1E⊥AD1. (2)设P是AA1的中点,F是B1A的中点, 连结FP,FE,则由E是CD中点,得
1 ED 綉 B1A1 綉 FP, 所以 PFED 是平行四边形, 所以 PD∥ FE. 2 又 PD?平面 B1AE,FE?平面 B1AE,所以 PD∥平面 B1AE.
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