江西省吉安市华忆高中2013-2014学年高一数学上学期12月竞赛试题

— — — — — — — 密 — — 封 — — 线— — 内 — — 不 — — 要— — 答 — — 题 — — — —

2013 下半年华忆高中高一数学竞赛试题
2013.12 考试时间:120 分钟 卷面满分:150 分

一、单项选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求) 1.已知集合 M={x | x∈N 且 8-x∈N }, 则集合 M 的元素个数为 A.10 B.9 C.8 D.7 2.函数 f : ? ,2? ? ? ,2? 满足 f ? f ?x ?? ? f ?x ? , 则这样的函数个数共有 1 1 A.1 个 B.2 个
log3 x









C.3 个

D.4 个 ( )

学号

3.函数

y ?3

的图象是

A.

B.
2

C.

D. ( D.30 )

4.若 f ( x) ? 1 ? 2 x, g[ f ( x)] ? A.1
2

1? x 1 ( x ? 0), 则g ( ) 的值为 2 2 x
C.15

姓名

B.3

5.若函数 f(x)=lg(x -ax-3)在(-∞,-1)上是减函数,则 a 的取值范围 ( ) A. a>2 B. a<2 C.a≥2 D. a≥-2 6. (可采用特殊值法)已知函数 y ? f (2 x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,函数 y ? g (x) 的图 像 与 函 数 y ? f (x) 的 图 像 关 于 直 线 x ? y ? 0 对 称 , 若 x1 ? x2 ? 0, 则g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? (

A.0

— — — —

) B.1 C.2 D.-2

班级



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 11.函数 f ( x) ? x a
2

? 2 a ?3

(常数 a ?Z)为偶函数且在(0,+∞)是减函数,则 f (2) =

.

1

12.将 n 个正整数 1,2,3,…, n 填入到 n? n 个方格中,使得每行、每列、每条对角线 上的数的和相等, 这个正方形就叫做 n 阶幻方。 如右图就是一个 3 阶幻方。 定义 f (n) 为 n 阶 幻方对角线上数的和。例如 f (3) ? 15 ,那么 f (4) = 13. 若 5 ? 2
a b c ? 10 2

2

2

. .

8 3 4

1 5 9

6 7 2

c c 且 abc ? 0 ,则 ? ? a b

14.下列命题中 ①对于每一个实数 x, f ( x)是y ? 2 ? x 和y ? x 这两个函数中的较小者, f (x) 的最大 则
2

值是 1. ②函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,其定义域为[a-1,2a],则 f (x) 的图象是以
2

(0,1)为顶点,开口向下的抛物线. ③若函数 f ( x) 在 (??, ??) 上递增,且 a ? b ? 0 ,则 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) . ④若集合 P={ x|x=3m+1, m? N }, Q={ x|x=5n+2, n ? N }, P ? Q={x|x=15m-8, m ? N } 则
+ + +

其中正确的命题的序号是________. 三、解答题(共 5 小题,共 69 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 2 15.(本小题 10 分) 已知集合 A={x|x -5x-6=0},集合 B={x|mx+1=0}若 A ? B ? A 求实数 m 组成的集合.

16. (本小题 12 分)若非零函数 f (x) 对任意实数 a, b 均有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ; (Ⅰ)求证: f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)判断函数 f (x) 的单调性;
2

17. (本小题 12 分) 某网民用电脑上因特网有两种方案可选:一是在家里上网,费用分为 通讯费(即电话费)与网络维护费两部分。现有政策规定:通讯费为 0.02 元/分钟,但每月 30 元封顶(即超过 30 元则只需交 30 元) ,网络维护费 1 元/小时,但每月上网不超过 10 小 时则要交 10 元;二是到附近网吧上网,价格为 1.5 元/小时。 (Ⅰ)将该网民在某月内在家上网的费用 y(元)表示为时间 t(小时)的函数; (Ⅱ)试确定在何种情况下,该网民在家上网更便宜。

— — — — — —

18.(本小题 15 分) 已知关于 x 的方程: x ? 2(a ? 1) x ? 2a ? 6 ? 0 ,
2

(Ⅰ)若方程有两个实根,求实数 a 的范围; (Ⅱ)若方程有两个实根,且两根都在区间 ?1, ?? ? 内, 求实数 a 的范围; (Ⅲ)设函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2a ? 6, x ? ? ?1,1? ,记此函数的最大值为 M (a) ,
2


— —

最小值为 N (a) ,求 M (a) 、 N (a) 的解析式。


— —

线
— —

3


— —




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