2016年全国卷高三理科数学复习题7

高三理科数学复习题(7)
第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 1.若集合 A ? {x A. ?1, 2?

x ? 0} ,且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是(
B. {x

) D.

x ? 1}

C. {?1, 0,1}

R


2.设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若 (1 ? i) z ? 2 ,则 z 为(

A. 1 ? i B. 1 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i 3.在如图所示的程序框图中,如果任意输入的 t∈[-2,3],那么输出的 s 取值范围是(

)

A.[-8,-1] B.[-10,0] C.[-10,6] D.(-6,6] 4.如图是一个有底的容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度随时间变化的可能图 像是( )

5.甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌,用作投骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面的点数为奇数 时甲得 1 分,否则乙得 1 分,先积得 3 分者获胜得所有 12 张游戏牌,并结束游戏.比赛开始后, 甲积 2 分,乙积 1 分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏,下面对这 12 张 游戏牌的分配合理的是( ) A.甲得 9 张,乙得 3 张 B.甲得 6 张,乙得 6 张 C.甲得 8 张,乙得 4 张 D.甲得 10 张,乙得 2 张 6.已知 {an } 是首项为 32 的等比数列, S n 是其前 n 项和,且 和为( )

S 6 65 ? ,则数列 {| log2 an |} 前 10 项 S 3 64

A. 58
2

B. 56

C. 50

D. 45

7.A 和 B 是抛物线 y ? 8x 上除去原点以外的两个动点, O 是坐标原点且满足 OA ? OB ? 0

??? ? ??? ?

???? ? ??? ? OM ? AB ? 0 ,则支动点 M 的轨迹方程为(
A. x 2 ? y 2 ? 8 x ? 0 8.设 F1 、 F2 是双曲线 x ?
2



B. y ? 6 x 2

C. x2 ? 4 y 2 ? 1

D.

x2 y 2 ? ?1 9 4

y2 ? 1 的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P,使 4 ??? ? ???? ? ???? ? (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 (O 为坐标原点)且 | PF1 |? ? | PF2 | 则 ? 的值为( ) 1 1 A.2 B. C.3 D. 2 3

9.设 z ? ? A.-4

? x ? y, x ? 2 y, 若 ? 2 ? x ? 2,?2 ? y ? 2 ,则 z 的最小值为( ? y, x ? 2 y,
B.-2 C.-1 D.0



2 10. 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是定义在 [a ? 1, 2a] 上的偶函数,则 y ? 2cos[(a ? b) x ? ] 的最小正

? 3

周期是( A. 6π

) B. 5π C.4π D.2π

11.函数 y ? f ( x) ,

( x ? R) 为奇函数,当 x ? (??,0) 时, xf ?( x) ? f ( ?x) ,若
)

1 1 a ? 3 ? f ( 3), b ? (lg 3) ? f (lg 3), c ? (log 2 ) ? f (log 2 ) ,则 a,b,c 的大小顺序为( 4 4
A. a<b<c B. c>b>a C. c<a<b D. c>a>b

?x ? R , 12. 设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) , 有 f (? x) ? f ( x) ? x 2 , 在 (0,??) 上 f ?( x) ? x ,
若 f (4 ? m) ? f (m) ? 8 ? 4m ,则实数 m 的取值范围为( A. [?2,2] B. [ 2,??) C. [0,??) )

D. (??, ?2] ? [2, ??)

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题一第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题一第 24 题为选考题,考生根'据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.设 A= 3 ? C7 3 ? C7 3 ? C7 3, B ? C7 3 ? C7 3 ? C7 3 ?1 ,则 A ? B =
7 2 5 4 3 6 1 6 3 4 5 2

14.已知矩形 ABCD 的周长为 18 ,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个 正六棱柱的体积最大时,它的外接球的表面积为 . 15.已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, Sn 为其前 n 项和,且满足

an2 ? S2n?1 ? n ? N? ? .若不等式

? ? ?1?
an ?1

n

?

n ? 8 ? ? ?1? n

n ?1

对任意的 n ? N? 恒成立,则实数 ? 的取值范围

是 . 16.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1 , E 在 CD 延长线上,且 DE ? CD .动点 P 从点 A 出发, 沿 正 方 形 ABCD 的 边 按 逆 时 针 方 向 运 动 一 周 回 到 A 点 , 其 中

uu u r uu u r uu u r 的是 AP ? ? AB ? ? AE ,则下列命题正确 ..

. (填上所有

正确命题的序号) ① ? ? 0, ? ? 0 ;②当点 P 为 AD 中点时, ? ? ? ? 1 ;③若 ? ? ? ? 2 , 则点 P 有且只有一个;④ ? ? ? 的最大值为 3 ;⑤ AP ? AE 的最大值为1 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 满 足 c ? 1 , 且

uu u r uuu r

? A ? B? ? 0 . co sB sinC ? ?a ? sinB?co s
2 2 (1)求角 C 的大小; (2)求 a ? b 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的值.

18. (本小题满分 12 分)某工厂生产甲,乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为合格品,小于 82 为次品.现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100] 8 12 40 32 8 芯片甲 7 18 40 29 6 芯片乙 (1)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率; (2)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件芯片乙,若是 合格品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元.在(1)的前提下, (i)记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润,求随机变量 X 的分布列; (ii)求生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元的概率. 19. (本小题满分 12 分)如下图,在组合体中, ABCD ? A1 B1C1 D1 是一个长方体, P ? ABCD 是一个 四棱锥. AB ? 2 , BC ? 3 ,点 P ? 平面CC1D1D 且 PD ? PC ? 2 . (1)证明: PD ? 平面PBC ; (2)求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (3)若 AA1 ? a ,当 a 为何值时, PC // 平面AB1 D . 20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中, 已知椭圆 C :
2

x2 y 2 ? ? 1, 设 R( x0 , y0 ) 24 12
2

是椭圆 C 上任一点,从原点 O 向圆 R : ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 8 作两条切线,切 点分别为 P, Q . (1)若直线 OP, OQ 互相垂直,且 R 在第一象限,求圆 R 的方程; (2)若直线 OP, OQ 的斜率都存在,并记为 k1 , k2 ,求证: 2k1k2 ? 1 ? 0.

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x ? m ln( x ? 1) .
2

(1)若函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围;
3 (2)若 m ? ?1 ,试比较当 x ? (0, ??) 时, f ( x) 与 x 的大小;

(3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 e ? e
0

?1?4

? e ?2?9 ? ? ? e(1?n ) n ?

2

n(n ? 3) 成立. 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 作答时用 2B 铅笔在答题纸上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 AB 是⊙O 的直径,F 为圆上一点,∠BAF 的角平分线与圆交于点 C,过点 C 作圆的切线与 直线 相交于点 D,若 AB=6,∠DAB=

? 3

(1)证明:AD⊥CD; (2)求 的值及四边形 ABCD 的面积.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知⊙C 的极坐标方程为: ? ? 4 2 ? sin(? ?
2

?
4

)?6?0

(Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的圆心坐标, 并选择合适的参数, 写出圆 C 的参数方程; (Ⅱ)点 P( x, y) 在圆 C 上,试求 u ? xy 的值域 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)设 x, y , z ? R ,且满足: x ? y ? z ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,求 x ? y ? z 的值;
2 2 2

(2)设不等式 x ? 2 ? a (a ? N ) 的解集为 A ,且
*

3 1 ? A , ? A .求函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小 2 2

值.

高三理科数学复习题(7)参考答案
1. A . 2. B 3. C 4.B 5. A 6.A 7. A 8.A 9.C 10. A 11. D

1 2 x 因为对任意 x ? R, f ? ?x ? ? f ? x ? ? x2 , 2 1 1 2 2 2 所以, g ? ? x ? ? g ? x ? ? f ? ? x ? ? ? ? x ? ? f ? x ? ? x = f ? ? x ? ? f ? x ? ? x ? 0 2 2 1 2 所以,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 为奇函数;又因为,在 (0,??) 上 f ?( x) ? x , 2 1 2 所以,当时 x ? 0 , g? ? x ? ? f ? ? x ? ? x ? 0 即函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 在 (0,??) 上为减函数,因为 2 1 2 1 2 函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 为奇函数且在 R 上存在导数,所以函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 在 R 上为减函 2 2 1 1 2 2 数,所以, g ? 4 ? m ? ? g ? m ? ? f ? 4 ? m ? ? ? 4 ? m ? ? f ? m ? ? m 2 2
12.B 设 g ? x ? ? f ? x ? ?

? f ? 4 ? m? ? f ? m? ? ?8 ? 4m? ? 0 所以, g ? 4 ? m? ? g ? m? ? 4 ? m ? m ? m ? 2
所以,实数 m 的取值范围为 [ 2,??) . 14. 13?

13. 128

15.

? 77 ? ? , ?15? ? 3 ? ?

16.答案①②④⑤ 试题分析:不妨设正方形的边长为 1,建立如图所示的坐标系, (1)则 B(1,0),E(-1,1),故 AB=(1,0),AE==(-1,1), AP ? ? AB ? ? AE = ? ? ? ?, ? ? , 由图像可知 ? ? 0, ? ? 0 ,故①正确; (2) 当点 P 为 AD 中点时, AP ? ? 0, ? , ? AB ? ? AE =

uu u r

uu u r
? ?

uu u r

uuu r

1? 2?

uu u r

uuu r

? ? ? ?, ? ? ,所以 ? ? 0,
?
当λ =

1 1 1? ? = ? ? ? ?, ? ? ,解得 ? ? 2 , ? ? 2 ,则 ? ? ? ? 1 ,故②正确; 2?

(3)当 λ =1,μ =1 时,AP=(1,1),此时点 P 与 D 重合,满足 λ +μ =2,

3 1 1 ,μ = 时,AP=(1, ),此时点 P 为 BC 的中点,满足 λ +μ =2, 2 2 2

故满足 λ +μ =2 的点不唯一,故③错误; (4)当 P∈AB 时,有 0≤λ -μ ≤1,μ =0,可得 0≤λ ≤1,故有 0≤λ +μ ≤1, 当 P∈BC 时,有 λ -μ =1,0≤μ ≤1,所以 0≤λ -1≤1,故 1≤λ ≤2,故 1≤λ +μ ≤3, 当 P∈CD 时,有 0≤λ -μ ≤1,μ =1,所以 0≤λ -1≤1,故 1≤λ ≤2,故 2≤λ +μ ≤3, 当 P∈AD 时,有 λ -μ =0,0≤μ ≤1,所以 0≤λ ≤1,故 0≤λ +μ ≤2, 综上可得 0≤λ +μ ≤3,故④正确,
2 (5) AP ? AE =? AB ? AE ? ? AE = ? | AB | ? | AE | ?? | AE | = ?? ? 2? ,

uu u r uuu r

uu u r uuu r

uuu r2

uu u r

uu u r

uu u r

当 P∈AB 时,有 0≤λ -μ ≤1,μ =0,可得 0≤-λ ≤1,故有-1≤ ?? ? 2? ≤0,

当 P∈BC 时,有 λ -μ =1,0≤μ ≤1,0≤2μ ≤2,所以 0≤λ -1≤1,故 1≤λ ≤2,-2≤-λ ≤-1 故-2≤-λ +2μ ≤1, 当 P∈CD 时, 有 0≤λ -μ ≤1, μ =1, 所以 0≤λ -1≤1, 故 1≤λ ≤2, -2≤-λ ≤-1, 故-1≤ ?? ? 2? ≤0, 当 P∈AD 时,有 λ -μ =0,0≤μ ≤1,所以 0≤λ ≤1,-1≤-λ ≤0,故 0≤-λ +2μ ≤1, 综上可得-2≤-λ +2μ ≤1,故⑤正确, 考点:向量加减的几何意义,向量的线性运算性质及几何意义 17.解析: (1)由 cos B sin C ? ?a ? sin B?cos ? A ? B? ? 0 ,可得 cos B sin C ? ?a ? sin B?cosC ? 0 , 即 sin A ? a cos C ,又 c ? 1 ,所以 c sin A ? a cos C , 由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C , 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0,从而 sin C ? cos C ,即 C ?

?
4

.

(2)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? c 2 ,得 a 2 ? b 2 ? 2ab ? 1 ,

? a2 ? b2 2? 2 ??a ? b 2 ? ? 1,于是 a 2 ? b 2 ? 2 ? 2 , 又 ab ? ,所以 ?1 ? ? 2 ? 2 ? ?
当A? B?

3 ? 时, a 2 ? b 2 取到最大值 2 ? 2 . 8
, . …(3 分)

18. (Ⅰ)芯片甲为合格品的概率约为 芯片乙为合格品的概率约为

(Ⅱ) (ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 90,45,30,﹣15. ; ; 所以,随机变量 X 的分布列为: X 90 45 30 ﹣15 P …(8 分) (ⅱ)设生产的 5 件芯片乙中合格品 n 件,则次品有 5﹣n 件. 依题意,得 50n﹣10(5﹣n)≥140,解得 .所以 n=4,或 n=5. ; .

设“生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元”为事件 A, 则 . …(12 分)

19. 方法一(综合法):(1)证明:因为 PD ? PC ? 2 , CD ? AB ? 2 ,所以 ?PCD 为等腰直角三
角形,所以 PD ? PC . (1 分因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 是一个长方体, 所以 BC ? 面CC1D1D , 而 P ? 平面CC1D1D , 所以 PD ? 面CC1D1D , 所以 BC ? PD . (3 分) 因为 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC, 由线面垂直的判定定理,可得 PD ? 平面PBC . (4 分) (2)过 P 点在平面 CC1D1D 作 PE⊥CD 于 E,连接 AE(5 分) 因为面 ABCD⊥面 PCD,所以 PE⊥面 ABCD, 所以∠PAE 就是 PA 与平面 ABCD 所成的角. (6 分)因为 PE=1,AE= 10 ,

所 tan∠PAE= PE ? 1 ? 10 . (7 分)所以 PA 与平面 ABCD 所成角的正切值为 10 (8 分)
AE 10 10
10

(3)当 a=2 时,PC∥平面 AB1D. (9 分) 当 a=2 时,四边形 CC1D1D 是一个正方形, 所以∠C1DC=45°,而∠PDC=45°, 所以∠PDC1=90°,所以 C1 D ? PD . 而 PC ? PD , C1 D 与 PC 在同一个平面内,所以 PC // C1 D . (10 分)而

C1 D ? 面AB1C1 D ,所以 PC // 面AB1C1 D ,所以 PC // 平面AB1 D .

(12 分)

方法二: (向量法) (1)如图建立空间直角坐标系, ??? ? 设棱长 AA1 ? a ,则有 D(0,0, a) , P(0,1, a ? 1) , B(3,2, a) , C (0,2, a) . (2 分)于是 PD ? (0, ?1, ?1) , ??? ? ??? ? PB ? (3,1, ?1) PC ? (0,1, ?1) , 所以 PD ? PB ? 0 , PD ? PC

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? 0. (3 分)
可得

所以 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC, 由线面垂直的判定定理, (4 分) PD ? 平面PBC . (2) A(3,0, a) ,所以 PA ? (3, ?1, ?1) , 而平面 ABCD 的一个法向量为 n1
??? ?? ? ? 所以 cos ? PD, n1 ?? ?1

??? ?

? ? ?

? (0,0,1) .

(5 分)

11 ?? . (6 分) 11 11 ? 1

所以 PA 与平面 所以 PA 与平面

ABCD 所成的角的正弦值为 11 .
11

(7 分)

ABCD 所成的角的正切值为

10 . (8 分) 10

(3)∵ D(0,0, a ) , B1 (3, 2,0) , A(3,0, a) ,∴ DA ? (3,0,0) , AB1 设平面 AB1 D 的法向量为 n2

??? ?

????

? (0, 2, ?a) .

?

? ( x, y, z) ,则有 ? ?

?DA ? n2 ? 3x ? 0

,令 z ? 2 ,可得平面 AB1 D 的一个法向量为

? n2 ? (0, a, 2) .
即 PC? n2

若要使得 PC // 平面AB1 D ,则要 PC

??? ?

? ? AB1 ? n2 ? 2 y ? az ? 0 (10 分)

? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 . 所以当 a ? 2 时, PC // 平面AB1 D .

??? ? ?

? ? n2 ,
(12 分)

20. 解: (1) 由题圆 R 的半径为 2 2, 因为直线 OP, OQ 互相垂直, 且与圆 R 相切, 所以 OR ? 即 x02 ? y02 ? 16, ① 又 R( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,所以 由①②及 R 在第一象限,解得 x0

2r ? 4 ,

x0 2 y0 2 ? ? 1, ② 24 12

? y0 ? 2 2, 所以圆 R 的方程为: x ? 2 2 ? y ? 2 2

?

? ?
2

?

2

?8

(2)证明:因为直线 OP : y ? k1x, OQ : y ? k2 x 均与圆 R 相切,所以

k1 x0 ? y0 1 ? k1
2

? 2 2, 化简得 ( x02 ? 8)k12 ? 2x0 y0k1 ? y02 ? 8 ? 0,
2 2 2

同理有 ( x0 ? 8)k2 ? 2x0 y0k2 ? y0 ? 8 ? 0, 所以 k1 , k2 是方程 ( x0 ? 8)k ? 2x0 y0k ? y0 ? 8 ? 0 的两个不相等的实数根,
2 2 2

所以 k1k2 ?

y0 2 ? 8 . x0 2 ? 8

又因为 R( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,所以

x0 2 y0 2 ? ? 1, 24 12

1 4 ? x0 2 1 1 2 2 2 ? ? , 即 2k1k2 ? 1 ? 0. 即 y0 ? 12 ? x0 , 所以 k1k2 ? 2 x0 ? 8 2 2
21.解析: (1)∵ f ?( x ) ? 2 x ? ∴

m 2 x2 ? 2x ? m ? 又函数 f ( x ) 在定义域上是单调函数. x ?1 x ?1

f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立

若 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上 恒 成 立 , 即 函 数 f ( x ) 是 定 义 域 上 的 单 调 地 增 函 数 , 则

1 1 1 m ? ?2 x 2 ? 2 x ? ?2( x ? ) 2 ? 在 ( ?1, ??) 上恒成立,由此可得 m ? ; 2 2 2 m ? 0 在 ( ?1, ??) 上 恒 成 立 . 即 若 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上 恒 成 立 , 则 f ?( x ) ? 2 x ? x ?1 1 1 m ? ?2 x 2 ? 2 x ? ?2( x ? ) 2 ? 在 ( ?1, ??) 上恒成立. 2 2 1 2 1 ∵ ?2( x ? ) ? 在 ( ?1, ??) 上没有最小值 2 2
∴不存在实数 m 使 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立. 综上所述,实数 m 的取值范围是 [ , ??) . (2)当 m ? ?1 时,函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) .
2

1 2

令 g ( x) ? f ( x) ? x ? ? x ? x ? ln( x ? 1)
3 3 2
2 则 g ?( x ) ? ?3x ? 2 x ?

1 3x 3 ? ( x ? 1)2 ?? x ?1 x ?1

显然,当 x ? (0, ??) 时, g ?( x ) ? 0 ,所以函数 g ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递减 又 g (0) ? 0 ,所以,当 x ? (0, ??) 时,恒有 g ( x ) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? x ? 0 恒成立.
3

故当 x ? (0, ??) 时,有 f ( x) ? x
2

3

(3)法 1:证明:由(2)知 x ? x ? ln(x ? 1), x ? (0,??)
3

即 x (1 ? x) ? ln(x ? 1),
2

令 x ? n , n ? N ? ,即有 n (1 ? n) ? ln(n ? 1),
2

所以 e(1?n )?n ? n ? 1 ( n ? N ? ) 因此 e ? e
0 ?1?4

2

? e?2?9 ? ? ? e(1? n )?n ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? (n ? 1) ?
0 ?1?4

2

故对任意的正整数 n ,不等式 e ? e 法 2:数学归纳法

? e ?2?9 ? ? ? e(1?n ) n

2

n(n ? 3) 2 n(n ? 3) ? 成立. 2

证明:1、当 n ? 1 时,左边= e 0 ? 1 ,右边= 2、设当 n ? k 时,原不等式成立, 即e ? e
0 ?1?4

1? 4 ? 2 ,原不等式成立. 2

? e ? 2?9 ? ? ? e (1? k )?k ?

2

k (k ? 3) 2
2 2 2 k (k ? 3) ? e ? k ?( k ?1) 2

则当 n ? k ? 1 时, 左边= e ? e
0 ?1?4

? e ? 2?9 ? ? ? e (1? k )?k ? e (1?k ?1)?( k ?1) ?

只需证明

2 k (k ? 3) (k ? 1) ? (k ? 4) ? e ? k ?( k ?1) ? 2 2

即证 e ? k?( k ?1) ? k ? 2 ,即证 ? k ? (k ? 1) ? ln(k ? 2)
2

2

由(2)知 x ? x ? ln(x ? 1), x ? (0,??) 即 x (1 ? x) ? ln(x ? 1),
2 3
2

令 x ? k ? 1 ,即有 ? k ? (k ? 1) ? ln(k ? 2)
2

所以当 n ? k ? 1 时成立由 1、2 知,原不等式成立

22. 解析: 易知∠

连接 OC,过 O 作 OE⊥AC(E 为垂足) , ∠OCA (AC 为∠BAD 的平分线)

?OC∥AD, CD 是⊙O 的切线,





,由

知 AD⊥CD,

∠DAC

, 又





23. 解析:

取极点为直角坐标系中的原点,极轴为直角坐标系中的 轴,取其单位长度,于是

代入圆 C: ? 2 ? 4? sin ? ? 4? cos? ? 6 ? 0 得:

x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 ? ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ,圆 C 的圆心坐标为
半径为 ,取旋转角 ? 为参数,则圆 C 的参数方程为 C: ?



? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

(?为参变数)

?u ? x ? y ? (2 ? 2 cos? )(2 ? 2 sin ? ) ? 4 ? 2 2(sin ? ? cos ? ) ? 2sin ? cos ?
?2sin ? cos ? ? t 2 ? 1 ? 设 t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ? ? 4 ? ?? 2 ? t ? 2

?



的值域为

24. 【答案】解:(Ⅰ)由题 14 ? (x 2 ? y2 ? z2 )(1 ? 4 ? 9) ? (x ? 2y ? 3z)2 ,
但由柯西不等式, (x
2

? y2 ? z2 )(1 ? 4 ? 9) ? (x ? 2y ? 3z)2 ,

? 14 ?x? 14 ? ? y z 2 14 ? 当且仅当 x ? 2 y ? 3z ? 14 且 x ? ? ,即 ? y ? 时取等,故取等条件必须成立, 2 3 14 ? ? 3 14 ?z ? 14 ? ?
此时 x ? y ? z ?

3 14 7

(2)因为

3 1 3 1 ? A ,且 ? A ,所以 ? 2 ? a ,且 ? 2 ? a 2 2 2 2

解得

1 3 ? a ? ,又因为 a ? N * ,所以 a ? 1 因为 | x ? 1| ? | x ? 2 |?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 3 2 2

当且仅当 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 2 时取得等号,所以 f ( x) 的最小值为 3


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