湖南省常德市石门县第一中学2015-2016学年高二上学期段考(期中)数学(文)试题

2015 年下学期高二年级文数段考试卷
时量;120 分钟 分值:150 分

一,选择题(每小题 5 分共 60 分)
1.已知命题 P : ?x ? R, 2 x2 ? 1 ? 0 ,则( A. ?P : ?x ? R, 2 x2 ? 1 ? 0 C. ?P : ?x ? R, 2 x2 ? 1 ? 0 )

B. ?P : ?x ? R, 2 x2 ? 1 ? 0 D. ?P : ?x ? R, 2 x2 ? 1 ? 0 ( )

2.如果 a, b ? R, 且 a ? b ,那么下列不等式中不一定 成立的是 ... A. ? a ? ?b 3.椭圆 B. a ? 1 ? b ? 2
2 C. a ? ab

D. a ? b ? b ? a

x2 y 2 x2 y2 ) ? ? 1 与椭圆 ? ? 1(k ? 9) 的( 25 9 25 ? k 9 ? k A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等
)

D.离心率相等

4.在等差数列{an}中,若 a3 ? 2, a5 ? 8, ,则 a9 等于( A.16 B.18 C.20 )

D.22

5.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a 2 ? 2a ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

?2 x ? y ? 4 ? 6.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ,则目标函数 z ? x ? y 的最小值为( ?x ? 0 ?
A.2 7.已知椭圆 A. 9 B.-4 C.-1 D.4 )



x2 y2 ? ? 1 ( m ? 0 )的左焦点为 F 1 ? ?4,0 ? ,则 m ? ( 25 m 2
B. 4 C. 3 ) D. D. 2

8.正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 xy 的最大值为 ( A.

1 8

B.

1 4

C .1

3 2
)

9.等比数列{an}的前 n 项和为,且 4,2,成等差数列,若=1,则等于 ( A.7 B.8 C.15 D.16

10.过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的中心任作一直线交椭圆于 P、Q 两点, F 是椭圆的一个焦点,则 25 16
) C.18 ) D.20

?PQF 周长的最小值是(
A.14 B.16

11.若不等式在 t 上恒成立,则 a 的取值范围是 ( A. B. C. D. 12.已知函数 ,且,则+++= ( A.0 B.100

)
C.-100 D.200

二,填空题(每小题 5 分共 20 分)
( , 0 ),F( , 0 ) 13 .若椭圆 经过点 ? 2,3? ,且焦点为 F ,则 这个椭圆的离心率等 于 1 ?2 2 2
______________. 14,若命题“ ?x ? R ,使 x2 ? (a ?1) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围为 .

15 , 已知函数 ( p 为 常数, 且 p. 若在 ( 1 , + ) 上的最 小值 为 4 , 则实 数 p 的值 为 。 16, .若等差数列 ?an ? 满足 a 7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ? ________时数列 ?an ? 的前 n 项和最大.

三,解答题(第 17 题 10 分,18-22 题各 12 分共 70 分)
17.命题 p:函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 4 有零点;命题 q:函数 f ( x) ? (3 ? 2a) 是增函数,
2 x

若命题 p ? q 是真命题,求实数 a 的取值范围.(10 分)

2 18.解关于 x 的不等式: ax ? (a ?1) x ? 1 ? 0(a ? 0) (12 分)

19.已知数列 ?an ?是一个递增的等比数列,前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 4 , S3 ? 14 , ①求 ?an ?的通项公式;②若 Cn ? log2 an ,求数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和 Tn (12 分) ? CnCn?1 ?

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 20.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , ? x ? 0, y ? 0 ?

(12 分)

(1)画出不等式表示的平面区域,并求该平面区域的面积; (2)若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 4,求

1 2 ? 的最小值. a 3b

[来源:学科网 ZXXK]

x2 y2 3 21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0,4) ,离心率 为 ; 5 a b
(1)求椭圆 C 的方程; (2) 求过点(3,0)且斜率为

4 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

2 2.已知数列 {an } 中 a1 ?

1 2x ,函数 f ( x ) ? .(12 分) 2 1? x

(1)若正项数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ) ,试求出 a2 , a3 , a4 ,由此归纳出通项 an ,并加 以证明; (2)若正项数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ) (n∈N ) ,数列 {bn } 的前项和为 Tn,且 bn ?
*

an , 2 ?1
n

求证: Tn ?

1 . 2

2015 年下学期高二年级文数段考答案
时量;120 分钟 分值:150 分

一,选择题(每小题 5 分共 60 分)BCCCABCACCDB 二,填空题(每小题 5 分共 20 分)
13. ________ 15,

1 ______. 2


14,

?1 ? a ? 3 .
[来源:学科网 ZXXK]

16, __8______

三,解答题(第 17 题 10 分,18-22 题各 12 分共 70 分)
17.命题 p:函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 4 有零点;命题 q:函数 f ( x) ? (3 ? 2a) x 是增函数, 若命题 p ? q 是真命题,求实数 a 的取值范围.(10 分) 【解析】 :根据题意,由于命题 p :函数 f ( x) ? x2 ? 2 ax? 4有零点;则可知判别式

? ? 4a2 ?16 ? 0? a ? 2, 或a ? ?2 ,对于命题 q:函数 f ( x) ? (3 ? 2a) x 是增函数,
则可知 3-2a>1,a<1,由于命题 p ? q 是真命题,则说明 p,q 都是真命 题,则可知参数 a 的 范围是 a ? ?2
2 18.解关于 x 的不等式: ax ? (a ?1) x ? 1 ? 0(a ? 0) (12 分)

【解析】 :原不等式可化为: ( x ? )( x ? 1) ? 0 , (1)当-1<a<0 时, ?

1 a

1 1 ? 1 ,所以 x>- 或 x<1。 ??(4 分) a a
2

[来源:Z+xx+k.Com]

(2)当 a=-1 时, ( x ? 1) ? 0 ,所以 x ? 1 。????(8 分)

1 1 ? 1 ,所以 x>1 或 x<- 。 ???(12 分) a a 1 综上所述,当-1<a<0 时,该不等式的解集为 (??,1) ? (? , ??) ; a
(3)当 a<-1 时, ? 当 a=-1 时,该不等式的解集为 {x | x ? 1} ; 当 a<-1 时, ( ??, ? ) ? (1, ??) 。 19.已知数列 ?an ?是一个递增的等比数列,前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 4 , S3 ? 14 , ①求 ?an ?的通项公式;②若 Cn ? log2 an ,求数列 ?

1 a

?

1 ? ? 的前 n 项和 Tn (12 分) ? CnCn?1 ?

【解析】 :①由 已知得: ? ∴ an ? a1q n?1 ? 2n ② Cn ? log2 2n ? n ∴ Tn ?

?a1q ? 4 ?a1 ? a1q ? 10
2

∴?

?a1 ? 2 ?q ? 2
(6 分)

(4 分)

(8 分)

[来源:学,科,网]

1 1 1 1 ? ? ??? c1c2 c2c3 c3c4 cn cn?1
(10 分)

?

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)
1 3 1 3 1 4 1 n 1 ) n ?1

1 1 2 2 1 =1 ? n ?1 n = n ?1

= (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

(12 分)

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 20.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , ? x ? 0, y ? 0 ?
(1)画出不等式表示的平面区域,并求该平面区域的面积; (2)若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 4,求 【 【解析】 : (1)不等式表示的平面区域如图所示阴影部分. 3 分

1 2 ? 的最小值. a 3b

?x ? y ? 2 ? 0 联立 ? 得点 C 坐标为(4,6) ?3x ? y ? 6 ? 0
平面区域的面积 S ?

1 1 ? 2 ? 6 ? ? 2 ? 4 ? 10 . 2 2

6分

(2)当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点 C(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值 4,即 4a+6b=4, 即a?

3 b ?1. 2

9分

所以

1 2 ? 1 2 ?? 3 ? 3b 2a ? ? ? ? ?? a ? b ? ? 2 ? ? ?4 a 3a ? a 3b ?? 2 ? 2a 3b

等号成立当且仅当 a ? , b ? 故

1 2

1 时取到. 3
12 分

1 2 ? 的最小值为 4. a 3b

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0,4) ,离心率为 ; 2 5 a b

4 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

【解析】 : : (1)因为椭圆经过点 A,所以 b=4. 又因离心率为

3 c 3 b2 9 ?a ? 5 ,所以 ? ?1 ? 2 ? 5 a 5 a 25

所以椭圆方程为:

x2 y2 ? ?1 25 16 x2 y2 4 ( x ? 3) ,并将其代入椭圆方程 ? ? 1 ,得 5 25 16

( 2 )依题意可得,直线方程为 y ?

x2 ? 3x ? 8 ? 0 .

???. (6 分)

设直线与椭圆的两个交点坐标为 ( x1, y1 ), ( x2 , y2 ) ,则由韦达定理得, x1 ? x2 ? 3 ,

x1 ? x2 3 6 ? ,并将其代入直线方程得, y ? ? 5 2 2 3 6 故所求中点坐标为 ( ,? ) . ??????(12 分) 2 5 1 2x 22.已知数列 {an } 中 a1 ? ,函数 f ( x ) ? .(12 分) 2 1? x
所以中点横坐标为 (1)若正项数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ) ,试求出 a2 , a3 , a4 ,由此归纳出通项 an ,并加 以证明; (2)若正项数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ) (n∈N ) ,数列 {bn } 的前项和为 Tn,且 bn ?
*

an , 2 ?1
n

求证: Tn ?

1 . 2
[来源:Zxxk.Com]

【解析】 : (1)依题意, ,

2 2? 2a2 3 ? 4, a3 ? ? 1 ? a2 1 ? 2 5 3
由此归纳得出: an ? 证明如下: ∵ an ?1 ?

4 2? 2a3 5 ?8, a4 ? ? 1 ? a3 1 ? 4 9 5

2n ?1 ; 1 ? 2n ?1

2an 1 ? an 1 1 1 1 ,∴ ? ? ? ? , 1 ? an an ?1 2an 2 an 2



1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) , an?1 2 an
1 1 ? 1} 是以 1 为首项、 为公比的等比 数列, 2 an
(6 分)

∴数列 {



1 2n ?1 1 1 ? ; ? 1 ? n ?1 ,∴ an ? n ?1 1 1 ? 2 an 2 1 ? n ?1 2

(2)∵ an ?1 ? f (an ) ?

2an * (n∈N ) , 1 ? an



1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) , an?1 2 an

1 ?1 an ?1 1 ? , ∴ 1 ?1 2 an

1 ?1 an 1 ? n ?1 , 累乘得: 1 ?1 2 a1
n ?1



1 1 ? 1 ? n ?1 , 即 an ? an 2

1 1 1 ? n ?1 2



∴ an ? ∴ Tn ?

2 1 ? 2n ?1

2n ?1 an 2n ?1 1 1 1 ? 2n ?1 ? ? ? ? ,∵ bn ? , n n n n ?1 n ?1 1? 2 1? 2 (1 ? 2 )(1 ? 2 ) 1 ? 2 1 ? 2n

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 0 1 1 2 n ?1 1? 2 1? 2 1? 2 1? 2 1? 2 1 ? 2n 1 1 1 ? ? ? . ?????????? (12 分) n 2 1? 2 2

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