颍上一中高一数学函数奇偶性小结复习 6


函数奇偶性
一 奇偶性的判定 步骤如下:先求函数的定义域,若定义域不关于原点对称,则 f ( x) 为非奇非偶函数,若定

f ??x? ? ? f ? x? 义域关于原点对称 , 再求 f (?x) , 若满足 ,则 f ( x) 是奇函数,若满足

f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 是偶函数,若都不满足,则 f ( x) 是非奇非偶函数。
1. 判断下列函数是否具有奇偶性:

?1 2 x ?1 ? ?2 2 2 (1)f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 2(2)f ? x ? ? 1 ? x ? x ? 1 (3)f ? x ? ? ? ?? 1 x 2 ? 1 ? ? 2
(4) y ?

x?0 x?0

a x ? a? x ax ?1 1? x 2 y ? log ( x ? 1 ? x ) y ? ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) y ? log a a a x ? a? x ax ?1 1? x

二.奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性求解析式
f x f x ? x2 ? x ? 1 1、已知 ? ? 是奇函数,当 x ? 0 时, ? ? ,求 f ? x ? 在 R 上的解析式.

2 已知 f(x)是偶函数,且当 x≥0 时,f(x)= x - 2 x +1 求 f(x)的解析式? (2) 利用函数的奇偶性求函数值 1 .设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=2,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)= 2 已知函数
f ? x ? ? x 5 ? ax 3 ? bx ? 8
2

2

且 f ? ?2 ? ? 10 ,求

f ? 2?

的值 ,b=

3 已知 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 ?a ? 1,2a ? ,则 a ? (3)利用函数的奇偶性解不等式 1 已知函数

f ? x?

是定义在

? ?2, 2 ? 上的减函数且为奇函数,若 f ? m ? ? f ? 2m ? 1? ? 0 ,求
1 3

实数 m 的取值范围 2 已知偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ?? ) 单调递增,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 (4)利用函数的奇偶性解求参数的值

a ? 2x ? a ? 2 是 R 上的奇函数,则 a = 2x ? 1 -2x+b 2 已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a、b 的值;(2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 取值范围.

1 已知 f ( x) ?

(5)在抽象函数的应用 1 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意实数 x 、 y ,恒有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ,且当 x ? 0

2 时, f ( x) ? 0 ,又 f (1) ? ? . (1)求证: f ( x) 为奇函数; (2)求证: f ( x) 在 R 上是减函 3

数; (3)求 f ( x) 在[ ?3 ,6]上的最大值与最小值. 2 已 知 定 义 在 [? 3 , 3 上 ] 的 函 数 y ? f ( x) 满 足 条 件 : 对 于 任 意 的 x, y ? R , 都 有 (2) f ( x? y) ? f ( x)? f ( .当 y) x ? 0 时, f ( x) ? 0 . (1)求证:函数 f ( x) 是奇函数; 求证:函数 f ( x) 在 [?3,3] 上是减函数; (3)解不等式 f (2 x ? 1) ? f (3x ? 2) ? 0 . (6)奇偶性和单调性的综合运用 1. 如果奇函数 f ( x) 在 ?3,7 ? 上是增函数,且最小值是 5,那么 f ( x) 在 ?? 7,?3? 上是( A.增函数,最小值是-5 C.减函数,最小值是-5 B.增函数,最大值是-5 D.减函数,最大值是-5 )

2.设偶函数 f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? ?0,?? ? 时, f ( x) 是增函数,则 f ( ?2), 的大小关系是 ( )A f (? ) ? f (?3) ? f (?2) B f (? ) ? f (?2) ? f (?3) C f (? ) ? f (?3) ? f (?2) D f (? ) ? f (?2) ? f (?3) 同步练习 1 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A. y ? ? x , x ? R
3

f (? ) , f (?3)

B. y ? sin x, x ? R

C. y ? x, x ? R

D. y ? ( ) , x ? R

1 x 2

2.设 f ( x) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A. f ( x) f (? x) 是奇函数 B. f ( x) f (? x) 是奇函数 C. f ( x) ? f (? x) 是偶函数 D. f ( x) ? f (? x) 是偶函数 3.已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数, 则( )A. f ?6? ? f ?7 ?
2

B. f ?6? ? f ?9?

C. f ?7 ? ? f ?9?
3 2

D. f ?7 ? ? f ?10 ?

4 已知函数 f ?x ? ? ax ? bx ? c(a ? 0) 为偶函数,那么 g ?x ? ? ax ? bx ? cx 是______函数. 5.设函数 f ( x)( x ? R) 为奇函数, f (1) ?

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) ? ________. 2

6 .若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在 ( ??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使得

f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是_______
7.已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数.当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 ,则 当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ? _______. 8 设函数 f(x)=

ax ? b 1 2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f( )= , (1)确定函数 f(x) 2 2 5 1? x

的解析式; (2)用定义证明 f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式 f ( t-1)+ f (t) < 0。 9 设 a>0,f(x)=

ex a ? 是 R 上的偶函数,(1)求 a 的值;(2)证明: f(x)在(0,+∞) a ex

上是增函数.
10

设函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数,并在区间 ( -∞ ,0) 内单调递增,
1 2
2

f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1).求 a 范围, 并在该范围内求 y=( ) a

?3a ?1

的单调递减区间.


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