高中数学第一章三角函数1.4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式利用诱导公式解题归类素材北师大版必修4课件

利用诱导公式解题归类
诱导公式数量多,不宜死记硬背,角 2kπ ±α 、π ±α ,-α 及 三角函数值,可归结为求 同名函数值;当

? 3? ±α 、 ±α 的 2 2

k k ·π ±α (k∈Z)的各三角函数值,当 是偶数时,得角α 的 2 2

k 为奇数时,得α 角相应的余函数值,然后加上把α 看成锐角时原函数值 2

的符号,也可简记为“奇变偶不变,符号看现象”利用诱导公式可把任意角的三角函数转化 为锐角三角函数,常见题型有:求值、化简、证明恒等式。 一、 求值 1、 已知角求三角函数值 例 1 求值:sin315°sin(-1260°)+cos570°sin(-840°) 解: 原式=sin (360°-45°) sin (-4×360°+180°) +cos (360°+210°) · [-sin (2×360°+120°)]=-sin45°sin180°-cos(180°+30°)sin(180°-60°) =0+cos30°·sin60°=

3 4

点评:熟记诱导公式和特殊角的三角函数值,求三角函数值时要特别注意符号问 题。 2、 给式求值 例 2 已知方程 sin(α -3π )=2cos(α -4π ),求

sin( ? ? ? ) ? 5 cos( 2? ? ? ) 2 cos( ? ? ? ) ? sin( ?? )

的值 解:由 sin(α -3π )=2cos(α -4π )得-sinα =2cosα ∴sinα =-2cosα 原式=

sin ? ? 5 cos ? ?2 cos ? ? 5cos ? 3 = =? 2 cos ? ? sin ? ?2 cos ? ? 2 cos ? 4

点评:这类问题一般将所给式化简得出一个关系式,然后代入所求化简式里即可 求出值。 3、 给值求值 例 3 已知 tan(π +α )=3,求

2 cos(? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) 的值 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? )

解:∵tan(π +α )=3,∴tanα =3 原式=

? 2 cos ? ? 3 sin ? ? 2 ? 3 tan ? ? 2 ? 3 ? 3 == =7 4 cos ? ? sin ? 4 ? tan ? 4?3

点评:较复杂的求值问题,要先化简再求值。 二、 化简 例 4 化简

2cos3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) ? 3 2 ? 2cos2 (? ? ? ) ? cos(?? )
2 cos3 ? ? sin 2 ? ? cos? ? 3 2 ? 2 cos2 ? ? cos?
1

解:原式=

=

2cos3 ? ? cos 2 ? ? cos? ? 2 2 ? 2cos 2 ? ? cos? 2(cos3 ? ? 1) ? cos? (cos? ? 1) 2cos 2 ? ? cos? ? 2 (cos? ? 1)(2 cos2 ? ? cos? ? 2) 2 cos2 ? ? cos? ? 2

=

=

=cosθ -1 点评:利用诱导公式变形后,通过分解因式将原式化简 三、 证明恒等式 例 4 若 k∈Z,求证:

sin(k? ? ? ) cos(k? ? ? ) =-1 sin[(k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ]

证明:若 k 为偶数,则 左边=

? sin ? cos? =-1 ? sin ? (? cos? )

若 k 为奇数,则 左=

sin ? ( ? cos ? ) =-1 sin ? cos ?

点评:当三角函数的角中含有 kπ (k∈Z)时,不能直接应用诱导公式变形,需对 k 分奇偶整数(或设 k=2n 和 k=2n+1,n∈Z)进行讨论,本题也可根据(kπ -α )(k π + α ) , [ ( k+1 ) π + α ]+[ ( k+1 ) π - α ]=2 ( k+1 ) 进 行 证 明 : 左 边 =

sin(k? ? ? ) cos(k? ? ? ) sin(k? ? ? ) cos(k? ? ? ) = =-1。 ? sin[(k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ] sin(k? ? ? )[? cos(k? ? ? )]

2


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