人教A版 数学必修一 2.1.2 指数函数及其性质教案

2.1.2 指数函数及其性质教案
一、教学目标 1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌 握指数函数的性质,体会特殊到一般的数学学 习方法及数形结合的思想. 2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力, 培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. 3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研 究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美. 二、重点难点 教学重点:指数函数的概念和性质及其应用. 教学难点:指数函数性质的归纳、概括及其应用. 三、教学过程 导入新课 问题一: 一张纸的厚度大约是 1 毫米,把一张纸对折一次,厚度变为 2 毫米,对折两次, 厚度为 4 毫米,对折三次为 8 毫米,对折 30 次之后,你敢站在上面往下跳吗?对折 x 次之 后,纸的厚度 y 变为多少 ?y 是 x 的函数吗? 问题二:设棰(棍)的长度为 1,写出 x 天后剩下的长度 y 的表达式。这是一个函数吗? 新知探究
1、函数 y ? 2 x 与函数 y ? ?? 1 ?? x 具有哪些相同的特征? ?2?
2、你能否写出类似结构的函数表达式? 3、能否将上述几个具体的函数表达式统一写成一般的函数表达式呢? 给出定义

一般地,函数 y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中 x 叫自变量,函数的定义域是实数集 R.。

思考:为什么规定 a>0 且 a ? 1? y ? x 0.6 是指数函数吗? 函数的性质有哪些?可以通
过什么方 法研究这些性质? 画一个未知函数的图象图象常经过什么步骤?
同学自主画出 y=2x 和 y=( 1 )x 的图象。 2
思考:把 y=2x 和 y=( 1 )x 的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗? 2
能否用 y=2x 的图象画 y=( 1 )x 的图象?请说明画法的理由. 2
再画下列函数的图象以作比较,y=3x ,y=( 1 )x.观察函数图象的特点,推广到一般的情形. 3
一般地,指数函数 y=ax 在底数 a>1 及 0<a<1 这两种情况下的图象和性质如下表所示:

a>1

0<a<1

图象

①定义域:R

性质

②值域:(0,+∞) ③过点(0,1),即 x=0 时 y=1

④在 R 上是增函数,当 x<0 时,0<y<1; ④在 R 上是减函数, 当 x<0 时,y>1;

当 x>0 时,y>1

当 x>0 时,0<y<1

四、典例分析

例 1 判断下列函数是否是一个指数函数?
y=x 2,y=8x,y=2·4x,y=(2a-1)x(a> 1 ,a≠1),y=(-4)x 2

思考: 函数y ? (a2 ? 3a ? 3)ax是指数函数,则a ? _____ .

例 2 已知函数 f (x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象经过点 (3,? ) ,求 f (0), f (1), f (?3) 的值。

例 3 比较下列各题中的两个值的大小:

(1)1.72.5 与 1.73;( 2)0.8-0.1 与 0.8-0.2;(3)1.70.3 与 0.93.1.

例 4 函数 y ? ax?2 ? 3(a ? 0且a ? 1) 的图像过定点________.

例 5 求下列函数的定义域、值域。

1
(1) y ? 0.4 x?1

y ? 3 5x?1
(2)

例 6 讨论 y ? 2 ?x2 ?2x?3 的单调性。
五、变式训练

1.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列 a,b ,c.

1

1

2.比较 a 3 与 a 2 的大小。

3.求下列函数的定义域和值域:

(1)

y

?

(1

)

1 x?3

2

(2)

y

?

? ??

1 2

x2
? ??

?6 x?17

4. 讨论函数

y

?

? ??

1 2

x2
? ??

?2x

的单调性。

六、课堂小结 1.指数函数的定义. 2.指数函数的图象和性质.

3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想. 4.利用 指数函数的单调性比较几个数 的大小,特别是中间变量法. 七、布置作业 学案:课后练习


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