高中数学 第二章 变化率与导数 3 计算导数课件 北师大版选修22_图文

§3

计算导数

对于函数 y=-x2+2.

问题 1:试求 f′(1),f′???-12???.

提示:f′(1)= lim
Δx→0

-?1+Δx?2+2-?-1+2? Δx

=lim (-2-Δx)=-2.
Δx→0

f′???-12???=Δlixm→0 -???-12+Δx???2Δ+x 2-???-14+2???=Δlixm→0 (1-Δx)=1.

问题 2:求 f′(x0)的值.

提示:f′(x0)= lim Δx→0

-?x0+Δx?2+Δx2-?-x02+2?=

lim (-2x0-Δx)=-2x0.
Δx→0
问题 3:利用 f′(x0)可求 f′(1)和 f′???-12???吗? 提示:可以.只要令 x0=1,x0=-12. 问题 4:若 x0 是一变量 x,则 f′(x)还是常量吗?

提示:因 f′(x)=-2x,说明 f′(x)不是常量,其值随自变

量 x 而改变.

1.导函数

若一个函数 f(x)在区间(a,b)上的每一点 x 处都有导数,导

数值记为 f′(x):f′(x)= f?x+Δx?-f?x?,则 f′(x)是关于

lim
Δx→0

Δx

x 的函数,称 f′(x)为 f(x) 的导函数,简称为 导数 .

2.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)

函数

导函数

函数

导函数

y=c(c 是 常数)

y′=__0_

y=xα(α 为 实数)

y′=_α_x_α_-_1__

y=ax(a>0,y′ = __a_x_ln__a_ 特

a≠1) 别地(ex)′=__e_x_

y=logax(a> 0,a≠1)

y′= 1

xln 特别地(ln

a x)′=

1 x

y=sin x y′=__c_o_s_x_

y=cos x y′= -sin x

y=tan x

y′=

1 cos2

x

y=cot x y′= -sin12 x

1.f′(x)是函数 f(x)的导函数,简称导数,它是一个确定的函 数,是对一个区间而言的;f′(x0)表示的是函数 f(x)在 x=x0 处的 导数,它是一个确定的值,是函数 f′(x)的一个函数值.
2.对公式 y=xα 的理解: (1)y=xα 中,x 为自变量,α 为常数; (2)它的导数等于指数 α 与自变量的(α-1)次幂的乘积,公式对 α∈R 都成立.

利用导函数定义求导数 [例 1] 求函数 f(x)=x2+5x 在 x=3 处的导数和它的导函数.
[思路点拨] 先用导函数的定义求 f′(x),再将 x=3 代入 即可得 f′(3).

[精解详析]

f′(x)=lim
Δx→0

?x+Δx?2+5?x+Δx?-?x2+5x? Δx

=lim
Δx→0

2Δx·x+?Δx?2+5Δx Δx

=lim (2x+Δx+5)=2x+5.
Δx→0

∴f′(3)=2×3+5=11.

[一点通] 利用定义求函数 y=f(x)的导函数的一般步骤:

(1)确定函数 y=f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数;

(2)计算 Δy=f(x+Δx)-f(x);

(3)当 Δx 趋于 0 时,得到导函数

f′(x)=lim
Δx→0

f?x+Δx?-f?x?

Δx

.

1.利用导数定义求 f(x)=1 的导函数,并求 f′(2),f′(3). 解:Δy=f(x+Δx)-f(x)=1-1=0,ΔΔxy=0. Δx 趋于 0 时,ΔΔxy趋于 0. 所以 f′(x)=0. 所以有 f′(2)=0,f′(3)=0.

2.求函数 y= x的导函数.

解:Δy= x+Δx- x,

Δy= x+Δx- x=

1



Δx

Δx

x+Δx+ x

所以 y′=lim
Δx→0

ΔΔxy=Δlixm→0

1 x+Δx+

=1. x 2x

利用导数公式求导数
[例 2] 求下列函数的导数. (1)y=x13,(2)y=4 x,(3)y=log3x,(4)y= 1 .
5 x2
[思路点拨] (1)(3)直接套用公式,(2)(4)先将分式、根式转 化为幂的形式,再求解.

[精解详析] (1)y′=(x13)′=13x13-1=13x12;

(2)y′=(4

1
x)′=(x 4

)′=14x

1-1 4

=14x

-3 4



(3)y′=(log3x)′=xln1 3;

(4)y′=????

51x2????′=

(x



2 5

)′

=-25x

-2-1 5

=-25x

-7 5

.

[一点通] 求简单函数的导函数有两种基本方法: (1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂; (2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解 题时根据所给函数的特征,将题中函数的结构进行调整,再选 择合适的求导公式.

3.函数 y=sin???π2-x???的导数是________. 解析:y=sin???π2-x???=cos x,所以 y′=-sin x. 答案:-sin x

4.若 f(x)=x2-ex,则 f′(-1)=________. 解析:f′(x)=2x-ex,∴f′(-1)=-2-e-1. 答案:-2-e-1

5.求下列函数的导数:

(1)y=lg x;(2)y=???12???x;(3)y=x

x;(4)y=log 1 x. 3

解:(1)y′=(lg x)′=???llnn1x0???′=xln110.

(2)y′=??????12???x???′=???12???xln 12=-???12???xln 2.

(3)y′=(x

x)′=(x

3 2

)′=32x

1 2

=32

x.

?

?

(4)y′=??log ?

1 3

x??′= ?

1 1=-xln1 3.

xln3

导数的综合应用
[例 3] 点 P 是曲线 y=ex 上任意一点,求点 P 到直线 y= x 的最小距离.
[精解详析] 根据题意设平行于直线 y =x 的直线与曲线 y=ex 相切于点(x0,y0), 该切点即为与 y=x 距离最近的点,如图.

则在点(x0,y0)处的切线斜率为 1, 即 f′(x0)=1. ∵y′=(ex)′=ex, ∴ex0=1,得 x0=0,代入 y=ex,y0=1, 即 P(0,1).

利用点到直线的距离公式得最小距离为

2 2.

[一点通] 利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几 何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题.解题的关 键是将问题转化为切点或切线的相关问题,利用导数求解.

6.设曲线 y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐

标为 xn,则 x1·x2·…·xn 的值为

()

A.

1 n

B.

1 n+1

n C. n+1

D.1

解析:对 y=xn+1(n∈N+)求导得 y′=(n+1)xn. 令 x=1,得在 点(1,1)处的切线的斜率 k=n+1,∴在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(xn-1).令 y=0,得 xn=n+n 1,∴x1·x2·…·xn=12×23 ×34×…×n-n 1×n+n 1=n+1 1, 故选 B. 答案:B

7.曲线 y=1x与 y=x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围
成的三角形的面积是________. 解析:由???y=1x, 联立得交点为(1,1),
??y=x2

而???1x???′=-x12;(x2)′=2x,∴斜率分别为:-1 和 2, ∴切线方程为:y-1=-(x-1),及 y-1=2(x-1).

令 y=0 得与 x 轴交点为(2,0)及???12,0???,

∴S△=12·???2-12

?

?

1=34.

答案:34

8.已知直线 y=kx 是 y=ln x 的一条切线,求 k 的值.

解:设切点坐标为(x0,y0). ∵y=ln x,∴y′=1x.∴f′(x0)=x10=k. ∵点(x0,y0)既在直线 y=kx 上,也在曲线 y=ln x 上,

∴?????yy00==lknx0x,0,

① ②

把 k=x10代入①式得 y0=1,

再把 y0=1 代入②式求出 x0=e.

∴k=x10=1e.

1.f′(x0)与 f′(x)的异同: 区别

联系

f′(x0)

f′(x0)是具体的值,是 在 x=x0 处的导数 f′(x0)

数值

是导函数 f′(x)在 x=x0 处

f′(x)是 f(x)在某区间 I 的函数值,因此求函数在

上每一点都 存在导数 某一点处的导数,一般先 f′(x)
而定义的一个新函数, 求导函数,再计算导函数

是函数

在这点的函数值.

2.在应用正余弦函数及指数、对数函数的求导公式时 应注意的问题:
(1)对于公式(sin x)′=cos x,(cos x)′=-sin x,一是 注意函数的变化,二是注意符号的变化.
(2)对于公式(ln x)′=1x和(ex)′=ex 很好记,但对于公式 (logax)′=xln1 a和(ax)′=axln a 的记忆就较难,特别要注意 ln a 所在的位置.


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