2018届高三数学小题精练+B卷及解析:专题(06)平面向量及解析 含答案

2018 高考数学小题精练+B 卷及解析:专题(06)平面向量及解析 专题(06)平面向量

1.已知 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?2, 4 ? , 且ka ? b 与b 垂直,则k ? ( A.

?

?

?

?

?



20 3

B. ?

10 3

C. -

20 3

D.

10 3

【答案】B 【解析】 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?2, 4 ?,ka ? b ? ? k ? 2, 2k ? 4 ? . 由 ka ? b 与 b 垂直,可得 ka ? b ? b ? ?2 ? k ? 2 ? ? 4 ? 2k ? 4 ? ? 0 . 解得 k ? ? 故选 B. 2.已知向量 a 与 b 的夹角是 A. - 【答案】A B. C. -2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

10 . 3

?
3

,且|a|=1,|b|=4,若(3a+λb)⊥a,则实数 λ=( D. 2



3.已知向量 a,b 的夹角为 A. 2 B. 3 C. 4

?

?

?
6

,且 a ? 3 , a ? 2a ? 3b ? 9 ,则 b ? ( D. 2 3

?

?

?

?

?

?

?



【答案】A 【解析】

? ? ? ? a ? 2a ? 3b ? 9, ? ? ? 2 ? 9 ? 3 ? 3 ? b cos ? 9, 6 ? b ? 2 ,故选 A
4.如图,在平行四边形 ABCD 中, AC , BD 相交于点 O , E 为线段 AO 的中点.若

?

?

??? ? ??? ? ??? ? ,则 ? ? ? ? ( BE ? ? BA ? ? BD ( ? , ? ?R )



A. 1 【答案】B

B.

3 4

C.

2 3

D.

1 2

5.已知向量 a ? ? ?2,1? , b ? ? ?1,3? ,则( A. a ? b

?

?

) D. a ? a ? b

? ?

B. a ? b

?

?

C. a ? a ? b

?

?? ?

?

?

?? ?

?

【答案】D 【解析】由 a ? b=? ?1, ?2 ? , a ? ? ?2,1? ,得: ∴a ? a ?b 故选:D 6.在 ?ABC 中, D 为 BC 边的中点,若 BC ? ? 2, 0 ? , AC ? ?1, 4 ? ,则 AD ? ( A.

?

?

?

? ? ? b ?? a ? 2 ? 2 ? 0 ?a

?

?

?? ?
??? ? ????
????


?

? ?2, 4 ?
????

B.

? 0, ?4 ?
????

C.

? 2, 4 ?

D.

? 0, 4 ?
? 0, 4 ? .

【答案】D 【解析】 AD ? AC ? DC ? AC ? 故选:D 7.已知向量 a ? ? x,3? , b ? ? 2, ?2 ? ,且 a ? b ,则 | a ? b =( ) A. 5 【答案】B B.

???? ????

? 1 ??? BC ? ?1, 4 ? ? ?1, 0 ? ? 2

?

?

?

?

?

?

26

C. 2 5

D. 10

【解析】因为 a ? b 所以, 2 x ? 6 ? 0, x ? 3, | a ? b 故选 B.

?

?

?

?

?

? ?b? ?a
??? ?

?

2

? 52 ? 1 ? 26

8.AD, BE 分别是 ?ABC 的中线, 若 AD ? BE ? 1 , 且 AD 与 BE 的夹角为 120? , 则 AB ? AC = ( A. )

????

??? ? ????

1 3

B.

4 9

C.

2 3

D.

8 9

【答案】C

点睛:平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用 数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁 为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段 长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数. 9.已知 A. ,其中 B. C. D. ,且 ,则向量和的夹角是

【答案】B 【解析】由题意知 ,所以 ,设与的夹角为,则 ,

,故选 B. 10.如图,在△ ABC 中,已知 AB ? 2 , AC ? 3 , ?BAC ? ? ,点 D 为 BC 的三等分点(靠 近点 B ) , 则 AD ? BC 的取值范围为(

???? ??? ?



A. ( ?

11 13 , ) 3 3

B. ( , )

1 7 3 3

C. (? ,

5 55 ) 3 3

D. ( ? , )

5 7 3 3

【答案】D 【解析】

考点:解三角形,向量运算. 【思路点晴】有关向量运算的小题,往往都化成同起点的向量来进行,如本题中的 AD ? BC , 都转化为 AB, AC 这两个向量,然后利用加法、减法和数量积的运算,将向量运算转化为边和 角的运算.利用余弦定理,可以将要求的数量积化简为

???? ??? ?

??? ? ????

1 ? 2 cos ? ,由于 cos ? ? ? ?1,1? ,故 3

1 ? 5 7? ? 2 cos ? ? ? ? , ? .在运算过程中要注意正负号. 3 ? 3 3?
11.已知 ?ABC 的面积为 2,在 ?ABC 所在的平面内有两点 P、Q ,满足

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? PA ? PC ? 0, QA ? 2 BQ ,
则 ?APQ 的面积为( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.1

【答案】C

考点:平面向量线性运算. 3.在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 1 ,点 P 为矩形 ABCD 内一点,则使得 AP ? AC ? 1 的 概率 为( A. ) B.

1 8

1 4

C.

3 4

D.

7 8

【答案】D

y

D P(x,y) 2x+y=1

C

x A 1 E 2 1 B

考点:几何概型公式及运用. 【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的运用概率问题,解答时先构

?0 ? x ? 2 ? 建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件 ?0 ? y ? 1 的平面区域,然后求该平面区域所表 ?2 x ? y ? 1 ?

示的图形的面积 S ?

7 7 ,最后再借助几何概型的计算公式求出其概率为 P ? . 解答本题的难 4 8

点是如何处理向量的数量积,如果直接运用向量的代数形式的运算则很难获得答案.

专题 06

平面向量

1.已知向量 a ? ? x,3? , b ? ? 2, ?2 ? ,且 a ? b ,则 | a ? b =( A. 5 【答案】B 【解析】因为 a ? b 所以, 2 x ? 6 ? 0, x ? 3, | a ? b B; 2.已知 a ? 2 , b ? 3 ,且两向量夹角为 60? ,求 a ? b ? b =( A. 8 【答案】C B. 10 C. 12 D. 14 B.

?

?

?

?

?

?



26

C. 2 5

D. 10

?

?

?

?

?

? ?b? ?a

?

2

? 52 ? 1 ? 26 ,故选

?

?

?? ?

?

?



3.AD, BE 分别是 ?ABC 的中线, 若 AD ? BE ? 1 , 且 AD 与 BE 的夹角为 120? , 则 AB ? AC = ( A. )

????

??? ?

??? ? ????

1 3

B.

4 9

C.

2 3

D.

8 9

【答案】C

??? ? 2 ???? 2 ??? ? ???? 1 ??? ? ???? AB ? AD ? BE AD ? AB ? AC , 3 3 2 【解析】由 { 解得 { , ??? ? 1 ??? ? ???? ???? 4 ???? 2 ??? ? BE ? ?2 AB ? AC , AC ? AD ? BE 2 3 3

?

?

?

?

??? ? ???? ? 2 ???? 2 ??? ? ? ? 4 ???? 2 ??? ?? 2 AB ? AC ? ? AD ? BE ? ? ? AD ? BE ? ? . 3 3 ?3 ? ?3 ? 3
故选 C.

点睛:平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用 数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁 为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段 长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数. 4.已知等边 ?ABC 边长为 4, O 为其内一点,且 4OA ? 7OB ? 3OC ? 0 ,则 ?AOB 的面积 为 A. ( )

??? ?

??? ?

????

?

4 3 7

B.

6 3 7

C.

3 3 7

D.

1 2

【答案】B 【解析】∵ 4OA ? 7OB ? 3OC ? 0 ,∴ OA ?

??? ?

??? ?

????

?

??? ?

? 3 ??? ? 7 ??? OB ? CO .如图所示, 4 4

点睛:本题考查了平面向量的应用问题,解题的关键是作出辅助线,根据向量的知识得出各 小三角形与原三角形面积之间的关系,是中档题;根据题意,作出图形,利用向量的关系, 求出 ? AOB 与 ? ABC 的面积关系,即可得出. 5. 以原点 O 及点 A ? 5, 2 ? 为顶点作等腰直角三角形 OAB , 使 A ? 90? , 则 AB 的坐标为 ( A.

??? ?



? 2, ?5?

B.

? ?2,5? 或 ? 2, ?5?

C.

? ?2,5?

D.

? 7, ?3? 或 ? 3, 7 ?

【答案】B 【解析】如图

设 B ? x, y ? , ∵ A (5, 2) ,

A ? 90? , 且 ? OAB 为 等 腰 直 角 三 角 形 ,

??? ? ??? ? OA ? AB ? ? 5, 2 ? ? ? x ? 5, y ? 2 ? ? 0 ??? ? x?3 x?7 ∴ { ??? ,解得 { 或{ , ∴ AB ? ? ?2, 5? 或 ? 2 2 y?7 y ? ?3 AB ? ? x ? 5 ? ? ? y ? 2 ? ? 29

(2, ? 5) ,故选 B.
6.若 A. 【答案】D 【解析】 如图所示: ,且 B. , C. ,则 的取值范围是( D. )

7.已知单位向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a 与 b ? a 夹角为( A.

? ?

?

?

?

?

?

?

?



π 6

B.

π 3

C.

π 4

D.

3π 4

【答案】D

? a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解析】因为 a ? b ? a ? b ,所以 a ? b , cos a , b ? a ? ? a
因此 a , b ? a ?

? ? ? a ? ?a ?b ? ? ? b ?a

?

2

2

??

2 , 2

3π ,选 D. 4 ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? 2? 8.已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ,向量 e1 ? 2e2 与 2e1 ? ? e2 的夹角为 ,则 ? ? ( 3 3 ?
A. ?

? ?



2 3

B. ?3

C. ?3 或 ?

2 3

D. ?1 或 ?3

【答案】B 【解析】由题意可得: e1 ? e2 ? 1? 1? cos

?? ?? ?

?
3

?

1 ,且: 2

?? ?? ? ?? ?? ? e1 ? 2e2 ? 2e1 ? ? e2 ?? 2 ?? ?? ? ?? ?2 ? 2e1 ? ? 4 ? ? ? e1 ? e2 ? 2? e2

?

??

?

? ? 2 ? 2? ? ?
而 e1 ? 2e2 ?

1 5 ?? ? 4? ? 4 ? ?, 2 2

??

?? ?

? e ? 2e ?
1 2

??

?? ?

2

?? 2 ?? ?? ? ?? ?2 ? e1 ? 4e1 ? e2 ? 4e2 ? 7 ,
2

?? ?? ? 2e1 ? ? e2 ?

? 2e ? ? e ?
1 2

??

?? ?

?? 2 ?? ?? ? ?? ?2 ? 4e1 ? 4? e1 ? e2 ? ? 2 e2 ? 4 ? 2? ? ? 2 ,

5 4? ? 2? 1 2 利用平面向量夹角公式可得: cos ? ? ? ,解得: ? ? ?3 .本题选 2 3 2 7 ? 4 ? 2? ? ?
择 B 选项. 9.设向量 a , b 满足 a ? 2, b ? a ? b ? 3 ,则 a ? 2b ? ( A. 6 【答案】D B. 3 2 C. 10 D. 4 2

? ?

?

?

?

?

?

?

)

10.已知向量 a ? ?1, m ? , b ? ? 3, ?2 ? ,且 a ? b / / b ,则 m ? ( A. ? D.8

?

?

?

? ?

?

?

) C.-8

2 3

B.

2 3

【答案】A 【解析】

考点:向量的坐标运算.

???? ? ? ? | MD | 2 ???? ???? ???? ? 的值 11. M 是 ?ABC 所在平面内一点, MB ? MA ? MC ? 0 , D 为 AC 中点,则 ???? 3 | BM |
为( A. ) B.

1 2

1 3

C.

1

D.2 【答案】B 【解析】

? ? ? ???? ? ???? ? 2 ???? ???? ???? 2 ???? ???? ???? 1 ???? MB ? MA ? MC ? 0 ,所以 ? MB ? MA ? MC ? 2MD, MD ? ? MB , 3 3 3 ???? ? | MD | 1 ? ? . 故 M 在中线 BD 上,且为靠近 D 的一个四等分点,故 ???? | BM | 3
试题分析:因为 考点:向量运算. 12.已知三角形 ABC 内的一点 D 满足 DA?DB ? DB ?DC ? DC ?DA ? ?2 ,且

??? ? ??? ?

??? ? ????

???? ??? ?

???? ? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? | DA |?| DB |?| DC | .平面 ABC 内的动点 P , M 满足 | AP |? 1 , PM ? MC ,则 | BM |2 的
最大值是( A. ) B.

49 4
37 ? 2 33 4

43 4

C.

37 ? 6 3 4

D.

【答案】A 【解析】

考点:1、平面向量数量积公式及向量的模;2、平面向量的几何运算及坐标运算.


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