姜堰市蒋垛中学高二数学作业14


1. 若“ 1≤ x ≤ 2 ”是“ 0≤ x ≤ m ”的充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是 2. 函数 y ?



1 2 x ? ln x 的单调递减区间为 2

. 。 .

3. 曲线 y=2lnx 在点(e, 2)处的切线与 y 轴交点的坐标为 4. 已知函数 f ( x) ? ln x ?
x

m ( m ? R )在区间 [1, e] 上取得最小值 4,则 m ? x

5. 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? b ,a ? R ( e 为自然对数的底数) . (1)若 a ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 在点 (0 , f (0)) 处的切线与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,当函数 f ( x) 有两 个不同的零点时,求实数 b 的取值范围。

6. 已知函数 f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,其中 a>0,b>0. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点 P(2,c)处有相同的切线(P 为切点) , 求 a,b 的值; (2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) , 令 若函数 h(x ) 的单调递减区间为[ ?

a b ,? ], 求: 函数 h(x ) 在 2 3

1

区间(一∞,-1]上的最大值 M(a) 。

2013 年高二数学作业 14 参考答案
1. [2 , ? ?) 2. (0 ,1)
x

3. (0,0)

4. ? 3e

5. 解: (1)因为 f ?( x) ? e ? e ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 (1 ? ?) ; , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 (??, ; 1)

2

(说明:用列表给出结果同样给分) (2)由题意知, f ?(0) ? e ? a ? ?3 ,解得 a ? 4 .所以 f ?( x) ? e ? 4 .
0

x

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ln 4 .函数 f ( x) 在 (ln 4, ?) 上单调递增; ? 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ln 4 .函数 f ( x) 在 (??, 4) 上单调递减; ln 所以函数 f ( x) ? e ? 4 x ? b 在 x ? ln 4 处取极小值,也是最小值.
x

最小值为 4 ? 4ln 4+b . 又因为当 x ? ?? 或 x ? ?? 时, f ( x) ? ?? 故使函数 f ( x) 有两个零点时, f ( x)min <0 ,即 4 ? 4ln 4+b<0 , 所以实数 b 的取值范围为 (?? ,4ln 4 ? 4) . 6. 解: (1)因为 f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,所以 f ?( x) ? 2ax, g ?( x) ? 3x ? b ,
2

17 ? ? f ?(2) ? g ?(2) ?4a ? 12 ? b ?a ? ?? 由 P(2, c)为公共切点,则 ? ,解得: ? 4 ; ? f (2) ? g (2) ?4a ? 1 ? 8 ? 2b ?b ? 5 ?
(2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? ax ? bx ? 1 ,则 h?( x) ? 3x ? 2ax ? b ,
3 2 2

因为函数 h(x ) 的单调递减区间为[ ?

a b ,? ], 2 3

所以 x∈[ ?

a b 2 ,? ]时, 3x ? 2ax ? b ? 0 恒成立, 2 3

且x ? ?

b b 2a b 2 ? b ? 0 ,得 a2=4b, 是方程 3x ? 2ax ? b =0 的一个根,即 ? 3 3 3
3 2

所以 h( x) ? x ? ax ? 令 h?(x) >0 得: x ? ?

a2 a2 x ? 1 , h?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? , 4 4

a a 或x?? , 2 6 a a 令 h?(x) <0 得: ? ? x ? ? , 2 6
所以函数 h(x ) 的单调增区间为 (??,? ) , (? 当 ?1 ? ?

a 2

a a a ,??) ,单调递减区间为 (? ,? ) , 6 2 6

a2 a 时,即 a ? 2 ,函数 h(x ) 在区间(一∞,-1]上的最大值为 h(?1) ? a ? , 4 2
3

当?

a a a ? ?1 ? ? 时,即 2 ? a ? 6 ,函数 h(x) 在区间(一∞,-1]上的最大值为 h(? ) ? 1 , 2 6 2
a2 a a 时,即 a ? 6 ,因为 1 ? (a ? ) ? (1 ? ) 2 ? 0 恒成立, 4 2 6

当 ?1 ? ?

所以函数 h(x ) 在区间(一∞,-1]上的最大值为 h(? ) ? 1 ,

a 2

? a2 a? , ? 综上所述: M (a ) ? ? 4 ?1, ?

0?a?2 a?2



4


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