对数函数概念及性质应用_图文


2.1.1

指数与指数幂的运算

第一课时

根式

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.据国务院发展研究中心2000年发表 的《未来20年我国发展前景分析》判断, 未来20年,我国GDP(国内生产总值)年平 均增长率可望达到7.3%.那么在2010年, 我国的GDP可望为2000年的多少倍?

2.当生物死亡后,它机体内原有的碳14会 按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减 为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根 据 此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死 t
? 1 ? 5730 p?? ? 亡年数t之间的关系 ? 2 ? ,那么当生物

体死亡了1万年后,它体内碳14的含量为多 10000 少? 5730 ? 10, 1 ? 3、对1.073 ? 2 ? 这两个数的意义如 ? ? 何?怎样运算?

知识探究(一):方根的概念
思考1:4的平方根是什么?任何一个实数都 有平方根吗?一个数的平方根有几个? 思考2:-27的立方根是什么?任何一个实数都 有立方根吗?一个数的立方根有几个? 思考3:一般地,实常数a的平方根、立方根是 什么概念?

思考4:如果x4=a,x5=a,x6=a,参照上面 的说法,这里的x分别叫什么名称?

思考5:推广到一般情形,a的n次方根是一个 什么概念?试给出其定义. 一般地,如果xn=a,那么x叫a的n次方 根,其中n>1且n∈N.

知识探究(二):根式的概念 思考1:-8的立方根,16的4次方根,32的5次 方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立 方根分别是什么数?怎样表示? 思考2:设a为实常数,则关于x的方程 x3=a, x5=a分别有解吗?有几个解? 思考3:一般地,当n为奇数时,实数a的n次方 根存在吗?有几个?

思考4:设a为实常数,则关于x的方程 x4=a, x6=a分别有解吗?有几个解?

思考5:一般地,当n为偶数时,实数a的n次方 根存在吗?有几个?

思考6:我们把式子 n a (n ? N , n ? 1)叫做根式, 其中n叫做根指数,a叫做被开方数.那么, a的n次方根用根式怎么分类表示?

当n是奇数时,a的n次方根为

n

a.

当n是偶数时,若a>0,则a的n次方根为

? a;
n

若a=0,则a的n次方根为0;
若a<0,则a的n次方根不存在.

知识探究(三):根式的性质
思考1: ( 2) , ( ?2) , ( 2) 分别等于什么?一般 地 ( n a )n 等于什么? n n
3 3 5 5 4 4

( a) ? a

思考2: (?2) 一般地 n a n
3

3

, 2 , 2 , ( ?2)
5 5 4 4 4

4

分别等于什么?
n n

等于什么?
n n

当n是奇数时 a ? a ; 当n是偶数时 a ?| a |
思考3:对任意实数a,b,等式
n

a ? b ? ab
n n

成立吗 ?

理论迁移

例1 求下列各式的值
(1) ?64 ;
3
2

(2)
4

( ?2)

4

; (3) ( ?8) ;
3 3

(4) (?10) ; (5)

(3 ? ? ) 4 ;

(6) 8 (a ? 1)8 .

例2
(1)

化简下列各式
5?2 6 ?
4

9;

( a ? 1) 2 ? (1 ? a) 2 ? 3 (1 ? a)3 (2)

.

作业
P59习题2.1A组:1.

2.1.1

指数与指数幂的运算

第二课时

分数指数幂和无理数指数幂

问题提出
1.什么叫a的n次方根? 2.设 n ? N , n ? 1,则 a , a (a ? 0), a (a ? 0) 的含义分别如何?
n 0 ?n

3.整数指数幂有哪些运算性质? 设 m, n ? Z ,则

a ?a ? a
m n

m? n
n

; .

(a ) ? a
m n

mn

;(ab)

n

? a ?b
n

4. 5 , 5

2 3

2

有意义吗?

知识探究(一):分数指数幂的意义

4 思考1:设a>0,5 a10 , a 8 , a12 分别等于什么?

思考2:观察上述结论,你能总结出什么规律?
3 5

思考3:按照上述规律,根式 5 , 7 , a
4 3
5

7

分别可写成什么形式?

思考4:我们规定: n a m ? a (a>0,m,n∈N且
n>1),那么 8 表示一个什么数?
2 3

m n

3 ,4

1 2

2 分别表示什么根式? 5

思考5:你认为如何规定 a 且n>1)的含义?

n ? m

(a>0,m,n∈N,

思考6:怎样理解零的分数指数幂的意义? 思考7: (?2)
2 3

,(?2) ,(?2)
n m

3 2

3 5
*

都有意义吗?

当 a ? 0 时, a 无意义?

(m, n ? N , n ? 1)

何时

知识探究(二):有理数指数幂的运算性质 思考1: 2 ? 2 =?一般地 a ? a (a ? 0, r , s ? Q) 等于什么?
r s
3 2 4 3

思考2: (2 ) =?一般地 (a ) (a ? 0, r , s ? Q) 等于什么?
r s

3 2

4 3

思考3: ? 3 =?一般地 a ? b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) 2 等于什么?
r r

2 3

2 3

思考4:一般地 a ? a (a ? 0, r , s ? Q) 等于什么?
r s

知识探究(三):无理数指数幂的意义

思考1:我们知道 2 =1.414 21356?,

那么5

2

的大小如何确定?

2 52

2 的过剩近似值

1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563

5 11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752

2 的过剩近似值

5

2的不足近似值

2的不足近似值

9.518 9.672 9.735 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738

269 669 171 305 461 508 516 517 517

2 52

694 973 039 174 907 928 765 705 736

1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562

思考2:观察上面两个图表,5 是一个确定的 数吗?

2

思考3:有理指数幂的运算性质适应于无理数 指数幂吗?

理论迁移

例1 求下列各式的值
(1) 27 ;(2) 25
2 3 1 2

2 3

?

1 2

16 1 ?5 ;(3) ( 2 ) ;(4) ( 81)
1 3 1 6 5 6

?

3 4

.

例2 化简下列各式的值

(1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b )(a, b ? 0)
(2)(m n ) (m, n ? 0) (3) ?
3

1 2

1 4

?

3 8 8

(4)

25 ? 125 ? 4 25 2 a (a ? 0) 3 2 a? a

?

小结作业:
1.指数幂的运算性质适应于实数指数幂. 2.对根式的运算,应先化为分数指数幂,再 根据运算性质进行计算,计算结果一般用分 数指数幂表示.

P54练习:2,3. P59习题2.1A组:2.

2.1.2

指数函数及其性质

第一课时

指数函数的概念与图象

问题提出
1.对任意实数x, 的值存在吗? (?3) 的值存 3 在吗?1x 的值存在吗?
x
x

2. y ? 3 ( x ? R) 是函数吗?若是,这是什 么类型的函数?
x

知识探究(一):指数函数的概念

思考1:用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服, 若每次能洗去残留污垢的四分之三,则漂洗x 次后,衣服上的残留污垢y与x的函数关系是 什么?
思考2:据国务院发展研究中心2000年发表的 《未来20年我国发展前景分析》判断,未来 20年我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可 望达到7.3%. 设x年后我国的GDP为2000年的y 倍,则y与x的函数关系是什么?

思考3:上述函数在其结构上有何共同特点?

思考4:我们把形如 y ? a 的函数叫做指数函 数,其中x是自变量.为了便于研究,底数a的 取值范围应如何规定为宜?
x

a ? 0, a ? 1
思考5:指数函数y=ax(a>0,a≠1)的定义 域是什么?

知识探究(二):指数函数的图象

思考1:研究函数的基本特性,一般先研究其 x x 图象.你有什么方法作函数 y ? 2 和 y ? 3 的图象?

列表:
X -2

y ? 3x 2

-1.5

-1

-0.5 0

0.5 1.41

1

1.5

2 4 9

y=2x 0.25 0.35

0.5 0.71 1

2 2.83

y=3x 0.11 0.19 0.33 0.58 1 1.732 3 5.20

描点作图:
y

y?2

x

y

y ?3

x

1
0 x

1 0 x

思考2:函数 y ? 2 什么关系? 什么关系?

x

1 x y ? ( ) ? 2? x 的图象有 与 2

1 x ?x 函数 y ? 3 与 y ? ( ) ? 3 的图象有 3
x

思考3:一般地,指数函数的图象可分为几类? 其大致形状如何?

y ? a (a ? 1)
x

y ? a (0 ? a ? 1)
x

y

y

1 0 x

1

0

x

理论迁移 例1 判断下列函数是否为指数函数?

? x ; (2) y ? (ax ? 1) ;(3) y ? 2 ; x ?x 2 (4) y ? 5 ; (5) y ? 3 ; (6) y ? 4 ? 1
(1) y
3
2 x

x ?1

f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象过 例2 已知函数

点(3,),求 f (0), f (1), f (?3) 的值. ?

例3 求下列函数的定义域:

(1) y ? 5

x ?1

;(2) y ? 2

1 x ?4

.

作业
P58练习:2,3. P59习题2.1A组:5,6.

2.1.2

指数函数及其性质

第二课时

指数函数的性质

问题提出 1.什么是指数函数?其定义域是什么?大致 图象如何?
2.任何一类函数都有一些基本性质,那么指 数函数具有那些基本性质呢?

知识探究(一):函数 y ? a (a ? 1) 的性质
x

考察函数 y ? a (a ? 1) 的图象:
x

y

1

0

x

思考1:函数图象分布在那些象限?与x轴的相 对位置关系如何? 思考2:由此可知函数的定义域、值域分别是 什么?

考察函数 y ? a (a ? 1) 的图象:
x

y

1 0 x

思考3:函数图象的升降情况如何?由此说明 什么性质?

思考4:图象在y轴左、右两侧的分布情况如何? 由此说明函数值有那些变化?

思考5:若a>b>1,则函数 y ? a 与 y ? b 的 图象的相对位置关系如何?
x
x

y

y?a

x

y ? bx

1
0 x

知识探究(二):函数

y ? a x (0 ? a ? 1)
y

的性质

考察函数 y ? a 的图象:

x

(0 ? a ? 1)

1 0 x

思考1:函数的定义域、值域、单调性、函数 值分布分别如何?

思考2:若0<b<a<1,则函数 y ? a 与 x y ? b 的图象的相对位置关系如何?
x

y ? bx

y

y?a

x

1

0

x

思考3:指数函数具有奇偶性吗?

思考4:指数函数存在最大值和最小值 吗?
思考5:设a>0,a≠1,若am=an,则m与n的大 小关系如何?若am>an ,则m与n的大小关系 如何?

理论迁移

例1 比较下列各题中两个值的大小 (1) 1.72.5 与1.73 ; (2) 0.8-0.1与0.8-0.2 ; (3) 1.70.3与0.93.1

例2 若指数函数y=(2a-1)x是减函数, 求实数a的取值范围.

例3 确定函数f(x)= 2-|x|的单调区间和 值域.
m n

例4

设a

= 0.9

0.8

,

b = 0.9

n

0.8

m

,

其中m,n为实数,试比较a与b的大小.

作业 P59习题2.1A组:7,8,9.

2.1.2

指数函数及其性质

第三课时

指数函数及其性质的应用

知识回顾 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质:
0<a<1
(0, ??)

a>1
y
1

y
1

图象
0

x

0

x

定义域 值域 性质

R (0, ??)
当x>0时0<y<1; 当x<0时y>1; 当x=0时y=1; 在R上是减函数

R (0, ??)
当x>0时y>1; 当x<0时0<y<1; 当x=0时y=1; 在R上是增函数

范例分析
x

例1 求函数 f ( x) ? 1 ? 2 的定义域和值域. 例2 已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 的值域 是(12, ??) ,求f(x)的定义域.
x x?2

例3 已知关于x的方程 2 ? m ? 1 有 实根,求实数m的取值范围.

?| x|

2 ?1 例4 已知函数 f ( x) ? x 2 ?1
x

(1)确定f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)的单调性; (3)求f(x)的值域.
1 x2 ? 2 x 例5 求函数 y ? ( ) 的单调区间, 3

并指出其单调性.

作业 P60习题2.1B组:1,2,3,4.


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