高中数学 第一章 三角函数 1_4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 浅议诱导公式的推广素材 北师大版

浅议诱导公式的推广 对于绝对值大于 2π 的角的三角函数求值, 能否直接套一个公式得出结果?要想解决这 个问题,下面首先对诱导公式进行扩展,供同学们参考。 一、kπ ±α (k∈Z)的诱导公式 ⒈象限的参数式集合 设 α ∈(0, ? ),由图 1 易知, 2 y 奇π -α 偶π +α 偶π O x 奇π +α 偶 偶π -α π半 πα 第一象限的角的集合为: {β |β =2kπ +α ,k∈Z}={β |β =偶 π +α } 第二象限的角的集合为: {β |β =(2k+1)π -α ,k∈Z}={β |β =奇 π -α } 第三象限的角的集合为: {β |β =(2k+1)π +α ,k∈Z}={β |β =奇 π +α } 第四象限的角的集合为: {β |β =2kπ -α ,k∈Z}={β |β =偶 π -α } ⒉诱导公式的扩展 sin(偶 π +α )=sinα , cos(偶 π +α )=cosα , tan(偶 π +α )=tanα , sin(奇 π -α )=sinα , cos(奇 π -α )=-cosα , tan(奇 π -α )=-tanα , sin(奇 π +α )=-sinα ,cos(奇 π +α )=-cosα , tan(奇 π +α )=tanα , sin(偶 π -α )=-sinα ,cos(偶 π -α )=cosα , tan(偶 π -α )=-tanα 。 说明:①这一组公式可由诱导公式一二四轻松得出,其中正切诱导公式可由正、余弦公 式用商数关系得出。②将 α 当 锐角看,则由公式左边角的象限确定公式右边的符号,这就 . 叫“符号看象限”。 二、±半 π ±α 的诱导公式 ⒈所在象限 ? 2 奇π y ? +α 2 - ? -α 2 ? O ? x -α - + α 2 偶 2 设 α ∈(0, ? ),由图 2,则 2 ? -α 是第一象限的角; 2 ? +α 是第二象限的角; 2 - 3? ? -α (或 -α )是第三象限的角; 2 2 3? ? +α (或 +α )是第四象限的角。 2 2 - ⒉诱导公式的扩展 sin( ? ? ? -α )=cosα , cos( -α )=sinα ,tan( -α )=cotα , 2 2 2 ? ? ? +α )=cosα , cos( +α )=-sinα , tan( +α )=-cotα , 2 2 2 ? ? ? -α )=-cosα ,cos(- -α )=-sinα , tan(- -α )=cotα , 2 2 2 ? ? ? +α )=-cosα ,cos(- +α )=sinα , tan(- +α )=-cotα 。 2 2 2 sin( sin(- sin(- 推导举例:sin(- ? ? ? -α )=sin[-π +( -α )]=-sin( -α )=-cosα , 2 2 2 cos( ? ? ? +α )=cos[π -( -α )]=-cos( -α )=-sinα , 2 2 2 3? ? ? +α )=tan[2π -( -α )]=-tan( -α )=-cotα 。 2 2 2 tan( 说明:对于任意角求三角函数值,可先用诱导公式一化为 0~2π 间的角,再用这组公式 求值。用公式时,α 当 锐角看。 . 从两套公式可看出, 对 kπ ±α (k∈Z)的三角函数值, 得 α 的同名函数值; 对± ? 2 ±α 的三角函数值,得 α 的余名函数值。然后再加上一个把 α 当锐角看时原函数值的符号,概 括为“半变整不变,符号看象限”。 三、典题例示: 例 1 化简 sin(- 2007? )。 4 2007? 2007? )=-sin( ) 5 5 解法一:(常规方法)sin(- =-sin(400π + 7? 2? 2? 2? )=-sin(π + )=-(-sin )=sin 5 5 5 5 2007? 2? 2? )=sin(-401π )=sin 5 5 5 解法二:(扩展方法 1) sin(- 点评:①常规方法是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即 利用诱导公式 任意负角的 三角函数 利用诱导 公式一 0~2π 的角的 三角函数 利用诱导公式 二或四或五 锐角的 三角函数 三或一 任意正角的 三角函数 也就是“负化正,大化小,化到锐角就行”。 ②扩展方法是把角一步化到“整 π ±α ”形式,直接确定符号,其难点在于化简较常 规方法要难。一般地,当角的绝对值大于 2π 时用此法较快。 ③三角函数的化简需将结果化成锐角的三角函数,是特殊角的要求出函数值。 例 2 若 sinα 是方程 6x=2- x 的根,求 cos(? ? 7? ) tan(6? ? ? ) 的值。 7? cos( ? ? ) cot(3? ? ? ) 2 分析:将 α 当锐角看,α -7π =-7π +α 是第三象限角,6π -α 是第四象限角, 7? ? =4π - 是第四象限角,3π -α 是第二象限角。 2 2 解:原式= (? cos ? )(? tan ? ) =-tanα sin ? (? cot ? ) 1 1 ,∴sinα = , 4 4 方程 6x=2- x 可变形为 6x+ x -2=0,解得 x= α 是第一、二象限角,cosα =± 1 ? ( ) =± 2 1 4 15 15 ,tanα =± , 4 15 ∴原式=-tanα =± 15 。 15 点评:将 α 当锐角看是确定象限,确定符号的关键。

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