高中数学第二章圆锥曲线与方程222双曲线的几何性质课堂导学案新人教B版选修11


2.2.2 双曲线的几何性质 课堂导学 三点剖析 一、双曲线的渐近线 2 2 【例 1】 求双曲线 16x -9y =-144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、 渐近线方程. 解析:把方程 16x -9y =-144 化为标准方程 2 2 y2 x2 ? =1. 4 2 32 因此可知,实半轴长 a=4,虚半轴长 b=3;c= a2 ? b2 =5, 焦点坐标为(0,-5),(0,5); 离心率 e= c 5 ? ; a 4 4 x. 3 顶点坐标为(0,-4),(0,4); 渐近线方程为 y=± 温馨提示 x2 y2 y2 x2 b 双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的渐近线为 y=± x,双曲线 2 ? 2 =1 的渐近线为 a a b a b x=± a b y,即 y=± x,应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点. a b 二、双曲线的离心率 【例 2】 双曲线 x2 y2 ? =1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1, a2 b2 4 c.求双曲线的离心率 e 的取值范 5 0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ 围. 解:直线 l 的方程为 x y ? =1,即 bx+ay-ab=0. a b 由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1= 同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离: b(a ? 1) a2 ? b2 . d2= b(a ? 1) a2 ? b2 ,s=d1+d2= 2ab a 2 ? b2 ? 2ab . c 由 s≥ 4 2ab 4 ? c, c,得 5 c 5 2 2 即 5a c 2 ? a 2 ≥2c .于是得 5 e2 ? 1 ≥2e , 1 即 4e -25e +25≤0. 解不等式,得 由于 e>1>0, 所以 e 的取值范围是 4 2 5 2 ≤e ≤5. 4 5 ≤e≤ 5 . 2 温馨提示 本题通过构造法来求离心率的取值范围, 考查了不等式的数学思想, 点到直线的距离公 式,双曲线的基本性质,以及综合运算能力. 三、直线与双曲线的位置关系 2 2 【例 3】 已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x -y =1 交于 A、B 两点 (1)若以 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值; (2)是否存在这样的实数 a,使 A、B 两点关于直线 y= 不存在,请说明理由. 解析:(1)由 ? 2 2 1 x 对称?若存在,请求出 a 的值;若 2 ? y ? ax ? 1, 2 2 ?3 x ? y ? 1 消去 y,得 ① (3-a )x -2ax-2=0. 依题意 ? ?3 ? a 2 ? 0, ?? ? 0, ② 即- 6 <a< 6 且 a≠±3. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2a ? x1 ? x2 ? , ? ? 3 ? a2 则? ?x x ? ? 2 . 1 2 ? 3 ? a2 ? ③ ④ ∵以 AB 为直径的圆过原点,∴OA⊥OB. ∴x1x2+y1y2=0. 2 但 y1y2=a x1x2+a(x1+x2)+1, 2a ?2 ,x1x2= . 2 3 ? a2 3?a 2a ?2 2 ∴(a +1)· +a· +1=0. 2 3?a 3 ? a2 由③④,x1+x2= 解得 a=±1 且满足②. (2)假设存在实数 a,使 A、B 关于 y= ∴a· 1 1

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