2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式学案新人教A版必修4.doc

2019-2020 学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公 式学案新人教 A 版必修 4
使用说明与学法指导 1、认真自学课本,牢记基础知识,弄清课本例题,试完成教学案练习,掌握基本题型,再 针对疑问重新研读课本. 2、限时完成,书写规范,高效学习,激情投入. 3、小组长在课中讨论环节要组织高效讨论,做到互学,帮学。 一、学习目标 1 预习《两角差的余弦公式》 ,体会两角差的余弦公式的推导过程 ,尤其是向量法的运用。 2 通过探究得到两角差的余弦公式(重点) 3 对公式探索过程的理解和运用(难点) 二、问题导学(自学课本后,请解答下列问题) 1.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,以 Ox 为始边作角 α ,β ,它们的终边 与单位圆 O 的交点分别为 A,B,则 A 点坐标是________________,B 点坐标是______________, → → → → → → 向量OA=______________,向量OB=______________.OA·OB=______________.另一方面OA·OB → → =|OA| ·|OB|·cos∠AOB=____________.

2.两角差的余弦公式 cos(α -β )=________________________________,简记符号:C(α -β )

利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式: (1) cos(

?
2

? ? ) ? sin ? ;

(2) cos(2? ? ? ) ? cos ?

三、合作探究 灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法.例如 α =(α +β )-β ;β =(α +β ) -α 等.请你利用拆分角方法,结合公式 cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β 计算 cos 15°的值.

公式的简单运用 例 1:求下列各式的值.

(1)sin 195°+cos 105°;(2)cos(α -45°)cos(15°+α )+cos(α +45°)cos(105°+ α ).

变式 1:求下列各式的值. π (1)cos ;(2)cos(x+20°)cos(x-40°)+cos(x-70°)sin(x-40°). 12

给值求值问题 β ? 1 ? ?α ? 2 ?π ? ? π? 例 2:设 cos?α - ?=- ,sin? -β ?= ,其中 α ∈? ,π ?,β ∈?0, ?,求 cos 2? 2? 9 ? ?2 ? 3 ?2 ? ? α +β . 2

8 21 变式 2:已知 α ,β 均为锐角,sin α = ,cos(α -β )= ,求 cos β 的值. 17 29

给值求角问题 1 11 ? π? 例 3:已知 cos α = ,cos(α +β )=- ,且 α 、β ∈?0, ?,求 β 的值. 2? 7 14 ?

变 式 3 : 已 知 cos(α - β ) = - β ∈?

12 12 ?π ? , cos(α + β ) = , 且 α - β ∈ ? ,π ? , α + 13 13 ?2 ?

?3π ,2π ?,求角 β 的值. ? ? 2 ?

四、当堂检测 1.化简 cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α 得( A.cos α C.cos(2α +β ) B.cos β D.sin(2α +β ) )

2.满足 cos α cos β = 13 5 A.α = π ,β = π 12 4 π π C.α = ,β = 2 6

3 -sin α sin β 的一组 α ,β 的值是( 2 13 3 B.α = π ,β = π 12 4 π π D.α = ,β = 4 6

)

3.若 cos(α -β )= 为( )

5 10 ,cos 2α = ,并且 α 、β 均为锐角且 α <β ,则 α +β 的值 5 10

A.

π 6

B.

π 4

C.

3π 4

D.

5π 6

3 2 5 ?π ? 4.若 sin(π +θ )=- ,θ 是第二象限角,sin? +φ ?=- ,φ 是第三象限角,则 5 5 ?2 ? cos(θ -φ )的值是( A.- 5 5 B. 5 5 ) C. 11 5 25 D. 5

5.若 sin α +sinβ =1-

3 1 ,cosα +cos β = ,则 cos(α -β )的值为( 2 2

)

A.

1 2

B.-

3 2

C.

3 4

D.1

6.cos 47°cos 77°-sin 47°cos 167°=________.

1 2 2 7.若 cos(α -β )= ,则(sin α +sin β ) +(cos α +cos β ) =________. 3

11 8.已知 tan α =4 3,cos(α +β )=- ,α 、β 均为锐角,求 cos β 的值. 14

4 3 π 3π 9.已知 cos(α -β )=- ,sin(α +β )=- , <α -β <π , <α +β <2π ,求 β 的 5 5 2 2 值.

五、我的学习总结 ①知识与技能方面:

②数学思想与方法方面:


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