3.1函数的概念及其表示法


【课题】 3.1 函数的概念及其表示法 【教学目标】
知识目标: (1) 理解函数的定义; (2) 理解函数值的概念及表示; (3) 理解函数的三种表示方法; (4) 掌握利用“描点法”作函数图像的方法. 能力目标: (1) 通过函数概念的学习,培养学生的数学思维能力; (2) 通过函数值的学习,培养学生的计算能力和计算工具使用技能; (3) 会利用“描点法”作简单函数的图像,培养学生的观察能力和数学思维能力.

【教学重点】
(1) 函数的概念; (2) 利用“描点法”描绘函数图像.

【教学难点】
(1) 对函数的概念及记号 y ? f (x) 的理解; (2) 利用“描点法”描绘函数图像.

【教学设计】
(1)从复习初中学习过的函数知识入手,做好衔接; (2)抓住两个要素,突出特点,提升对函数概念的理解水平; (3)抓住函数值的理解与计算,为绘图奠定基础; (4)学习“描点法”作图的步骤,通过实践培养技能; (5)重视学生独立思考与交流合作的能力培养.

【教学备品】
教学课件.

【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学过程】 教 过
*揭示课题 介绍 了解

学 程

教师 学生 教学 行为 行为 意图

时 间

第 3 章 函数(教案)

教 过

学 程

教师 学生 教学 行为 行为 意图
从实 际事 播放 课件 观看 课件 例使 学生 自然 质疑 思考 的走 向知 识点

时 间

3.1 函数的概念及其表示法 *创设情景 兴趣导入 问题 学校商店销售某种果汁饮料,售价每瓶 2.5 元,购买果汁 饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢? 解决 设购买果汁饮料 x 瓶,应付款为 y ,则计算购买果汁饮料 应付款的算式为
y ? 2.5 x .

归纳 因为 x 表示购买果汁饮料瓶数,所以 x 可以取集合 按照算式法则 y ? 2.5x , 应付款 y ?0,1, 2,3,?? 中的任意一个值, 有唯一的值与之对应. 两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系. *动脑思考 探索新知 概念 在某一个变化过程中有两个变量 x 和 y,设变量 x 的取值 范围为数集 D,如果对于 D 内的每一个 x 值,按照某个对应法 仔细 分析 理解 思考 引导 分析 自我 分析

引导 启发 学生 体会 对应 带领 学生 总结 上述 问题 得到 记忆 函数 概念 强调 观察 5

则 f , y 都有唯一确定的值与它对应,那么,把 x 叫做自变量, 讲解 把 y 叫做 x 的函数. 表示 将上述函数记作 y ? f ? x ? . 变量 x 叫做自变量,数集 D 叫做函数的定义域. 当 x ? x0 时,函数 y ? f ? x ? 对应的值 y0 叫做函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的函数值.记作 y0 ? f ? x0 ? . 函数值的集合 ? y | y ? f ? x ? , x ? D? 叫做函数的值域. 函数的定义域与对应法则一旦确定,函数的值域也就确定 了.因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素. 说明 说明 关键 词语

充分 讲解

领会

函数 变量 和法 则之

了解

间的

第 3 章 函数(教案)

教 过

学 程

教师 学生 教学 行为 行为 意图
关系

时 间

定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数,而与选 用的字母无关.如函数 y ? x 与 s ? t 表示的是同一个函数. *巩固知识 典型例题 例1 求下列函数的定义域: (1) f ? x ? ?

10

通过 (2) f ? x ? ? 1 ? 2x . 质疑 观察 例题 强化 定义 说明 思考 域的 含义 引领 主动 求解 及时 归纳 定义 记忆 强调 域的 基本 情况

1 ; x ?1

分析 如果函数的对应法则是用代数式表示的,那么函数的定 义域就是使得这个代数式有意义的自变量的取值集合. 解 (1)由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? ?1 . 因此函数的定义域为 ?x | x ? ?1? , 用区间表示为 ? ??, ?1? ? ? ?1, ?? ? . (2)由 1 ? 2 x …0 ,得 x ?

1 . 2

1? ? 因此函数的定义域为 ? ??, ? . 2? ?

归纳 代数式中含有分式,使得代数式有意义的条件是分母不 等于零;代数式中含有二次根式,使得代数式有意义的条件是 被开方式大于或等于零. 例 2 设 f ? x? ? 分析

2x ? 1 ,求 f ? 0 ? , f ? 2 ? , f ? ?5? , f ? b ? . 3
讲解 观察 突出 代入 意义 思考 注意 分析 观察 学生 理解 是否 理解 知识 点

本题是求自变量 x ? x0 时对应的函数值,方法是将 x0 代

入函数表达式求值. 解

f ? 0? ? f ? 2? ?

2 ? 0 ?1 1 ?? , 3 3 2 ? 2 ?1 ? 1, 3
2 ? ? ?5 ? ? 1 3 11 ?? , 3

f ? ?5 ? ?

2 ? b ? 1 2b ? 1 . f ?b? ? ? 3 3
例 3 指出下列各函数中,哪个与函数 y ? x 是同一个函数:

第 3 章 函数(教案)

教 过
(1) y ?
x2 ; x

学 程
(3) s ? t .

教师 学生 教学 行为 行为 意图
说明 了解 把握 思考 引领 分析 主动 求解 讲解 函数 的本 质含 义

时 间

(2) y ? x2 ;
2

解 (1)函数 y ?

x 的定义域为 {x | x ? 0} ,函数 y ? x 的定义 x

域为 R.它们的定义域不同,因此不是同一个函数;
? x, x …0, (2)函数 y ? x 2 ? x ? ? 这个函数与 y ? x 的 ? ?- x,x x ? 0.

定义域相同,都是 R.但是它们的对应法则不同,因此不是同 一个函数; (3)尽管表示两个函数的字母不同,但是定义域与对应法 则都相同,所以它们是同一个函数. *运用知识 强化练习 教材练习 3.1.1 1.求下列函数的定义域: 2 (1) f ? x ? ? ; (2) f ? x ? ? x2 ? 6x ? 5 . x?4 2.已知 f ? x ? ? 3x ? 2 ,求 f ? 0 ? , f ?1? , f ? a ? . 3.判定下列各组函数是否为同一个函数: 指导 x2 ? 1 (1) f ( x) ? x , f ( x) ? 3 x3 ; (2) f ( x) ? x ? 1 , f ( x ) ? . x ?1 *创设情景 兴趣导入 问题 观察下面的三个例子,分别用什么样的形式表示函数: 质疑 1.观察某城市 2008 年 8 月 16 日至 8 月 25 日的日最高气温统 计表: 日 期 16 29 17 29 18 28 19 30 20 25 21 28 22 29 23 28 24 29 25 引导 30 分析 提问

25

思考

及时 了解

动手 巡视 求解

学生 知识 掌握

交流

情况 35

观察 思考

引导 启发 学生 了解

最高气温

自我 体会

由表中可以清楚地看出日期 x 和最高气温 y ( ? C )之间的 函数关系. 2. 某气象站用温度自动记录仪记录下来的 2008 年 11 月 29 日 0 时至 14 时的气温 T ( ? C )随时间 t (h)变化的曲线如下图 所示: 质疑

体会 函数 的三 种表 示方

观察

法的

第 3 章 函数(教案)

教 过

学 程

教师 学生 教学 行为 行为 意图
思考 引导 分析 自我 体会 特点

时 间

曲线形象地反映出气温 T ( ? C )与时间 t (h)之间的函 数关系,这里函数的定义域为 ? 0,14? .对定义域中的任意时间 有唯一的气温 T 与之对应. 例如, t ? 6 时, 当 气温 T ? 2.2?C ; t, 当 t ? 14 时,气温 T ? 12.5?C . 3. 用 S 来表示半径为 r 的圆的面积,则 S ? π r 2 .这个公式清 楚地反映了半径 r 与圆的面积 S 之间的函数关系,这里函数的 定 义 域 为 R ? . 以 任 意 的 正 实 数 r0 为 半 径 的 圆 的 面 积 为

说明

了解

从函 说明 体会 启发 引领 领悟 数的 角度 讲解 公式 45 带领 总结 归纳 思考 学生 总结 函数 介绍 说明 理解 记忆 举例 的三 种表 示方 法并 了解 其各 说明 观察 自的 特点

S0 ? π r02 .
*动脑思考 探索新知 函数的表示方法:常用的有列表法、图像法和解析法三种. (1)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如,数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表,银行里 的利息表,列车时刻表等都是用列表法来表示函数关系的. 用列表法表示函数关系的优点:不需要计算就可以直接看 出与自变量的值相对应的函数值. (2)图像法:就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系. 例如,我国人口出生率变化的曲线,工厂的生产图像,股市走 向图等都是用图像法表示函数关系的. 用图像法表示函数关系的优点:能直观形象地表示出自变 量的变化,相应的函数值变化的趋势. (3)解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个 可以

第 3 章 函数(教案)

教 过

学 程

教师 学生 教学 行为 行为 意图
教给 举例 体会 学生 自我 分析 介绍 了解 总结

时 间

等式叫做函数的解析表达式,简称解析式. 例如,s=60t ,A= π r ,S=2 πrl ,y= x ? 2 (x …2)等都是用
2 2

解析式表示函数关系的. 用解析式表示函数关系的优点:一是简明、全面地概括了 变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值 所对应的函数值. *巩固知识 典型例题 例 4 文具店内出售某种铅笔,每支售价为 0.12 元,应付款额 是购买铅笔数的函数,当购买 6 支以内(含 6 支)的铅笔时, 质疑 请用三种方法表示这个函数. 分析 函数的定义域为{1,2,3,4,5,6},分别根据三种函 数表示法的要求表示函数. 解 设 x 表示购买的铅笔数(支) y 表示应付款额(元) , ,则 说明 体会 观察

55

通过 例题 进一 步领 会函 数三

函数的定义域为 ?1, 2,3, 4,5,6? . (1)根据题意得,函数的解析式为 y ? 0.12 x ,故函数的 解析法表示为 y ? 0.12 x , x ??1,2,3,4,5,6? . (2)依照售价,分别计算出购买 1~6 支铅笔所需款额, 列成表格,得到函数的列表法表示. 引领 4 0.48 5 0.6 6 0.72 主动 求解 强调 思考

种表 示方 法的 特点

x /支

1 0.12

2 0.24

3 0.36

y /元

(3)以上表中的 x 值为横坐标,对应的 y 值为纵坐标,在 直角坐标系中依次作出点(1,0.12)(2,0.24)(3,0.36) 讲解 , , , (4,0.48)(5,0.6)(6,0.72) , , ,得到函数的图像法表示. 理解 突出 图像 的作 法 启发 领会 数形 结合 分析

第 3 章 函数(教案)

教 过
归纳

学 程

教师 学生 教学 行为 行为 意图
带领 学生 强调 领会 总结 归纳 函数 理解 总结 记忆 的图 像做 法特 别注 意步 说明 了解 骤性 和细 节 启发 引导 思考 演示 过程

时 间

由例 4 的解题过程可以归纳出“已知函数的解析式,作函 数图像”的具体步骤: (1)确定函数的定义域; (2)选取自变量 x 的若干值(一般选取某些代表性的值) 归纳 计算出它们对应的函数值 y,列出表格; (3)以表格中 x 值为横坐标,对应的 y 值为纵坐标,在直 角坐标系中描出相应的点 ( x, y ) ; (4)根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线. 这种作函数图像的方法叫做描点法. 例5 利用 “描点法” 作出函数 y ? 并判断点 (25, x 的图像,

5)是否为图像上的点 (求对应函数值时,精确到 0.01) . 解 (1)函数的定义域为 [0,??) . (2)在定义域内取几个自然数,分别求出对应函数值 y , 列表:

x
y

0 0

1 1

2 1.41

3 1.73

4 2

5 2.24

? ? 强调 求解

中提 醒学 生注 意作 图的 细节

(3)以表中的 x 值为横坐标,对应的 y 值为纵坐标,在直 角坐标系中依次作出点( x, y ) .由于 f (25) ? 25 ? 5 ,所以 点 (25,5) 是图像上的点. (4)用光滑曲线联结这些点,得到函数图像.

讲解

理解 70

*运用知识 强化练习 教材练习 3.1.2 1.判定点 M1 ?1, ?2 ? , M 2 ? ?2,6? 是否在函数 y ? 1 ? 3x 的图像 提问 动手 求解

及时 了解 学生

第 3 章 函数(教案)

教 过
上.

学 程

教师 学生 教学 行为 行为 意图
巡视 交流 指导 知识 掌握 情况

时 间

2.市场上土豆的价格是 3.2 元/kg ,应付款额 y 是购买土豆 数量 x 的函数.请分别用解析法和图像法表示这个函数. *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 提问 引导

80 培养 回忆 学生 反思 学习 反思 过程 的能 力 *继续探索 活动探究 (1)读书部分: 教材章节 3.1,学习与训练 3.1; (2)书面作业: 学习与训练 3.1 训练题; (3)实践调查:举出函数的生活实例. 说明 记录 90 85

第 3 章 函数(教案)


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