2018高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案:第一章 §3 柱坐标系和球坐标系

§ 3 柱坐标系和球坐标系 [对应学生用书 P15] [自主学习] 1.柱坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系 O xyz,设 M(x,y,z)为空 间一点,并设点 M 在 xOy 平面上的投影点 P 的极坐标为(r,θ), 则这样的三个数 r,θ,z 构成的有序数组(r,θ,z)就叫作点 M 的 柱坐标,这里规定 r,θ,z 的变化范围为 0≤r<+∞,0≤θ<2π,-∞<z<+∞. (2)空间点 M 的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(r,θ,z)之间的变换公式为 x=rcos θ, ? ? ?y=rsin θ, ? ?z=z. 2.球坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系 O xyz,设 M(x,y,z)为空 间一点,点 M 可用这样三个有次序的数 r,φ,θ 来确定,其中 r 为原点 O 到点 M 间的距离,φ 为有向线段 OM 与 z 轴正方向所 夹的角, θ 为从 z 轴正半轴看, x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段 OP 的角, 这里 P 为点 M 在 xOy 平面上的投影(如图).这样的三个数 r,φ,θ 构成的有序 数组(r, φ, θ)叫作点 M 的球坐标, 这里 r, φ, θ 的变化范围为 0≤r<+∞, 0≤φ≤π, 0≤θ<2π. (2)空间点 M 的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为 x=rsin φcos θ, ? ? ?y=rsin φsin θ, ? ?z=rcos φ. . [合作探究] 1.空间中点的直角坐标、柱坐标和球坐标各有何特点? 提示:设空间中点 M 的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(r,θ,z),球坐标 为(r,φ,θ),它们都是有序数组,但意义不同,直角坐标为三个实数;柱坐标分 别表示距离、角、实数;球坐标分别表示距离、角、角. 2.在极坐标系中,方程 ρ=ρ0(ρ0 为不为 0 常数),θ=θ0(θ0 为常数)表示的图 形分别是圆和直线,那么在柱坐标系中,方程 ρ=1,z=-1 分别表示空间中的 π 什么曲面?在球坐标系中,方程 r=1,φ= 分别表示空间中的什么曲面? 4 提示:在柱坐标系中,方程 ρ=1 表示以 z 轴为中心,以 1 为半径的圆柱面; 方程 z=-1 表示与 xOy 坐标面平行的平面,此平面与 xOy 面的距离为 1 且在 此坐标面的下方;在球坐标系中,方程 r=1 表示球心在原点的单位球面;方程 π π φ= 表示顶点在原点,半顶角为 的上半个圆锥面,中心轴为 z 轴. 4 4 [对应学生用书 P16] 将点的直角坐标化为柱坐标或球 坐标 [例 1] 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,如图所示 建立空间直角坐标系,以 Ax 为极轴,求点 C1 的直角坐标、柱坐标以及球坐标. [思路点拨] 本题考查直角坐标系,柱坐标系及球坐标系下点的坐标的确定 及其关系的转化;解答此题需用法一:结合图形分别求三种坐标,法二:先求出 点 C1 的直角坐标,再分别化为柱坐标、球坐标即可. [精解详析] 设点 C1 的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),球坐标 为(r,φ,θ),其中 ρ≥0,r≥0. 法一:结合图形及三种坐标系的概念知 C1 的直角坐标为(1,1,1),柱坐标为 ? ? ? π ? ? 2, ,1?,球坐标为? 4 ? ? π? 3,φ, ?(其中 tan φ= 4? 2,0≤φ≤π). x=ρcos θ, ? ? 法二:由公式?y=ρsin θ, ? ?z=z, x=rsin φcos θ, ? ? 及?y=rsin φsin θ, ? ?z=rcos φ. ρ= x2+y2, ? ? 得? y tan θ = ?x≠0? ? x ? x= x2+y2+z2, ? ? 及? z cos φ = ? r ? (x≠0). x=1, ? ? 又?y=1, ? ?z=1, ? ? ρ= 2 , 所以? ? ?tan θ=1 r= 3, ? ? 及? 3 cos φ = , ? 3 ? π 结合图形得 θ= , 4 由 cos φ= 3 3 得 tan φ= 2 π ? 2, ,1?,球坐标为 4 ? ? 所以点 C1 的直角坐标为(1,1,1),柱坐标为? ? ? ? ? π? 3,φ, ?(其中 tan φ= 4? 2,0≤φ≤π). 1.在三种坐标系中确定点的坐标,一般数形结合确定距离和角大小. 2.转化点 M 的直角坐标(x,y,z) x=rcos θ, ? ? (1)为柱坐标(r,θ,z)时,需要对公式?y=rsin θ, ? ?z=z 进行变换得 ?r= x +y , ? y ?tan θ=x?x≠0?, ? ?z=z, 2 2 且求 θ 时要特别注意角 θ 所在象限, 从而确定 θ 的取值. x=rsin φcos θ, ? ? (2)为球坐标(r,φ,θ)时,需要对公式?y=rsin φsin θ, ? ?z=rcos φ ?r= x +y +z , ?cos φ=z, r 进行变换得? ?tan θ=y x ? 2 2 2 (x≠0). 若本例中条件不变,求点 C,D 的柱坐标与球坐标. ? 解:结合图形知点 C 的直角坐标为(1,1,0),柱坐标为? ? ? 为? ? π ? 2, ,0?,球坐标 4 ? π π? π ? ? 2, , ?.同样点 D 的直角坐标为(0,1,0),柱坐标为?1, ,0?,球坐标为 2 4? 2 ? ? π π? ? ? 1, , ? . 2 2? ? 由点的柱坐标求直角坐 标 [例 2] 根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标: π ? 2, ,5?. 4 ? ? ? 5π ? ? ? (1)?2, ,3?;(2)? 6 ? ? ? [思路点拨] x=rcos θ, ? ? 本题考查关系式?y=rsin θ, ? ?z=z 的直接应用, 设点

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