等差数列前n项和(第一课时)课件_图文

等差数列的前n项和

复习:
(1)什么叫等差数列?
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.其表示为:
an ? an?1 ? d (d为常数, n ? 2)
(2) 等差数列的通项公式是什么?
an=a1+(n-1)d
(3)在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q是正整数),
则 am+an= ap+ aq
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A? a?b 2

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… 问题 计算: 1+2+3+ +100=?
高斯的算法: 首项与末项的和:1+100=101, 第2项与倒数第2项的和:2+99=101, 第3项与倒数第3项的和:3+98=101, ……
第50项与倒数第50项的和:50+51=101.
于是所求的和为: (1?100) ? 100 ? 5050 2
上述求解过程带给我们什么启示?
(1)任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。
(2)所求的和可以用首项、末项及项数来表示;

计算: 1+2+3+ … +199=?

… 解:设 s199= 1+ 2+ 3+ +197+198+199
s199=199+198+197+ … + 3+ 2 + 1

猜想

2s199=(1+199)+(2+198)+(3+197)+ …

+(197+3)+(198+2)+(199+1)

S199

?

(1? 199)?199 2

设Sn是等差数列{an}的前n项的和,即 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an
? n(a1 ? an ) 2

设Sn是等差数列{an}的前n项的和,即
Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an Sn ? an ? an?1 ? ? ? a2 ? a1
相加得:

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ? ? (an?1 ? a2 ) ? (an ? a1 )
? n(a1 ? an )

? Sn

?

n(a1 ? 2

an )

等差数列的前n项和公式

(1)

Sn

?

n(a1 ? an ) 2

(2) 如果已知等差数列的首项为a1,公差为d,项数为n,

把an=a1+(n-1)d代入 Sn ? 前n项和的另一个公式:

n(a1 ? 2

an )

可得到等差数列

n(n ? 1)

Sn ? na1 ?

2

d

公式的应用
例1 计算: (1)在1与6之间插入3个数,使这5个数成等差数列, 求它们的和.
(2)求等差数列1,4,7,10 ……前15项的和。
(3)在等差数列{an}中, a1=2 , a17=66 ,求它 的前n项和Sn.

例2:等差数列-10,-6,-2,2,...前 多少项和是54?

解:将题中的等差数列记为{an},sn代表该数
列的前n项和,则有a1=-10, d=-6-(- 10)=4 设该数列前n 项和为54.

根据等差数列前n项和公式:sn 得 ? 10n ? n(n ? 1) ? 4 ? 54

?

na1

?

n(n ?1) 2

d

2

整理,得 n2 ? 6n ? 27 ? 0

解得 n1=9, n2=-3(舍去)

因此等差数列-10,-6,-2,2,...前9项的和

是54.

随堂练习

1、根据下列各题中的条件,求相应的等差数列

{an}的前n项和Sn (1)a1=5, an=95, n=10 (2)a1=100, d=-2, n=50

S10

?

10? (5 ? 2

95)

?

500

S50

?

50 ?100

?

50? (50 2

?1)

?

2550

先由an ? a1 ? (n ?1)d得

(3)a1=14.5,

d=0.7, an=32

32 ? 14.5 ? (n ?1) ? 0.7 ? n ? 26

所以sn

?

26? (14.5 ? 32) 2

?

604.5

2、等差数列5,4,3,2,1,…前多少项的和是-30?

[前15项]

小结

1.公式的推导方法:倒序相加法。

2.等差数列前n项和公式。

Sn

?

n(a1 ? 2

an )

n(n ? 1) Sn ? na1 ? 2 d

3.公式的应用。

作业

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