高一数学期末考试卷(必修1+必修2)

高一数学试卷
(必修 1+必修 2)
说明: 本试卷分第Ⅰ卷(选择填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 6 页, 满分 120 分,考试时间 90 分钟。 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔写在答卷上。 2.第 I 卷每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。答在第Ⅰ卷上不得分。 3.考试结束,考生只需将第Ⅱ卷(含答卷)交回。

第I卷

(选择填空题 满分 56 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) . 1.集合 A ? {-, . 1 0}, B ? {0,1}, C ? {1, 2},则(A ? B) ? C =( * ) (A) ? 2.若 f ( x) ? (A) ? (B){1} (C){0,1,2} (D){-1,0,1,2}

x ,则 f (?3) 等于( * ) . 1? x
(B) ?

3 2

3 4

(C)

3 4

(D) ?

3 2

3.已知直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,则该直线 l 的倾斜角为( * ) . (A) 30
?

(B) 45

?

(C) 60

?

(D) 135

?

4.已知两个球的表面积之比为 1∶ 9 ,则这两个球的半径之比为( * ) . (A)1∶ 3 (B)1∶ 3 (C)1∶ 9 (D)1∶ 81

5.下列函数中,在 R 上单调递增的是( * ) . (A) y ? x (B) y ? log 2 x (C) y ? x
1 3

(D) y ? 0.5x

(2,3,4),且 AB ? 2 6 ,则实数 x 的值是( * ) 6.已知点 A( x,1, 2)和点B .
(A)-3或4 (C)3或-4 (B)–6或2 (D)6或-2

7.已知直线 l 、 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,给出下列四个命题: ①若m∥ l ,n∥ l ,则m∥n ③若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n ②若m⊥? ,m∥?, 则? ⊥? ④若 m⊥? ,? ⊥? ,则 m∥? 或 m ? ? ?
高一数学试卷第 1 页 共 8 页

其中假命题 是( * ) . ... (A) ① (B) ② 8.函数 f ( x) ? log4 x 与 f ( x) ? 4x 的图像( * ) . (A)关于 x 轴对称 (C) 关于原点对称

(C) ③

(D) ④
主视图 左视图

(B) 关于 y 轴对称 (D) 关于直线 y ? x 对称

9.如图 1,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积 为( * ) . ... (A) (C)

? 4

?

5 ? 4 3 ? (D) 2
(B)

图1
俯视图

10.已知 f ( x) ? 2 x2 ? 2x ,则在下列区间中, f ( x) ? 0 有实数解的是( * ) . (A)(-3,-2) (B)(-1,0) (C) (2,3) (D) (4,5)

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) . 11.已知 a ? 20.6 , b ? 0.62 ,则实数 a、 b 的大小关系为 * .
2 2 12.已知 ? O1 : x2 ? y2 ? 1与? O2 ( : x-3) ? (y+4) ? 9 ,则 ? O1与 ? O2 的位置关系为

* .

13.已知 f ( x ) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f (?1) 的值为 * . 14.如图 2-①,一个圆锥形容器的高为 a ,内装有一定量 的水.如果将容器倒置, 这时所形成的圆锥的高恰为 (如图 2-②) ,则图 2-①中的水面高度为 * .

a 2

a

2-①

2-② 图2

第Ⅱ卷(解答题

满分 64 分)

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 64 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 15. (本小题满分 12 分) 如图 3,在 ? OABC 中,点 C(1,3) . (1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D,求 CD 所在直线的方程.

y

C

B D

O

1

A

x

图3
高一数学试卷第 2 页 共 8 页

16. (本小题满分 10 分) 如图 4,已知正四棱锥 V - ABCD 中, AC与BD交于点M,VM 是棱锥的高 ,若 AC ? 6cm ,

VC ? 5cm ,求正四棱锥 V - ABCD 的体积.

V

D A M 图4 B

C

17. (本小题满分 10 分)

?3 ? x 2 , x ? [?1, 2], 已知函数 f ( x) ? ? ? x ? 3, x ? (2,5].
(1)在图 5 给定的直角坐标系内画出 f ( x) 的图象; (2)写出 f ( x) 的单调递增区间.
y

3 2 1 -1 0 -1 1 2 3 4 5
x

图5

高一数学试卷第 3 页 共 8 页

18. (本小题满分 12 分) 如图 6,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. D1 A1 B1 C1

E A

D F 图6 B

C

19. (本小题满分 10 分) 一种放射性物质不断变化为其他物质, 每经过一年剩留的质量约是原来的 75%, 估计约经过多少年, 该物质的剩留量是原来的 1 (结果保留 1 个有效数字)?( lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 ) 3

20. (本小题满分 10 分) 已知 ? O: x2 ? y 2 ? 1和定点 A(2,1),由 ? O 外一点 P (a, b) 向 ? O 引切线 PQ,切点为 Q, 且满足 PQ ? PA . (1) 求实数 a、b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的 ? P 与 ? O 有公共点,试求半径取最小值时 ? P 的方程.

y
2

A
0 2

x P

Q

图7

高一数学试卷第 4 页 共 8 页

高一数学(必修 1+必修 2)参考答案及评分标准
说明: 1. 如果考生的解法与下面提供的参考答案不同,凡是正确的,一律记满分;若某一步出现错误,则可按 照该题的评分标准进行评分。 2. 评阅试卷时,不要因解答中出现错误而中断对该题的评阅。当解答中某一步出现错误,从而影响了后 继部分,但该步以后的解答未改变这一道题的内容和难度,在未发生新的错误前,可以视影响的程度 决定后面部分的得分,这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半;明显笔误的,可以酌情少扣; 如有严重概念性错误,就不得分。在这一道题的解答过程中,对发生第二次错误的部分,不得分。 3. 涉及计算的过程,允许合理省略非关键性步骤。 一、选择题:本大题主要考查基础知识和基本运算.共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 A 5 C 6 D 7 B 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题主要考查基础知识和基本运算.共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分. 11. a ? b 三、解答题 15. 本小题主要考查直线的斜率、两条直线的位置关系等基础知识,考查基本的逻辑推理能力和运算能 力.满分 12 分. 解: (1)? 点 O(0,0) ,点 C(1,3) ,
y

12. 相离

13. -2

3 14. (1 ? 7 )a

2

? OC 所在直线的斜率为 kOC ? 3 ? 0 ? 3 .
1? 0
(2)在 ? OABC 中, AB // OC ,

C

B D

? CD⊥AB,

? CD⊥OC.
3

O

1

A

x

? CD 所在直线的斜率为 kCD ? ? 1 .
? CD 所在直线方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1), 即x ? 3 y ?10 ? 0 .
1 3

图3

16. 本小题主要考查对正棱锥中点、线、面的位置关系的理解,锥体的体积计算等基础知识,考查基本 的推理演算能力和空间观念.满分 10 分. 解法 1:? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,

? MC ?

1 1 1 AC ? BD ? ? 6 ? 3 (cm). 2 2 2 1 1 且 S ABCD ? ? AC ? BD ? ? 6 ? 6 ? 18 (cm2). 2 2 , ? VM 是棱锥的高
D A
高一数学试卷第 5 页 共 8 页

V

? Rt△VMC 中, VM ? VC 2 ? MC 2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm).

C M 图4 B

1 1 ? 正四棱锥 V - ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm3). 3 3
解法 2:? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,

? MC ? 1 AC ? 1 BD ? 1 ? 6 ? 3 (cm).
2 2 2

且 AB ? BC ?

2 AC ? 3 2 (cm) . 2

? SABCD ? AB2 ? (3 2)2 ? 18 (cm2).
? VM 是棱锥的高 , ? Rt△VMC 中, VM ? VC 2 ? MC 2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm). ? 正四棱锥 V - ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm3).
说明:没有带单位,统一扣 1 分。

1 3

1 3

17. 本小题主要考查分段函数的有关概念、图像和性质等基础知识,考查作图能力和运用图像解决问题 的能力.满分 10 分. 解:(1)函数 f ( x ) 的图像如右图所示;
A(-1,2)
A

y 3 C(5,2) 1 -1 1 5 B(2,-1)

(2))函数 f ( x ) 的单调递增区间为[-1,0]和[2,5]

0 -1

2

x

说明:单调递增区间没有写成闭区间形式,统一扣 1 分。 18. 本小题主要考查正方体中线线、线面的位置关系等基础知识,考查空间观念和逻辑推理能力.满分 12 分. (1)证明:连结 BD. 在长方体 AC1 中,对角线 BD // B1D1 . 又? E、F 为棱 AD、AB 的中点, A1 D1 B1 C1

? EF // BD . ? EF // B1D1 .
又 B1D1? ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 , A

E

D F 图6 B

C

? EF∥平面 CB1D1.
(2)? 在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1? ? 平面 A1B1C1D1,
高一数学试卷第 6 页 共 8 页

? AA1⊥B1D1.又? 在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1, ? B1D1⊥平面 CAA1C1.
又? B1D1? ? 平面 CB1D1,

? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.
19. 本小题主要考查指数函数与对数函数的基础知识,考查数学建模能力和与指数对数有关的实数运算 能力.满分 10 分. 解:设这种放射性物质最初的质量是 1,经过 x 年后,剩留量是 y ,则有 y ? 0.75x . 依题意,得

1 ? 0.75 x , 3

1 lg 3 0.4771 3 ? ? lg 3 ? 即x? ? ? 3.8 . lg 0.75 lg 3 ? lg 4 2lg 2 ? lg 3 2 ? 0.301 ? 0.4771 lg
∴ 估计约经过 4 年,该物质的剩留量是原来的 1 . 3 20. 本小题主要考查平面上两点间的距离公式、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识, 考查数形结合等数学方法,考查逻辑推理能力、空间想象能力.满分 10 分. 解: (1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有

y
2

PQ ? OP ? OQ .
又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA . 即: (a2 ? b2 ) ?12 ? (a ? 2)2 ? (b ?1)2 . 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .
2 2

2

2

2

A
O 2

x P

Q

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? . 5 5
故当 a ?

2 2 6 时, PQ min ? 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5 5 5

解法 2:由(1)知,点 P 在直线 l:2x + y-3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ,即求点 A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min = | 2×2 + 1-3 | 2 5 = . 5 22 + 12

(3)设 ? P 的半径为 R ,

? ? P 与 ? O 有公共点, ? O 的半径为 1,
高一数学试卷第 7 页 共 8 页

? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ?1 .
而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? 故当 a ?

6 5

9 , 5

3 6 时, OP ? 3 5. 此时, b ? ?2a ? 3 ? , Rmin ? 3 5 ? 1 . min 5 5 5 5 得半径取最小值时 ? P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5 解法 2: ? P 与 ? O 有公共点, ? P 半径最小时为与 ? O 外切(取小者)的情形,而这些半径的最小值
为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1,圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的交点 P0. 3 3 5 -1. 2 -1 = 5 2 +1 又 l’:x-2y = 0, r=
2

y
2

6 ? x? , ? x ? 2 y ? 0, ? 5 .即 P0( 6 ,3 ). 解方程组 ? ,得 ? ? 5 5 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 ? 5 ?
∴ 所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5

A
P0
O 2

x P
l

Q

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