2013届高考数学第一轮基础训练卷8

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45 分钟滚动基础训练卷(八) [考查范围:第 27 讲~第 29 讲 分值:100 分]

一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,把答案填在答题卡相应位置) 1.数列 3,5,9,17,33,?的通项公式 an 等于________. an 2.由 a1=1,an+1= 给出的数列{an}的第 34 项为________. 3an+1 1 3.等差数列{an}中,已知 a1= ,a2+a5=4,若 an=33,则 n=________. 3 4.[2012· 东莞联考] 在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是等 比数列,则 Sn 等于________. 5. 等差数列{an}中, 1=70, a 公差为-9, 则这个数列中绝对值最小的一项是第________ 项. 6.已知 an=logn+1(n+2)(n∈N+).我们把使乘积 a1·2·3· an 为整数的数 n 叫做“劣 a a ?· 数”,则在区间(1,2 007)内的所有劣数的和为________. 7. Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,6=36,n=324,n-6=144(n>6), n 等于________. 设 S S S 则 n n+1 8.[2012· 苏州模拟] 已知集合 An={x|2 <x<2 ,且 x=7m+1,m,n∈N+},则 A6 中 各元素的和为________. 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 15 分,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤) 9.四个正数,前三个数成等差数列,其和为 48,后三个数成等比数列,其最后一个数 为 25,求此四个数.

10.已知数列{an}的首项为 a1=3,通项 an 与前 n 项和 Sn 之间满足 2an=Sn·n-1(n≥2). S ?1? (1)求证:?S ?是等差数列,并求公差; ? n? (2)求数列{an}的通项公式.

1 11.等比数列{an}的公比 q>1,第 17 项的平方等于第 24 项,求使 a1+a2+?+an> + a1 1 1 +?+ 成立的正整数 n 的取值范围. a2 an

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12.设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. 3 (1)若首项 a1= ,公差 d=1,求满足 Sk2=(Sk)2 的正整数 k; 2 (2)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 Sk2=(Sk)2 成立.

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45 分钟滚动基础训练卷(八) 1.2 +1 [解析] 所给数比 2,4,8,16,32 大 1. 1 1 1 1 1 1 2. [解析] ∵ - =3,∴ =1+(n-1)×3=3n-2,∴ =100,即 a34= . 100 an a34 100 an+1 an 3.50 [解析] a2+a5=a1+d+a1+4d=2a1+5d=4, 1 2 1 2 2 1 又 a1= ,∴d= ,an= +(n-1)·= n- . 3 3 3 3 3 3 2 1 an=33,∴ n- =33,得 n=50. 3 3 - 4.2n [解析] 因数列{an}为等比数列,则 an=2qn 1,因数列{an+1}也是等比数列,由 (an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)?q=1,即 an=2,所以 Sn=2n. 5.9 [解析] an=70+(n-1)×(-9)=-9n+79, ∴|a9|=2,|a8|=7,即绝对值最小的项是第 9 项. 6.2 026 [解析] ∵a1a2?an=log23· 34· logn+1(n+2)=log2(n+2)=k,∴n+2=2k. log ?· k 由 n=2 -2∈(1,2 007)有 2≤k≤10(k∈Z), 4?1-29? 故所有劣数的和为(22+23+??+210)-2×9= -18=2 026. 1-2 7.18 [解析] 由 Sn=324,Sn-6=144 得 an+an-1+an-2+an-3+an-4+an-5=180, n?a1+an? 再由 S6=36,∴a1+an=36,∴Sn= =324,∴n=18. 2 8. 891 [解析] 令 n=6 得 26<x<27, ∴64<x<128.由 64<7m+1<128, m∈N+有 10≤m≤18. 9×8 故各元素之和为 S=9×71+ ×7=891. 2 9. [解答] 因前三个数成等差数列, 且其和为 48, 可令前三个数分别为 16-d,16,16+d, 2 又∵后三个数成等比数列,∴(16+d) =25×16,∴d=4,d=-36(舍),即四个数为 12,16,20,25. 1 1 1 10.[解答] (1)由 2an=Sn·n-1(n≥2)得 2(Sn-Sn-1)=Sn·n-1? - S S =- , Sn Sn-1 2 1? ? 1 ∴?S ?是等差数列,且公差为- . 2 ? n? 1? 1 1 6 (2) = +(n-1)?-2??Sn= , ? Sn 3 5-3n 18 当 n=1 时,a1=3,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= . ?3n-5??3n-8? 16 11.[解答] 由题意得:(a1q )2=a1q23,∴a1q9=1. ?1? 1 1 又∵数列?a ?是以 为首项,以 为公比的等比数列,要使不等式成立, a1 q ? n? 1 ? ?1?n? 1- a1?qn-1? a1? ?q? ? 1 - - 则需 > ,把 a2=q 18 代入上式并整理,得:q 18(qn-1)>q?1-qn?, 1 ? ? 1 q-1 1- q ∴qn>q19,∵q>1,∴n>19,故所求正整数 n 的取值范围是 n≥20. n?n-1? 3 n?n-1? 1 2 3 12.[解答] (1)当 a1= ,d=1 时,Sn=na1+ d= n+ = n +n, 2 2 2 2 2 1 4 2 ?1 2 ?2 由 Sk2=(Sk)2,得 k +k =?2k +k? , 2 3?1 即 k ?4k-1?=0, ? 又 k≠0,所以 k=4. (2)设数列{an}的公差为 d,则在 Sk2=(Sk)2 中分别取 k=1,2,得
n

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? ?S1=?S1?2, ? ? ? 即? 4×3 ? 2×1 ?2 2 ? ?S4=?S2? , d= 2a1+ d ,② ?4a1+ ?
2

a1=a2,① 1

?

2

?

由①得 a1=0 或 a1=1. 当 a1=0 时,代入②得 d=0 或 d=6, 若 a1=0,d=0,则 an=0,Sn=0,从而 Sk2=(Sk)2 成立; 若 a1=0,d=6,则 an=6(n-1),由 S3=18,(S3)2=324,S9=216 知 S9≠(S3)2,故所得数列不符合题意. 当 a1=1 时,代入②得 4+6d=(2+d)2,解得 d=0 或 d=2, 若 a1=1,d=0,则 an=1,Sn=n,从而 Sk2=(Sk)2 成立; 若 a1=1,d=2,则 an=2n-1,Sn=1+3+?+(2n-1)=n2,从而 Sk2=(Sk)2 成立. 综上,共有 3 个满足条件的无穷等差数列: ①{an}:an=0,即 0,0,0,?; ②{an}:an=1,即 1,1,1,?; ③{an}:an=2n-1,即 1,3,5,?,

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