人教版高中数学必修二3.2.2_直线的两点式方程 (3)ppt模板_图文

3.2.2 直线的两点式方程 两点确定一条直线!那么经过两个定点的直线的方程能否用“公式”直接 写出来呢? 思考1 已知直线l过A(3,-5)和B(-2,5),如何求直线l的方程. 解:∵直线l过点A(3,-5)和B(-2,5) ? kl 5 ? ? ?5 ? ? ? ?2 ?2 ? 3 将A(3,-5),k=-2代入点斜式,得 y-(-5) =-2 ( x-3 ). 思考2 设直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(其中x1≠x2,y1≠y2),你能 写出直线l的点斜式方程吗? 当x1 ? x2时,k ? y2 ? y1 x2 ? x1 取P 1 ( x1 , y1 ), 代入点斜式方程得, y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1 y1 ? y2时, 化成比例式: y ? y1 x ? x1 ? . y2 ? y1 x2 ? x1 直线的两点式方程 经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)(其中x1≠x2, y1≠y2 )的直线方程叫做直线的两点式方程,简称两点式. y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1 两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线. 特别地 当x1=x2时,直线l的方程是 当y1=y2时,直线l的方程是 ; x=x1 . y=y1 例1 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b)其中a≠0,b≠0, 求这条直线l的方程. y l O 将A(a,0),B(0,b)代入两点式得: B(0,b) A(a,0) y?0 x?a ? b?0 0?a x x y 即 ? ? 1. a b 直线的截距式方程 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线 方程的截距式方程. x y ? ? 1. a b 在x轴上的截 距 在y轴上的 截距 截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 例2 三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC边 所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程. y . A . 解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为: C O .M .B x y?2 x?0 ? ?3 ? 2 3?0 整理得, 5 x ? 3 y ? 6 ? 0. 这就是BC边所在直线的方程. 中点坐标公式 以P ( ,y1 ), P 1 x1 2 ( x2 , y2 )为端点的 x1 ? x2 y1 ? y2 线段的中点坐标为( , ). 2 2 设BC的中点为M ,则M 的坐标为( 过A( ?5, 0), M ( 3 ? 0 ?3 ? 2 3 1 , ),即( , ? ) . 2 2 2 2 3 1 y ?0 x?5 , ? )的直线方程为 ? , 1 3 2 2 ? ?0 ?5 2 2 整理得x ? 13 y ? 5 ? 0. 这就是BC 边上的中线所在的直线的方程. 例3 求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上的截距相等的 直线方程. 分析:截距均为0时,设方程为y=kx, y 截距不为0,设截距式求解. o x 解:当截距均为0时,设方程为y=kx, 把P(-5,4)代入上式得 y?? 4 x. 即直线方程为 5 当截距均不为0时,设直线方程为 4 k ?? , 5 x y ? ? 1, a a 把P(-5,4)代入上式得 直线方程为 即 ? x ? y ? 1, a ? ?1. x ? y ? 1 ? 0. 4 y? ? x 或 5 综上直线方程为 x ? y ? 1 ? 0. 1.下列四个命题中为真命题的是( ). B A.经过定点P0 (x 0 ,y 0 )的直线都可以用方程 y-y 0 =k(x-x 0 )表示; B.经过任意不同两点P1 (x1 ,y1 ),P2 (x 2 ,y 2 )的直线; 都可以用方程(y-y 1 )(x 2 -x1 )=(x-x1 )(y 2 -y1 )表示; x y C.不经过原点的直线都可以用方程 + =1表示; a b D.经过定点的直线都可以用y=kx+b表示. 2.求经过下列两点的直线方程: (1) P , 1), P , ? 3);(2) A(0, 5), B(5,0). 1 (2 2 (0 y ?1 x?2 y ?5 x 解:( 1 ) ? ( ; 2) ? . 4 2 ?5 5 3.直线ax+by=1 (ab≠0)与两坐标轴围成的面积是_____. 1 2 ab 4.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条? 解: ⑴ 两条 y=2x (与x轴和y轴的截距都为0) 当截距都不为0时,设直线的方程为: x y ? ? 1, a a 把(1,2)代入得: 即:a=3. 1 2 ? ? 1, a a 所以直线方程为:x+y-3=0. 5.根据下列条件,求直线的方程: (1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2; (2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2. x y 解: (1)由b ? 5, 知a ? ?3,故直线方程为 ? ?1 ; ?3 5 (2)由a ? 5, 知b ? 3或b ? 7, x y x y 故直线方程为 ? ? 1, 或 ? ? 1. 5 3 5 7 各类方程的适用范围 直线方程名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 直线方程形式 适用范围 不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直两个坐标轴 不垂直两个坐标 轴且不经过原点 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) y ? kx ? b y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ?1 a b 1.直线的两点式方程 y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1

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