2.4.1平面向量数量积的物理背景及其意义_图文

平面向量数量积的物理背景

及其几何意义

回顾:
已知两个非零向量

a、 b, 作OA =a, OB ? b
b ? a

则 B

?AO B? ?(0? ? ? ? 180?), 叫做 a与b 的夹角
1)?=0°时, a 、 b 同向 2)?=180? 时, a 、 b反向 O

A

记作: a?b 3)?=90? 时,

问题 一个物体在力F 的作用下产 生的位移s,那么力F 所做的功 应当怎样计算?

F
θ

W ? F ? S cos ?

S

其中 F、 S是向量,? 为 F、S 夹角,功为数量。
功可以看作是两个向量的一种运算结果!

平面向量的数量积的定义

a ? b ? a ? b cos?
?为 它 们 的 夹 角 其中 a 、 b是非零向量,

规定:a ? 0 ? 0
注意:1)a ? b ? a ? b 2)两向量的数量积是一个数量

探究:

设a、 b ? 0, 则

1)a ? b ? a ? b ? 0
2)a, b同向时, a ? b ? a b 反向时, a ? b ? ? a b
3) cos ? ? a?b ab

特例: a?a ? a ? a

2

2

4) a ? b ? a b

例题讲解

的夹角? ? 120 ? 已知a ? 5, b ? 4, a与b 求a ? b
解: a ? b ? a ? b cos ? ? 5 ? 4 ? cos 120?

? ?10

则 作OA ? a, OB ? b ,过点B作 BB1垂直于直线OA,垂足为 B1 ,
OB1 ? b cos? .

我们把b cos?叫做b在a方向上的投影 .
B

b
?
O

B

B

b
?
O
A

b
a
? O( B1 )

a

B1 A

B1

a

A

θ为锐角时,
b cos? ? 0

θ为钝角时,
b cos? ? 0

θ为直角时,
b cos? ? 0

a ? b 几何意义?

练习:书117:1、2、3

向量数量积的运算律:

1)a ? b ? b ? a(交换律) 2)(?a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b)(数乘结合律) 3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c(分配律)
思考:向量的数量积满足结合律?

( a ? b) ? c ? a ? ( b ? c ) (a ? b) ? ? (a ? b) ? (a ? b) ? ?
2



利用向量的数量积运算律计算:

例:

的夹角为 60?, 求 已知 a ? 6, b ? 4, a, b

?a ? 2b?? ?a ? 3b?

例: 当 已知 a ? 3, b ? 4, 向量a、 b不共线,

k为何值时, ( a ? k b) ? ( a ? k b) ?

小结: 向量的数量积的定义、性质、几何意义、 运算律


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