兰州市外国语高级中学2012-2013年度高二数学期末考试文科题

兰州市外国语高级中学 2012-2013 年度高二数学期末考试题 文科

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.抛 物线 y ? ? A. x ?

1 2 x 的准线方程是 ( B 8
B. y ? 2

) C. y ?

1 32

1 32

D. y ? ?2

2.“ ? ? k? ?

5 1 ? , k ? Z ”是“ sin 2? ? ”的 B 12 2
B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

3.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 , 已知 f ( x ) 在 x ? ?3 时取得极值, 则 A. 2 B. 3 C. 4

a? ( D )
D. 5

4.双曲线

x 2 y2 =1 的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为 a 2 b2
B.

( A)

A.

2

3

C. 2

D.

3 2

5、向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示, 那么水瓶的形状是( B ).

2 6“ ?x0 ? R, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 ”的否定是

( C )

A、 ?x ? R, x2 ? 2 x ? 1 ? 0 C、 ?x ? R, x2 ? 2 x ? 1 ? 0

B、 ?x ? R, x2 ? 2 x ? 1 ? 0 D、 ?x ? R, x2 ? 2 x ? 1 ? 0

7、如果双曲线 距离是 (D A. 4

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8 ,那么点 P 到它的左焦点的 4 12
) B. 12 C. 6 D. 4 或 12 (B )

8.已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直,则此椭圆的离心率为 A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

9、已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点 (0,2) 的距离与 P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值是 ( A )

A.

17 2

B.3

C.

5
y

D.

9 2

10.已知函数 y ? f ? x ? 的导函数的图象如图所示, 则 y ? f ? x ? 的图象可能是( D ) o y a O A 11.下列命题中正确的是 ( C b x O B ) y a b x O C y a

a

b x

y b b x O a D x

①“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题
2 ③“若 m>0,则 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题

④“若 x ? 3 2 是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题 A.①②③④ B.②③④ C.①③④ D.①④

1

12.函数 f ( x ) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ' ( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的 解集为 A.(-1,1) (B) B.(-1,+∞) C.(-∞,-l) D.(-∞,+∞)

二、填空题(每小题 5 分,共计 20 分) 13.双曲线
x2 y2 ? ? 1 的渐近线为__________________________________. 25 9

14. 曲线 y ? x3 ? x ?1在点 (1,3) 处的切线方程是 15.已知 f ?(1) ? ?2, 则 lim f (1 ? 2? x) ? f (1) ?
? x ?0

. 4x ? y ?1 ? 0 4 -1

?x

16.若“ x 2 ? 1 ”是“ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值为 三、解答题(共 74 分)解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. (10 分)求 y ? x3 ? 6x 2 ? 9x ? 5 的单调区间和极值.

解: y? ? ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 5?? ? 3x 2 ? 12 x ? 9

(2 分) (2 分)

令 y ? ? 0 ,即 3x 2 ? 12 x ? 9 ? 0 ,解得 x ? 3或x ?1 当 y ? ? 0 时,即 3x 2 ? 12 x ? 9 ? 0 ,解得 x ? 1或x ? 3 , 函数 y ? x3 ? 6x 2 ? 9x ? 5 单调递增; 当 y ? ? 0 时,即 3x 2 ? 12 x ? 9 ? 0 ,解得 1 ? x ? 3 , 函数 y ? x3 ? 6x 2 ? 9x ? 5 单调递减;

(2 分)

(2 分)

综上所述,函数 y ? x3 ? 6x 2 ? 9x ? 5 的单调递增区间是 ? ??,1? 或 ? 3, ?? ? ,单 调递减区间是 ?1,3? ;当 x ? 1 时取得极大值 ? 1 ,当 x ? 3 时取得极 小值 ?5 。 18.(本题 12 分)已知双曲线 x 2 ?
2

(2 分)

y ? 1 ,过点 P (1,1) 能否作一条直线 l ,与双曲 2 线交于 A, B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点?

解: 设点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 且线段 AB 的中点为 M ? x, y ? .并设经过点 P 的直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1), 即 y ? kx ? 1 ? k . 把 y ? kx ? 1 ? k . 代入双曲线的方程 x 2 ?
y2 ? 1 ,得 2

(2 ? k 2 ) x2 ? 2k (1? 2k ) x ? (1? k )2 ? 2 ? 0(2 ? k 2 ? 0) .
x1 ? x2 k (1 ? k ) ? . 2 2 ? k2 k (1 ? 2k ) 由题意得 =1 解得 k ? 2 2 ? k2
所以 x ?

( *)

而当 k ? 2 时方程( *)无解,所以不能作一条直线 l 与双曲线交于 A, B 两点,且 点 P 是线段 AB 的中点. 19. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? ax ? d 的图象过点 P(0, 2) , 且在点
M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 .

(1) 求函数 y ? f ( x) 的解析式;

(2) 求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

19.解: (1) 由 f ( x ) 的图象经过 P (0,2) ,知 d ? 2 , 所以 f (x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 2,

f ?(x) ? 3x 2 ? 2bx ? c .即 f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.
由在 M(?1, f (?1)) 处的切线方程是 6x ? y ? 7 ? 0 , 知
?3 ? 2b ? c ? 6 ?b ? ?3 ?? ? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0 ,? ? ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1 ?c ? ?3

故所求的解析式是 f (x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2. (2) f ?(x) ? 3x 2 ? 6x ? 3. 令 3x 2 ? 6x ? 3 ? 0, 即 x 2 ? 2x ? 1 ? 0. 解得 x 1 ? 1 ? 2 , x 2 ? 1 ? 2 . 当 x ? 1 ? 2 , 或x ? 1 ? 2时, f ?( x ) ? 0; 当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2时, f ?( x ) ? 0. 故 f (x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2 在 ( ?? ,? 2 ) 内是增函 数, 在 (1 ? 2 ,1 ? 2 ) 内是减函数, 在 (1 ? 2 ,?? ) 内是增函数. 20. (本题 12 分) 过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点, 通过点 B 平行于 x 轴的直线交抛物线的准线于点 D , 求证: 三点 A 、O 、D 共线. 解析:以抛物线的对称轴为 x 轴,它的顶点为原点,建立建立直角坐标系,设抛 物线的方程为 y2 ? 2 px( p ? 0) , 当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的斜率为 k (k ? 0) ,由题意直线 AB 的方程为

p p 2p y ? k (x ? ) , 把 y ? k (x ? ) 代 入 抛 物 线 的 方 程 得 y2 ? y ? p2 ? 0 , 设 点 2 2 k
A ? x , y ? , B x , y , y2 ? ? ? 2 2 则 ? 1 1

? p p2 ? p2 ( y1 ? 0) , D ? ? , ? ,以下可利用斜率相等, y1 ? 2 y1 ?

或用向量法证明三点共线. 21.(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ?
ex ,其中 a 为正实数 1 ? ax 2

(Ⅰ)当 a ?

4 时,求 f ( x) 的极值点; 3

(Ⅱ)若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范 围。 解析:? f ' ( x) ?

ex (1 ? ax2 ) ? 2ex ax ax2 ? 1 ? 2ax ? ex (1 ? ax2 )2 (1 ? ax2 )2

4 2 8 x ?1? x 4 3 , f ' (x ? 得 4 x2 ? 8x ? 3 ? 0 解 (1) 当 a ? 时, f ' ( x) ? e x 3 由 ) 0 4 2 2 3 (1 ? x ) 3 1 3 得 x1 ? , x2 ? 2 2 1 3 1 3 由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 或x ? ,由 f ' ( x) ? 0 得 ? x ? ,当 x 变化时 f ' ( x) 与 2 2 2 2
f ( x ) 相应变化如下表:

x

1 (??, ) 2
+ ↗

1 2
0 极大 值

1 3 ( , ) 2 2


3 2
0 极小 值

3 ( , ??) 2
+ ↗

f ' ( x)
f ( x)

所以, x1 ?

1 3 是函数 f ( x) 的极大值点, x2 ? 是函数 f ( x) 的极小值点。 2 2

(2) 因为 f ( x) 为 R 上的单调函数,而 a 为正实数,故 f ( x) 为 R 上的单调 递增函数

? f ' ( x) ? 0 恒成立,即 ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,因此
? ? 4a 2 ? 4a ? 0 ,结合 a ? 0 解得 0 ? a ? 1

22.已知椭圆 G:

x2 ? y 2 ? 1, 过点 ( m, 0) 作圆 x2 ? y2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A、B 两 4

点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率. (2)将 AB 表示为 m 的函数,并求出 AB 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以 c ? a 2 ? b 2 ? 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3 ,0), ( 3 ,0) 离心率为 e ?

c 3 ? . a 2

(Ⅱ)由题意知, | m |? 1 .

当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1,点 A、B 的坐标分别为 (1, 此时 | AB |? 3 当 m=-1 时,同理可得 | AB |? 3 当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m),
? y ? k ( x ? m), ? 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 mx ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 由 ? x2 2 ? ? y ? 1. ?4

3 3 ), (1,? ), 2 2

设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 )(x2 , y 2 ) ,则

x1 ? x2 ?

8k 2 m 1 ? 4k

, x1 x2 ? 2

4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2

又由 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切, 得

| km | k ?1
2

? 1,即m 2 k 2 ? k 2 ? 1.

所以 | AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

? (1 ? k 2 )[ ? 4 3|m| . m2 ? 3

64k 4 m ? 4(4k 2 m 2 ? 4) ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2

由于当 m ? ?3 时, | AB |? 3 , 所以 | AB |?

4 3|m| , m ? (??,?1] ? [1,??) . m2 ? 3
4 3|m| ? m2 ? 3 4 3 3 |m|? |m| ? 2,

因为 | AB |?

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.


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