河北省邯郸市曲周县第一中学2017届高三下学期2月模拟考试数学(文)

2017 届 2 月模拟考试 数学试卷(文)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1、已知集合 A ? {x | x2 ? 16}, B ? {m} ,若 A ? B ? A ,则实数 m 的取值范围是 A. (??, ?4) B. [4, ??) C. [?4, 4] D. (??, ?4] ? [4, ??)

2、下列函数中,周期为 ? 的奇函数是 A. y ? sin 2 x B. y ? tan 2 x C. y ? sin 2 x ? cos 2 x D. y ? sin x cos x

3、 “ a ? 1 ”是“ ax ? y ? 1 ? 0 与直线 (a ? 2) x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4、已知 i 为虚数单位,复数 z ? A. ?1 B. 1 C. ?1

? a ?i 1 (a ? R ) ,若 z ? ? (sin x ? )dx ,则 a ? 0 1? i ? 1 D. ? 2

5、设 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? / / ? ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 上述命题中,所有真命题的序号是 A.①④
x

②若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ? ④若 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n

B.②③
y z

C.①③

D.②④

6、已知 2 ? 3 ? 5 ,且 x, y, z 均为正数,则 2 x,3 y,5z 的大小关系为 A. 2 x ? 3 y ? 5z B. 3 y ? 2 x ? 5z C. 5z ? 3 y ? 2 x D. 5z ? 2 x ? 3 y

7、 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 cos A ? A.2 B.

7 , c ? a ? 2, b ? 3 ,则 a ? 8

5 2

C.3

D.

7 2

8、已知直线 y ?

x2 y 2 2 3 x 和椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于不同的两点 M , N ,若 M , N 在 x 轴上的 a b 3

射影恰好为椭圆的两个焦点,则椭圆的离心率为 A.

2 2

B.

3 2

C.

3 3

D.

2 3

9、函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x 的一条对称轴为 x ? A. 45
?

?
4

,则直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为

B. 60

?

C. 120

?

D. 135

?

10、已知 x, y 为正实数,且 x ? y ?

1 1 ? ? 5 ,则 x ? y 的最大值是 x y
9 2

A.3

B.

7 2
2

C. 4

D.

y2 ? 1的右支上一点 P ,分别向圆 C1 : ( x ? 4)2 ? y2 ? 4 11、过双曲线 x ? 15
和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 作切线,切点分别为 M , N ,则 PM A.10 B.13 C.16 D.19
2

? PN 的最小值为

2

12、已知函数 f ? x ? ? a ln( x ? 1) ? x2 ,在区间 (0,1) 内任取两个不相等的实数 p, q , 若不等式

f ? p ? 1? ? f ? q ? 1? ? 1恒成立,则实数 a 的取值范围是 p?q
B. [6, ??) C. (??,15] D. (??, 6]

A. [15, ??)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考两部分,第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题第 23 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 13、抛物线 y ? ?4 x 的准线方程是
2

14、如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为

?x ? 2 ? 15、已知 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ,若目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 10,则 m 的值为 ?2 x ? y ? m ? 0 ?

16、已知等腰 ?OAB 中, OA ? OB ? 2 且 OA ? OB ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ? 3 ??? AB ,那么 OA ? OB 的取值范围是 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 a s sin B ? ?b sin( A ? (1)求 A 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 S ?

?
3

).

3 2 c ,求 sin C 的值. 4

18、 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,非常数等比数列 ?bn ? 的公比是 q , 且满足 a1 ? 2, b1 ? 1, S2 ? 3b2 , a2 ? b3 (1)求 an 与 bn ; (2)设 cn ? 2bn ? ? ? 3 2 ,若数列 ?cn ? 是递减数列,求实数 ? 的取值范围.
an

19、 (本小题满分 12 分) 已知在边长为 4 的等边 ?ABC (如图 1 所示)中, MN / / BC, E 为 BC 的中点,连接 AE 交 MN 于点 F ,现将 ?AMN 沿 MN 折起,使得平面 AMN ? 平面 MNCB (如图 2 所示). (1)求证:平面 ABC ? 平面 AEF ; (2)若 SBCNM ? 3S?AMN ,求直线 AB 与平面 ANC 所成角的正弦值.

20、 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 短轴长为 2,. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 A(0,

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,且椭圆 C1 的 2 a b 2

1 ), N 为抛物线 C2 : y ? x2 上一动点,过点 N 作抛物线 C2 的切线交椭圆 C1 于 B, C 两 16

点,求 ?ABC 面积的最大值.

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 数. (1)当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 x ? (0,1] 时, f ? ? x ? ? 0 都有解,求 k 的取值范围; (3)若 f ? ?1? ? 0 ,试证明:对于任意 x ? 0, f ? ? x ? ?

ln x ? k (其中 k ? R, e ? 2.71828 是自然对数的底数) , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函 ex

e?2 ? 1 恒成立. x2 ? x

请考生在第(22) 、 (23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写 清题号. 22、 (本小题满分 10 分) 选修 4-4 坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ( 2, (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若 a ? [0,

?
4

) ,半径 r ? 3 .

?

? x ? 2 ? t cos ? ) ,直线 l 的参数方程 ? ,直线 l 交圆 C 于 A, B 两点, (t 为为参数) 4 ? y ? 2 ? t sin ?

求弦长 AB 的取值范围.

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? x ? 2 .

(1)解不等式 f ? x ? ? 0 ; (2)若 ?x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 2m2 ? 4m ,求实数 m 的取值范围.

数学(理科)参考答案
题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 A 5 A 6 B 7 A 8 C 9 D 10 C 11 B 12 A

13. y ?

1 16

14. ?

15.5

16. ?? 2, 4?

17. (12 分) 【解】 ( 1 ) ? a sin B ? ?b sin( A ?

?
3

) , ? 由 正 弦 定 理 , 得 sin A ? ? sin( 4 ?

?
3

) ,即

1 3 3 5? (0,?) ,? A ? ,? A ? sin A ? ? sin A ? ? cos A ,化简得 tan A ? ? 6 2 2 3
(2)? A ?

5? 1 3 2 1 1 , ? sin A ? ,由 S ? c ? bc sin A ? bc, 得b ? 3c , 6 2 4 2 4

? a 2 ? b ? c 2 ? 2b cos A ? 7c 2 ,则 a ? 7c ,由正弦定理,得 sin C ?
18. (12 分) 【解】 ( 1 )由已知可得 ?

c sin A 7 。 ? a 14

?2 ? a 2 ? 3q, ?a 2 ? q ,
2

所以 q ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2或q ? 1(舍) ,从而
2

a2 ? 4 ,所以 an ? 2n, bn ? 2 n?1 。
(2)由(1)知,c n ? 2bn ? ? ? 3
n ?1

an ? 2 n ? 3 n ? ,由题意,cn?1 ? cn 对任意的 n ? N ? 恒成立, 2

即2

? 3n?1 ? ? 2 n ? 3n ? 恒成立,亦即 2? 3n ? 2 n 恒成立,即 ? ?
x

1 ?2? ? ? ? 恒成立。由于函数 2 ?3?

n

y?

1 2 1 1 ?2? 1 ?2? ? ? ? 在 R 上是减函数,所以当 n ? 1 时, ? ? ? 有最大值,且最大值为 ? ? 。因此 2 3 3 2 ?3? 2 ?3?

n

? ?? ? ? ? ? ? 恒成立,所以实数 ? 的取值范围是 ? ,

1 ?2? 2 ?3?

n

?1 ?3

? ?

20. [解](1)因为 e 2 ?

c 2 a 2 ? b2 3 ? ? ,所以 a 2 ? 4b 。又 b ? 1 4 a2 a2
x2 ? y2 ? 1 4

所以椭圆 C 1 的方程是


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