2017年春高中数学人教A版选修2-2习题-单元测评(一) Word版含答案

单元测评(一) 导数及其应用(A 卷) (时间:90 分钟 满分:120 分) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,共 50 分. 1.下列各式正确的是( ) A.(sina)′=cosa(a 为常数) B.(cosx)′=sinx C.(sinx)′=cosx 1 D.(x-5)′=-5x-6 解析:由导数公式知选项 A 中(sina)′=0;选项 B 中(cosx)′=- sinx;选项 D 中(x-5)′=-5x-6.只有 C 正确. 答案:C x 2.曲线 y= 在点(-1,-1)处的切线方程为( x+2 A.y=2x+1 C.y=-2x-3 解析:∵y′= B.y=2x-1 D.y=-2x-2 ) x′?x+2?-x?x+2?′ 2 = , 2 ?x+2? ?x+2?2 2 ∴k=y′|x=-1= =2, ?-1+2?2 ∴切线方程为:y+1=2(x+1),即 y=2x+1. 答案:A 3.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).且 x>0 时, f′(x)>0,g′(x)>0,则 x<0 时( A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 ) B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 解析:f(x)为奇函数且 x>0 时单调递增,所以 x<0 时单调递增, f′(x)>0;g(x)为偶函数且 x>0 时单调递增,所以 x<0 时单调递减, g′(x)<0. 答案:B 4.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 处取得极值,则 a=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:f′(x)=3x2+2ax+3, ∵f′(-3)=0. ∴3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,∴a=5. 答案:D 5.对任意的 x∈R,函数 f(x)=x3+ax2+7ax 不存在极值点的充要 条件是( ) B.a=0 或 a=7 D.a=0 或 a=21 A.0≤a≤21 C.a<0 或 a>21 解析:f′(x)=3x2+2ax+7a,当 Δ=4a2-84a≤0,即 0≤a≤21 时,f′(x)≥0 恒成立,函数不存在极值点. 答案:A 6.如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,则下列结论正确 的是( ) A.在区间(-2,1)内 f(x)是增函数 B.在区间(1,3)内 f(x)是减函数 C.在区间(4,5)内 f(x)是增函数 D.在 x=2 时,f(x)取极小值 解析:由图象可知,当 x∈(4,5)时,f′(x)>0, ∴f(x)在(4,5)内为增函数. 答案:C 7.若函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a 在区间[-2,-1]上的最大值为 2,则它在该区间上的最小值为( A.-5 C.10 ) B.7 D.-19 解析:∵y′=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3), ∴函数在[-2,-1]内单调递减, 最大值为 f(-2)=2+a=2. ∴a=0,最小值为 f(-1)=a-5=-5. 答案:A 8.曲线 y=x2-1 与 x 轴围成图形的面积等于( 1 A.3 C.1 2 B.3 4 D.3 ) 解析:函数 y=x2-1 与 x 轴的交点为(-1,0),(1,0),且函数图象 关于 y 轴对称,故所求面积为 1 ? 1 ? 2 4 S=2?1(1-x2)dx=2?x-3x3?|0 =2×3=3. ?0 ? ? 答案:D ?x ,x∈[0,1], 9.设 f(x)=?1 ?x,x∈?1,e], 4 A.3 6 C.5 1 解析:?e f(x)dx=?1x2dx+?e xdx ?0 ?0 ?1 2 则?e f(x)dx 等于( ?0 ) 5 B.4 7 D.6 1 4 e =3x3|1 0+lnx|1= . 3 答案:A 10.若函数 f(x)在 R 上可导,且 f(x)>f′(x),则当 a>b 时,下列不 等式成立的是( ) A.eaf(a)>ebf(b) B.ebf(a)>eaf(b) C.ebf(b)>eaf(a) D.eaf(b)>ebf(a) ?f?x?? e f′?x?-e f?x? 解析:∵? x ?′= ?ex?2 ?e ? x x ex[f′?x?-f?x?] = <0, ?ex?2 f ?x ? ∴y= ex 单调递减,又 a>b, f?a? f?b? ∴ ea < eb , ∴eaf(b)>ebf(a). 答案:D 第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.如果函数 f(x)=x3-6bx+3b 在区间(0,1)内存在与 x 轴平行的 切线,则实数 b 的取值范围是________. 解析:存在与 x 轴平行的切线,即 f′(x)=3x2-6b=0 有解. 1? x2 ? 又∵x∈(0,1),∴b= 2 ∈?0,2?. ? ? 1? ? 答案:?0,2? ? ? 12. 函数 y=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10, 则 a=________. 解析:∵y′=3x2+2ax+b, ?1+a+b+a2=10, ?a=-3, ?a=4, ? ? ? ∴? ?? 或? ?3+2a+b=0, ? ?b=-11. ? ?b=3, ? ? ?a=-3, 当? 时,y′=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,函数无极值, ?b=3 ? 故 a=4,b=-11. 答案:4 13 .如果圆柱的轴截面周长为定值 4 ,则圆柱体积的最大值为 ________. 解析:设圆柱的高为 h,底面半径为 R,根据条件 4R+2h=4,得 h=2-2R,0<R<1. ∴V=πR2h=πR2(2-2R)=2πR2-2πR3, 2? ? 2 由 V′=4πR-6πR2=0 得 R=3,且当 R∈?0,3?时,函数 V

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