第二章圆锥曲线与方程 章末归纳总结 课件_图文

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第二章 章末归纳总结

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2

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1.坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法,它是用代数 的方法研究几何问题.

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2.利用圆锥曲线的定义解题的策略 (1)在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义, 则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方程;(2)涉及椭圆、 双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时,常用定义结合

解三角形的知识来解决;(3)在求有关抛物线的最值问题时,常
利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形, 利用几何意义去解决.总之,圆锥曲线的定义、性质在解题中 有重要作用,要注意灵活运用.

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3.圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲 线的方程研究其几何性质,已知圆锥曲线的性质求其方程.重 在考查基础知识,基本思想方法,属于低中档题目,其中对离 心率的考查是重点.

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4.直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及判定直线与圆 锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题,它是圆锥曲线的定 义、性质与直线的基础知识的综合应用,涉及数形结合、函数 与方程、分类讨论等数学思想方法,直线与圆锥曲线的位置关

系主要有:(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题,应注意
数形结合;(2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数 的关系;(3)有关垂直问题,要注意运用斜率关系及根与系数的 关系,设而不求,简化运算,

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5.求轨迹方程的方法常用的有:直接法、定义法、代入 法,要注意题目中的限制条件,特别是隐含条件的发掘,直线 与圆锥曲线的位置关系问题,通常用判别式法;要注意有关弦 长问题中韦达定理的应用,需特别注意的是,直线平行于抛物

线的轴时与抛物线只有一个交点,直线平行于双曲线的渐近线
时与双曲线只有一个交点.

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1.椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a中,应有2a>|F1F2|,双曲 线定义||PF1|-|PF2||=2a中,应有2a<|F1F2|,抛物线定义中, 定点F不在定直线l上. 2.椭圆中几何量a、b、c满足a2=b2+c2,双曲线中几何

量a、b、c满足a2+b2=c2.
3.椭圆离心率 e∈(0,1) ,双曲线离心率 e∈(1,+∞ ) ,抛 物线离心率e=1.

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4. 求圆锥曲线的标准方程时, 一定要先区别焦点在哪个轴 上,选取合适的形式. 5.由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时,椭圆看分 母的大小,双曲线看 x2,y2 系数的符号. x2 y2 b 6.双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± ax; y2 x2 a 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± bx. 7. 直线与双曲线、 直线与抛物线有一个公共点应有两种情 况:一是相切;二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物 线的对称轴平行.
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1 . (2014· 郑州模拟 ) 如果点 P(2 , y0) 在以点 F 为焦点的抛 物线y2=4x上,则|PF|=( )

A.1
C.3 [答案] C [ 解析]

B.2
D.4 根据抛物线的定义点 P到点 F的距离等于点 P到其

准线x=-1的距离d=|2-(-1)|=3,故C正确.

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2.(2014· 福州月考)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2= 20y 的焦点重合,且其渐近线的方程为 3x± 4y=0,则该双曲线 的标准方程为( y2 x 2 A.16- 9 =1 y2 x2 C. 9 -16=1
[答案] C

) x2 y2 B.16- 9 =1 x2 y2 D. 9 -16=1

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[解析]

y2 x2 设双曲线的标准方程为a2-b2=1,因为双曲线的

一个焦点与抛物线 x2=20y 的焦点重合, 所以双曲线的焦点在 y 轴上,且 c=5,又因为双曲线的渐近线方程为 3x± 4y=0,所以 y2 x2 a 3 b=4,所以 a=3,b=4,所以双曲线的标准方程为 9 -16=1.

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x2 y2 3.(2014· 龙岩质检)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近 线与圆 x2+(y-2)2=1 相切,则双曲线的离心率为( A. 2 C. 3
[答案] B

)

B.2 D.3

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b [解析] 易知双曲线的渐近线方程为 y=± ax , 因为渐近线方程与圆 x2+(y-2)2=1 相切, |0-2a| b2 所以 2 2=1,整理得:a2=3. a +b c 所以双曲线的离心率为 e=a= b2 1+a2=2.

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4.(2014· 太原模拟)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1、 F2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1 则曲线 C 的离心率等于( 2 3 A.3或2 1 C.2或 2
[答案] D

F1F2

PF2|=



) 2 B.3或 2 1 3 D.2或2

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[ 解析 ]

因为 |PF1

F1F2

PF2| =

,所以设 |PF1|

=4x,|F1F2|=3x,|PF2|=2x,x>0. 2 因为|F1F2|=3x=2c,所以 x=3c. 若曲线为椭圆,则有 2a=|PF1|+|PF2|=6x, c c 即 a=3x,所以离心率 e=a=3x= 1 2 =2. 3×3c c

若曲线为双曲线,则有 2a=|PF1|-|PF2|=2x,即 a=x, c c c 3 所以离心率 e=a=x=2 =2,所以选 D. 3c
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→ 5.(2014· 南昌调研) 在平面直角坐标系中,O 是原点,OA → → → → =(1,0),P 是平面内的动点,若|OP-OA|=|OP· OA|,则 P 点的 轨迹方程是________.
[答案] y2=2x-1

→ → → → → [解析] 设 P(x, y) , 则OP=(x, y), 又因为|OP-OA|=|OP· OA |,所以(x-1)2+y2=x2,整理得 y2=2x-1.

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6.(2014· 抚顺市六校联合体期中)已知点 F1、F2 分别是双 x 2 y2 曲线a2-b2=1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双 曲线交于 A、B 两点,若△ABF2 为锐角三角形,则该双曲线的 离心率 e 的取值范围是________.

[答案] (1,1+ 2)

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[解析] ∵双曲线关于 x 轴对称,∴A、B 两点关于 x 轴对 称,∴|F2A|=|F2B|,△ABF2 为锐角三角形?∠AF2B 为锐角? ∠AF2F1<45° ?|AF1|<|F1F2|, b2 b2 ∵F1(-c,0),∴A(-c, a ),即|AF1|= a , 又|F1F2|=2c, b2 ∴ a <2c,∴c2-2ac-a2<0,∴e2-2e-1<0, ∴1- 2<e<1+ 2, ∵e>1,∴1<e<1+ 2.
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2 y 7.设 P 是双曲线 x2- 3 =1 的右支上的动点,F 为双曲线

的 右 焦 点 , 已 知 A(3,1) , 则 |PA| + |PF| 的 最 小 值 为 __________________.

[答案]

26-2

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[解析] 设双曲线的另一个焦点为 F′, 则有 F′(-2, 0), F(2,0), 连接 AF′交双曲线的右支于点 P1, 连接 P1F, 则|P1F′| -|P1F|=2a=2. 于是(|PA|+|PF|)min=|P1A|+|P1F| =|P1A|+(|P1F′|-2)=|AF′|-2 = 26-2.

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8.(2014· 康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校 联考)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离 1 心率为2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C 交于 A,B 两点, → → 若AM=2MB,求直线 l 的方程.

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x2 y 2 [解析] (1)设椭圆方程为a2+b2=1,(a>0,b>0), c 1 ∵c=1,a=2, ∴a=2,b= 3, x2 y2 ∴所求椭圆方程为 4 + 3 =1.

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(2)由题意得直线 l 的斜率存在, 设直线 l 方程为 y=kx+1, kx+1, ? ?y= 则由?x2 y2 消去 y 得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且 Δ>0. + 3 =1. ? 4 ? ? ?x1+x2= -8k 2, 3+4k ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),∴? -8 ? x1· x2 = 2, ? 3 + 4 k ?

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→ → 由AM=2MB得 x1=-2x2, ? ?-x2= -8k 2, 3+4k ? ∴? -8 ? 2 -2x2= 2, ? 3+4k ?
2

8k 2 4 消去 x2 得( 2) = 2, 3+4k 3+4k

1 1 解得 k =4,∴k=± 2, 1 所以直线 l 的方程为 y=± 2x+1,即 x-2y+2=0 或 x+2y -2=0.
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典例探究学案

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1.圆锥曲线定义的应用

与焦点有关的问题,常常用定义解决,许多问题应用定义
会非常简捷的获解.

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x2 y2 [例 1] 设 F1、F2 分别为双曲线a2-b2=1 的左、右焦点, A1、A2 分别为这个双曲线的左、右顶点,P 为双曲线右支上的 任一点, 求证: 以 A1A2 为直径的圆既与以 PF2 为直径的圆外切, 又与以 PF1 为直径的圆内切. [分析] 设 N、M 分别是 PF1、PF2 的中点,只要证明|OM| 1 1 =a+2|PF2|,并且|ON|=2|PF1|-a.因为点 P 在双曲线的右支 上,F1、F2 是双曲线的两个焦点,具备了运用定义解题的条件, 故应从双曲线的定义入手去探索证明的途径.

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[解析] 如图易知以 A1A2 为直径的圆的圆心为 O,半径为 a,令 M、N 分别是 PF2、PF1 的中点,由三角形中位线的性质 1 得,|OM|=2|PF1|,又根据双曲线的定义得,|PF1|=2a+|PF2|, 1 1 从而有|OM|=2(2a+|PF2|)=a+2|PF2|.

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∴两圆的圆心距等于两圆半径之和, 故以 A1A2 为直径的圆 与以 PF2 为直径的圆外切. 同理,运用双曲线的定义得, 1 1 1 |ON|=2|PF2|=2(|PF1|-2a)=2|PF1|-a. ∴两圆的圆心距等于两圆半径之差, 故以 A1A2 为直径的圆 与以 PF1 为直径的圆内切.

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2.圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线的几何性质是本章的重点,是高考命题的主要方 向,有时也常常将两种曲线结合起来考查.

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x2 y 2 3 [例 2] 若椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,则双曲线 x2 y 2 a2-b2=1 的渐近线方程为( 1 A.y=± 2x C.y=± 4x
[答案] A

) B.y=± 2x 1 D.y=± 4x

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2 2 3 c2 a -b 3 c [解析] 由椭圆的离心率 e=a= 2 ,可知a2= a2 =4,

1 b 1 ∴a=2,故双曲线的渐近线方程为 y=± 2x,选 A.

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3.直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题 等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查,一直 是高考考查的重点,特别是焦点弦和中点弦等问题,涉及中点

公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法,
也是考查数学思想方法的热点题型.

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→ → [例 3] A、 B 是抛物线 y =2px(p>0)上的两点, 满足OA· OB
2

=0(O 是原点).求证: (1)A、B 两点的横坐标之积,纵坐标之积均为定值. (2)直线 AB 过定点.

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[解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2), y1 x2 → → (1)∵OA· OB=0,∴OA⊥OB.∴x =-y .
1 2

∴x1x2=-y1y2①
2 ? ?y1=2px1, ∵? 2 ? ?y2=2px2,

② ③

∴(y1y2)2=4p2(x1x2)④ 由①④得 y1y2=-4p2 且 x1x2=4p2.∴结论成立.

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(2)在(1)中②-③,得 y1-y2 2p (y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),∴ = , x1-x2 y1+y2 2p ∴直线 AB 方程为 y-y1= (x-x1). y1 +y2 2p 2px1 2p y1 y2 ∴y= x+y1- = x+ y 1 +y 2 y1+y2 y1+y2 y1+y2 -4p2 2px 2p = + = (x-2p). y1+y2 y1+y2 y1+y2 ∴直线 AB 过定点(2p,0).

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4.中点弦问题 [例 4] 椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、 B, 2 C 是 AB 的中点,若|AB|=2 2,OC 的斜率为 2 ,求椭圆的方 程.

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[解析] +b-1=0.

2 2 ? ?ax +by =1, 解法一: 由? ? ?x+y=1.

消去 y 得(a+b)x2-2bx

设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则|AB|= ?k2+1??x1-x2?2 4b2-4?a+b??b-1? = 2· . a+b

a+b-ab ∵|AB|=2 2,∴ =1. a+b



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x1+x2 b a 设 C(x,y),则 x= 2 = ,y=1-x= , a+b a+b 2 2 a ∵OC 的斜率为 2 ,∴b= 2 . 1 2 代入①,得 a=3,b= 3 . x2 2 2 ∴椭圆方程为 3 + 3 y =1.

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解法二:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程并作差得 a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 y1 +y2 2 而 =-1, =k = ,代入上式可得 b= 2a. x1-x2 x1+x2 OC 2 再由|AB|= 2|x1-x2|=2 2,其中 x1、x2 的方程是(a+b)x2 -2bx+b-1=0 的两根, b-1 2b 2 ∴ ?x1+x2? -4x1x2=2,故( ) -4· =4, a+b a+b
2

1 2 将 b= 2a 代入得 a=3,∴b= 3 . ∴所求椭圆的方程是 x2+ 2y2=3.
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[点评]

解法一是圆锥曲线弦长的基本求法,是利用两点

间的距离公式求得,再者就是结合弦所在直线的斜率 k,利用 弦长= 1+k2|x2-x1|与韦达定理结合较简单,如果是焦点弦, 可结合圆锥曲线的定义求解. 解法二:利用了设点代入、作差,借助斜率的解题方法, 称作“点差法”,是解析几何解决直线与圆锥曲线位置关系的 常用技巧,应在理解的基础上进行记忆.

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5.实际应用问题
[ 例 5] 有 一 椭 圆 形 溜 冰 场 , 长 轴 长 100m , 短 轴 长 60m.现要在这溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的 矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定 位在何处?这时矩形的周长是多少?

[ 分析]

因为椭圆和矩形都是中心对称图形,又矩形的各

顶点在椭圆上,所以他们有同一个对称中心.同时,椭圆关于 长轴、短轴所在的直线都对称,可知此矩形也关于这两条直线 都对称.因此,以这两条直线建立平面直角坐标系,可利用椭 圆的方程及矩形所满足的条件来解决问题.
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[解析]

分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x轴和

y轴,建立如图平面直角坐标系xOy,设矩形ABCD的各顶点都 在椭圆上,而矩形是中心对称图形,又是以过对称中心且垂直 其一边的直线为对称轴的轴对称图形,所以矩形ABCD关于原 点O及x轴、y轴都对称.

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已知椭圆的长轴长 2a=100(m),短轴长 2b=60(m),则椭 x2 y2 圆的方程为502+302=1. 设顶点 A 的坐标为(x0,y0),x0>0,y0>0,则
2 x2 y 9 0 0 2 2 2 (50 - x 2+ 2=1,因此 y0= 0). 50 30 25

根据矩形 ABCD 的对称性,可知它的面积 S=4x0y0. 由于
2 2 2 9 x0y0=x0· 2 2 (50 - x 0) 25

2? ? ? 2 502? 50 9 9 2 2 2 ? ? ? ?, x - - + =25(-x4 + 50 x ) = 0 0 0 2 ? 4 ? 25? ?

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2 50 2 2 因此,当 x2 = 时, x 0 0y0达到最大值,同时 S=4x0y0 也达 2

到最大值. 这时 x0=25 2,y0=15 2. 矩形 ABCD 的周长为 4(x0+y0)=4(25 2+15 2)=160 2 (m). 因此在溜冰场椭圆的短轴两厕分别画一条与短轴平行且与 短轴相距 25 2m(约 35.35m)的直线,这两条直线与椭圆的交 点就是所划定的矩形区域的顶点;这个矩形区域的周长为 160 2m.
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