高等数学第一章-极限习题课_图文

第一章 习题课 一、主要内容
(一)函数的定义
(二)极限的概念 (三)连续的概念

(一)函数
基本初等函数

复合函数 初等函数

函 数 的定义
反函数 反函数与直接 函数之间关系

函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性

双曲函数与 反双曲函数

1、函数的定义
D f D 定义 设数集 ? R, 则称映射 : D ? R为定义在 上的 y ? f ( x ), x ? D, 函数, 记为
因变量 自变量 定义域 D f ? D

当x0 ? D时, 称f ( x0 )为函数在点 0处的函数值 x .
函数值全体组成的数集 R f ? f ( D ) ? { y y ? f ( x ), x ? D} 称 为 函 数 的 值 域 .

函数的分类
代 数 函 数

有 理 函 数

有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)

函 数

初 等 函 数

无理函数

超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)

2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若对于每一个 x ? D ,仅有一个值 y ? f ( x ) 与之对 应,则称 f ( x ) 为单值函数,否则就是多值函数.

y
y ? ex

y

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

o o

x

x

(2) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称 对于?x ? D, 有 ,

f (? x ) ? f ( x ) f (? x ) ? ? f ( x ) y

称f ( x )为偶函数 ; 称f ( x )为奇函数 ;
y

y? x
o

y ? x3

x

偶函数

o

x

奇函数

(3) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D,区间I ? D,如果对于区间I上 任意两点 x1 x2,当 x1 ? x2时,恒有: 及 (1) f ( x1 ) ? f ( x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的; 或(2) f ( x1 ) ? f ( x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的; 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

y
y ? x2

当 x ? 0 时为减函数 ; 当 x ? 0 时为增函数 ;

o

x

(4) 函数的有界性:
若X ? D, ?M ? 0, ?x ? X , 有 f ( x ) ? M 成立, 则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.

y
1 y? x

在(??,0)及(0,??)上无界; 在(??,?1]及[1,??)上有界.

?1

o

1

x

(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D,如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x ? D,有 ( x ? l ) ? D .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.(通 常说周期函数的周期是指其最小正周期).

T ?1

y

1

y ? x ? [x ]

o

1

x

3、反函数
由y ? f ( x )确定的y ? f ?1 ( x )称为反函数. y ? f ?1 ( x ) ? ar sinh x y ? sinh x

5、反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x )是一一对应 函数, 则
y

y ? f ?1 ( x )

?1? f ( f ?1 ( x )) ? f ?1 ( f ( x ))
?x x ? Df

( f ( x ), x )

y ? f ( x)
( x , f ( x ))
x

?2 ? y ? f ( x )与y ? f ?1 ( x )的
图象对称于直线y ? x .

o

6、基本初等函数
1)常数函数 y ? C . 2)幂函数 y ? x ? (?是常数)
y ? ax 3)指数函数 (a ? 0, a ? 1)
4)对数函数 y ? loga x 5)三角函数 y ? sin x;

(a ? 0, a ? 1) y ? cos x;
y ? cot x;

y ? tan x;

6)反三角函数 y ? arcsin x; y ? arccosx;

y ? arctan x; y ? arc cot x

7、复合函数
定义 设y ? f ( u)的 定 义 域 为 f , u ? g( x )在D上 有 定 义 D ,
且g ( D ) ? D f , 则 y ? f [ g( x )], x ? D 称 为 由 ? g( x )和y ? f ( u)构 成 的 复 合 函 数 u .

8、初等函数

初等函数 由基本初等函数经过有限次四则
运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示的函数,称为初等函数.

9、双曲函数与反双曲函数
e ?e 双曲正弦 sinh x ? 2 x ?x e ?e 双曲余弦 cosh x ? 2 sinh x e x ? e ? x 双曲正切 tanh x ? ? x cosh x e ? e ? x
x ?x

双曲函数常用公式

sinh( x ? y ) ? sinh x cosh y ? cosh x sinh y ; cosh( x ? y ) ? cosh x cosh y ? sinh x sinh y ;

cosh x ? sinh x ? 1; sinh 2 x ? 2 sinh x cosh x ;
2 2

cosh 2 x ? cosh x ? sinh x .
2 2

反双曲正弦 y ? arsinh x ; 反双曲余弦 y ? ar cosh x ; 反双曲正切 y ? artan x ;

(二)极限
数列极限
lim x n ? a
n? ? x ??






x ? x0



无穷大
lim f ( x ) ? ?

lim f ( x ) ? A

lim f ( x ) ? A

两者的 关系

极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 极限 的性质

左右极限

无穷小的比较

无穷小
lim f ( x ) ? 0

两个重要 极限

等价无穷小 及其性质

无穷小 的性质

求极限的常用方法

极限的运算

1、极限的定义
定义 如果对于任意给定的正数 ? (不论它多么 小),总存在正整数 N ,使得对于 n ? N 时的一切

x n ,不等式 x n ? a ? ? 都成立,那末就称常数 a 是 数列{ x n }的极限,或者称数列{x n }收敛于 a ,记为
lim x n ? a ,
n? ?

或 x n ? a ( n ? ? ).

如果数列没有极限,就说数列是发散的.

"? ? N "定义
lim x n ? a ? ?? ? 0, ?N ,当n ? N时, 恒有xn ? a ? ? . n??

定义

如果对于任意给定的正数 ? (不论它多

么小),总存在正数 ? ,使得对于适合不等式 0 ? x ? x 0 ? ? 的一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都 满足不等式 f ( x ) ? A ? ? ,那末常数 A 就叫函数

x ? x0

f ( x ) 当 x ? x 0 时的极限,记作 lim f ( x ) ? A 或 f ( x ) ? A(当 x ? x 0 )
x ? x0

"? ? ? "定义

lim f ( x ) ? A ?

?? ? 0, ?? ? 0, 当0 ? x ? x0 ? ?时, 恒有 f ( x ) ? A ? ? .

左极限

x ? x0

lim f ( x ) ? A 或 ?

f ( x0 ) ? A ?

?

?? ? 0, ?? ? 0,当x0 ? ? ? x ? x0时, 恒有 f ( x) ? A ? ? .

右极限 lim f ( x ) ? A 或 ?
x ? x0

f ( x0 ) ? A ?

?

?? ? 0, ?? ? 0,当x0 ? x ? x0 ? ?时, 恒有 f ( x) ? A ? ? .

定理 lim f ( x ) ? A ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? A.
x ? x0

?

?

2、无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
记作 lim f ( x ) ? 0 (或 lim f ( x ) ? 0).
x ? x0 x ??

无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x ) ? ? (或 lim f ( x ) ? ? ).
x ? x0 x ??

无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.

无穷小的运算性质

定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

3、极限的运算法则
定理 设 lim f ( x ) ? A, lim g ( x ) ? B , 则

(1) lim[ f ( x ) ? g ( x )] ? A ? B; ( 2) lim[ f ( x ) ? g ( x )] ? A ? B; f ( x) A ( 3) lim ? , 其中B ? 0. g( x ) B 推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则

lim[cf ( x )] ? c lim f ( x ).
推论2

如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )]n ? [lim f ( x )]n .

4、求极限的常用方法 a.消去零因子法求极限; b.无穷小因子分出法求极限; c.利用无穷小运算性质求极限; d.利用两个重要极限求极限; e.利用左右极限求分段函数极限; f.利用等价无穷小代换求极限; g.利用连续函数的性质求极限

5、判定极限存在的准则
准则Ⅰ′ 如果当 x ? U ( x 0 , r ) (或 x ? M )时,有
0

(1) g ( x ) ? f ( x ) ? h( x ), ( 2) lim g ( x ) ? A, lim h( x ) ? A,
x ? x0 ( x?? ) x ? x0 ( x?? )

那末 lim f ( x ) 存在,且等于 A .
x ? x0 ( x?? )

(夹逼准则)

准则Ⅱ

单调有界数列必有极限.

6、两个重要极限
(1)

sin x lim ?1 x ?0 x 1 x lim (1 ? ) ? e x ?? x lim(1 ? x ) ? e
x ?0 1 x

某过程

lim

sin ?

?

? 1;

(2)

某过程

lim (1 ? ? )? ? e .

1

7、无穷小的比较
定义: 设? , ?是同一过程中的两个无 , 且? ? 0. 穷小

? (1) 如 果 lim ? 0, 就 说? 是 比? 高 阶 的 无 穷 小 , ? 记 作 ? ? o(? ); ? ( ) 如果 lim ? ?,就说 ? 是比 ? 低阶的无穷小. 2 ? ? ( 3) 如果 lim ? C ? 0, 就说 ? 与 ? 是同阶的无穷小 ; ? 记作? ? O(? ).
? 特 殊 地 , 果 lim ? 1, 则 称 ? 与 ? 是 等 价 的 无 穷 小 如 ; ? 记 作? ~ ? ;

? (4) 如 果 lim k ? C ? 0, k ? 0, 就 说 ? 是 ? 的 k 阶 的 ? 无 穷 小 记作? ? O(? k ). .

8、等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理) ?? ? ?? 设 ? ~ ??, ? ~ ? ?且 lim 存在, 则 lim ? lim . ?? ? ??

9.极限的性质
唯一性 定理 1 若lim f ( x ) 存在,则极限唯一. (局部)有界性 定理 2 若在某个过程下, f ( x ) 有极限,则存在

过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) 有界. (局部)保号性
定理3
若 lim f ( x ) ? A, 且A ? 0(或A ? 0),
x ? x0 o

则?? ? 0,当x ? U ( x0 , ? )时, f ( x ) ? 0(或f ( x ) ? 0).

推论

若 lim f ( x ) ? A, 且?? ? 0,当x ? U ( x0 , ? )时,
x ? x0

o

f ( x ) ? 0(或f ( x ) ? 0),则A ? 0(或A ? 0).

子列收敛性
x ? x0

(函数极限与数列极限的关系)

定理4 若 lim f ( x ) ? A, 数列f ( xn )是f ( x )当x ? x0

时的任一子列 , 则有lim f ( xn ) ? A.
n ??

(三)连续

?x ? 0







lim ?y ? 0

x ? x0

lim f ( x ) ? f ( x 0 )

间断点定义

左右连续
在区间[a,b] 上连续

连续的 充要条件
连续函数的 运算性质

第一类 第二类 可跳 去跃 间间 断断 点点 无振 穷荡 间间 断断 点点

初等函数 的连续性

闭区间上 连续函数的性质

1、连续的定义
定义1 若 lim ?y ? 0, 或 lim ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 )? ? 0,
?x ? 0 ?x ? 0

设 x ? x0 ? ?x, ?y ? f ( x) ? f ( x0 ),
?x ? 0 ? x ? x0 ,
定义2
x ? x0

则称函数y =f (x)在点x0连续.

?y ? 0 ? f ( x) ? f ( x0 ).
注意!

若 lim f ( x ) ? f ( x0 ),

则称函数y =f (x)在点x0连续. 定义3 ?? ? 0, ?? ? 0, 当 x ? x0 ? ?时,有

f ( x ) ? f ( x0 ) ? ?
则称函数y =f (x)在点x0连续.

2、单侧连续
若 函 数 ( x )在(a , x0 ]内 有 定 义且f ( x0 ) ? f ( x0 ), f , 则 称f ( x )在 点x0处 左 连 续 ;
若 函 数 ( x )在[ x0 , b)内 有 定 义且f ( x0 ) ? f ( x0 ), f , 则 称f ( x )在 点x0处 右 连 续 .
?

?

3、连续的充要条件
定理

f ( x )在 x0 处连续 ? f ( x )在 x0 处既 左连续又右连续.

4、间断点的定义
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个 条件 :
(1) f ( x )在点x0处有定义 ;
( 2) lim f ( x )存在;
x? x0

( 3) lim f ( x ) ? f ( x0 ).
x ? x0

如 果 上 述 三 个 条 件 中少 有 一 个 不 满 足 则 称 至 , 函 数 f ( x )在 点 x0处 不 连 续 或 间 断 并 称 点x0为 ( ), f ( x )的 不 连 续 点 间 断 点 (或 ).

5、间断点的分类

(f ( x0 ) ? f ( x0 ))

可去间断点? ?

第一类间断点
(f ( x0 ), f ( x0 )存在) 跳跃间断点 ? ? 间断点 (f ( x0 ) ? f ( x0 ))
? ?

第二类间断点: 无穷间断点,振荡间断点.
(f ( x0 ), f ( x0 )至少 一个不存在)
? ?

(见下图)

第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点

y 可去型

y 跳跃型

0

x0

x

0

x0

x

y

y

0

x0

x

0

x
振荡型

无穷型

6、闭区间上连续
如果函数在开区间a , b)内连续, 并且在左端点 ( x ? a处右连续, 在右端点x ? b处左连续, 则称 函数f ( x )在闭区间 a , b]上连续. [

7、连续性的运算性质
定理 若函数f ( x ), g ( x )在点x 0处连续, 则

f ( x) f ( x ) ? g ( x ), f ( x ) ? g ( x ), ( g ( x 0 ) ? 0) g( x ) 在点x 0处也连续.

定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 定理2 若 lim ?( x ) ? a , 函数f ( u)在点a连续, 则有
x ? x0 x ? x0

lim f [?( x )] ? f (a ) ? f [ lim ?( x )].
x ? x0

定理3 设函数u ? ?( x )在点x ? x 0 连续, 且?( x 0 )
? u0 , 而函数y ? f ( u)在点u ? u0 连续, 则复合函数 y ? f [?( x )]在点x ? x 0也连续.

8、初等函数的连续性
定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间.

9、闭区间上连续函数的性质
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.

定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界.

定理 3(零点定理)

设函数 f ( x ) 在闭区间 ?a, b?

上连续,且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) ? f (b ) ? 0 ), 那末在开区间?a, b ? 内至少有函数 f ( x ) 的一个零
? 点,即至少有一点 (a ? ? ? b ) ,使 f (? ) ? 0 .

定理 4(介值定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间 ?a, b? 上 连续,且在这区间的端点取不同的函数值
f (a ) ? A 及 f (b) ? B ,
C 那末,对于A 与B 之间的任意一个数 ,在开区间

?a, b ?内至少有一点 ,使得 f (?) ? c (a ? ? ? b) . ?
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m之间的任何值.

二、典型例题
求函数y ? log ( x ?1) (16 ? x 2 )的定义域. 例1


16 ? x ? 0,
2

x ? 1 ? 0,

x ? 1 ? 1,

?x ?4 ? ?x ? 1 ?x ? 2 ?

1 ? x ? 2及2 ? x ? 4,

即(1,2) ? (2,4).

x ?1 例2 设f ( x ) ? f ( x ) ? 2 x , 其中x ? 0, x ? 1. 求f ( x ).

解 利用函数表示法的无关特性
x ?1 令t ? , x

即x?

1 , 1? t

代入原方程得

1 2 f( ) ? f (t ) ? , 1? t 1? t

1 2 即f ( x ) ? f ( )? , 1? x 1? x
代入上式得

1 u ?1 1 令 ? , 即x? , 1? x u 1? u

1 u ?1 2( u ? 1) 1 x ? 1 2( x ? 1) f( )? f ( )? , 即 f( )? f ( )? , 1? u u u 1? x x x

解联立方程组

x ?1 ? ? f ( x) ? f ( x ) ? 2 x ? 1 2 ? )? ? f ( x) ? f ( 1? x 1? x ? 1 x ? 1 2( x ? 1) ? ? f (1 ? x ) ? f ( x ) ? x ?

1 1 ? f ( x) ? x ? ? ? 1. x 1? x

例3 当 x ? 1时,
求 lim (1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )?(1 ? x ).
2 4 2n n??

解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
(1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )?(1 ? x ) 原式 ? lim n?? 1? x
2 4 2n

(1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )?(1 ? x ) ? lim n?? 1? x
2 2 4 2n

(1 ? x )(1 ? x ) 1? x ? lim ? lim n?? n?? 1 ? x 1? x 2 n?1 1 ? 0.) ? . (?当 x ? 1时, limx n ?? 1? x
2n 2n

2 n?1

1 ? tan x x 3 例4 求 lim ( ) . x ?0 1 ? sin x
1

tan x ? sin x x 3 1 ? tan x x3 解 原式 ? lim[1 ? ( ] ? 1)] ? lim[1 ? x ?0 x ?0 1 ? sin x 1 ? sin x
1
1

1? sin x ? ? tan x ? sin x ?? 1 ? tan x ? sin x ? ? ? lim ? ? x ?0 ? ? 1 ? sin x ? ? ? ? tan x ? sin x 1 sin x(1 ? cos x ) 1 ? lim ? 3 ? lim ? 3 x ?0 x ?0 (1 ? sin x ) cos x x 1 ? sin x x sin x 1 ? cos x 1 1 ? ? ? lim ? ? 2 x ?0 x x (1 ? sin x ) cos x 2

tan x ? sin x 1 ? 1? sin x x 3

?原式 ? e .

1 2

p( x ) ? x 3 ? 2, 例5 设p( x )是多项式, 且 lim 2 x ?? x p( x ) lim ? 1, 求p( x ). x ?0 x

p( x ) ? x 解 ? lim ? 2, 2 x ?? x
3

?可设p( x ) ? x 3 ? 2 x 2 ? ax ? b(其中a, b为待定系数)
p( x ) 又 ? lim ? 1, x ?0 x

? p( x ) ? x ? 2 x ? ax ? b ~ x ( x ? 0)
3 2

从而得 b ? 0, a ? 1. 故 p( x ) ? x ? 2 x ? x
3 2

例6

? x ?1, x ? 1 ? 讨论f ( x ) ? ? ?x 的连续性. ?cos , x ? 1 2 ?



将f (x )改写成

?1 ? x , x ? ?1 ? ?x ? f ( x ) ? ?cos , ? 1 ? x ? 1 2 ? ? x ? 1, x ? 1 ?
显然f ( x )在(??,?1),(?1,1),(1,??)内连续 .

当x ? ?1时,
x ? ?1

lim? f ( x ) ? xlim? (1 ? x ) ? 2. ? ?1
x ? ?1 x ? ?1

x ? ?1

lim? f ( x ) ? lim cos
x ? ?1
?

?x
2

? 0.

? lim? f ( x ) ? lim? f ( x )

故f ( x )在x ? ?1间断, 且为第一类跳跃)间断点 ( .
当x ? 1时,
x ?1

lim f ( x ) ? lim cos ? ?
x ?1
x ?1 x ?1

?x
2

? 0 . lim f ( x ) ? lim ( x ? 1) ? 0 . x ?1 x ?1
?

?

? lim f ( x ) ? lim f ( x ) ? f (1), 故f ( x )在x ? 1连续. ? ?

? f ( x )在(??,?1) ? (?1,??)连续.

例7

求f ( x ) ?

3?e 2?e

1 x 1 x

sin x +| | 的间断点. x

解: 显然f ( x)在(??,0) ? (0, ??)内连续.
5 lim? f ( x ) ? x?0 2
x?0

lim? f ( x ) ? 2

故f ( x)在x ? 0间断, 且为第一类(跳跃)间断点.
2?e 1? e
1 x 4 x

求 lim
x ?0

sin x +| | x

例7. 选择以下给出的四个结论中一 个正确的结论
设f (x) = 2x + 3x ? 2, 当x→0 时,有 ? (A) f (x)与x 是等价无穷小 ? (B) f (x)与 x 同阶但非等价无穷小 ? (C) f (x)是比 x 高阶的无穷小 ? (D) f (x)是比 x 低阶的无穷小

[ 例8 设f ( x )在闭区间 0,1]上连续, 且f (0) ? f (1), 1 1 证明必有一点 ? [0, ]使得f (? ? ) ? f (? ). ? 2 2 1 证明 令 F ( x ) ? f ( x ? ) ? f ( x ),
2

1 则 F ( x )在[0, ]上连续. 2 1 ? F (0) ? f ( ) ? f (0), F ( 1 ) ? f (1) ? f ( 1 ), 2 2 2

讨论:

1 若F (0) ? 0, F ( ) ? 0, 则 2
1 1 F (0) ? F ( ) ? ? [ f ( ) ? f (0)] 2 ? 0. 2 2

1 若F (0) ? 0, F ( ) ? 0, 则 2

1 1 F (0) ? F ( ) ? ? [ f ( ) ? f (0)] 2 ? 0. 2 2

1 即 f (? ? ) ? f (? )成立; 2 1 若F (0) ? 0, 则 取? ? 0, 有f (0 ? ) ? f (0);
2

1 由零点定理知, ?? ? (0, 2 ), 使F (? ) ? 0.

1 1 1 1 1 若F ( ) ? 0, 则 取 ? ? , 有f ( ? ) ? f ( ). 2 2 2 2 2 1 1 综上, 必有一点? ? [0, ], 使 f (? ? ) ? f (? ) 成立. 2 2

测验题
一、选择题: 1.函数 y ? 1 ? x ? arccos
x?1 的定义域是( ) 2

(A) x ? 1 ; (B) ? 3 ? x ? 1; (C)( ? 3 , 1 ) ; (D)?x x ? 1? ? ?x ? 3 ? x ? 1?. ? x ? 3, ? 4 ? x ? 0 2.函数 f ( x ) ? ? 2 的定义域是( ) ? x ? 1,0 ? x ? 3 (A) ? 4 ? x ? 0 ; (B)0 ? x ? 3 ; (C)( ? 4 , 3 ) ; (D)?x ? 4 ? x ? 0? ? ?x 0 ? x ? 3?.

3、函数 y ? x cos x ? sin x 是( ) (A)偶函数; (B)奇函数;

? 4、函数 f ( x ) ? 1 ? cos x 的最小正周期是( ) 2 (A)2? ; (B)? ; 1 (C) 4 ; (D) . 2
x 5、函数 f ( x ) ? 在定义域为( ) 2 1? x (A)有上界无下界; (B)有下界无上界; (C)有界,且 1 ? f ( x ) ? 1 ; 2 2 x ?2 . (D)有界,且 ? 2 ? 2 1? x

(C)非奇非偶函数;(D)奇偶函数.

6、与 f ( x ) ? (A) x ; (C) ( 3 x ) 3 ;

x 2 等价的函数是( ) (B) ( x ) 2 ; (D) x .

7、当 x ? 0 时,下列函数哪一个是其它三个的高阶 无穷小( ) (A)x 2 ; (B)1 ? cos x ; (C) x ? tan x ; (D)ln( 1 ? x ) .

8、设a 0 , b0 ? 0, 则当( )时有 a 0 x m ? a1 x m ?1 ? ........ ? a m a 0 lim ? . x ? ? b x n ? b x n ?1 ? ......... ? b b0 0 1 n (A)m ? n ; (B)m ? n ; (C)m ? n ; (D)m , n 任意取 .

? x ? 1,?1 ? x ? 0 9、设 f ( x ) ? ? ? x ,0 ? x ? 1 则 lim f ( x ) ? ( )
x?0

(A)-1 ; (B)1 ; (C)0 ; (D)不存在 . x 10、 lim ? ( ) x ?0 x (A)1; (B)-1; (C)0; (D)不存在.
二、求下列函数的定义域:

1、y ? sin( 2 x ? 1) ? arctan x ;

9x ? x2 ) ?1 . 2、? ( x ) ? lg( 2 三、设 g ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 3 x ? 1 (1) 试确定 a , b, c 的值使 g ( x ? 1) ? a ( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? c ; (2) 求 g ( x ? 1) 的表达式 . 2 ?1 四、求 f ( x ) ? (1 ? x ) sgn x 的反函数 f ( x ) .

五、求极限: 2n 2 ? n ? 1 1、lim ; 2 n? ? (1 ? n) 3、lim (1 ? x )
x ?0 2 x

2、lim

x?3

1? x ? 2 ; x?3
1 x



4、lim x(e ? 1) ;
x ??

x x x 5、当 x ? 0 时,lim cos cos ........ cos n ; n? ? 2 4 2 1 x 2 sin x . 6、 lim x?? ? 2x2 ? 1 ?sin ax, x ? 1 六、设有函数 f ( x ) ? ? 试确定a 的 ?a ( x ? 1) ? 1, x ? 1 值使 f ( x ) 在 x ? 1 连续 .

1 x arctan x ? 1 的连续性,并判 七、讨论函数 f ( x ) ? ? sin x 2
断其间断点的类型 .

八、证明奇次多项式: P ( x ) ? a 0 x 2 n?1 ? a1 x 2 n ? ? ? a 2 n ?1 (a 0 ? 0) 至少存 在一个实根 .

测验题答案
一、1、B; 2、D; 3、B; 4、C; 5、C; 6、D; 7、C; 8、B; 9、D; 10、D; 二、1、( ?? ,?? ); 2、[4,5]. 三、 a ? 2, b ? 1, c ? 0, g ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 5 x ? 3 . ? x ? 1, x ? 1 ? 四、 f ?1 ( x ) ? ?0, x ? 0 . ? ? ? ( x ? 1) , x ? ?1 ? 1 sin x e2 ; 五、1、2; 2、 ; 3、 4、1; 5、 ; 4 x 2 6、 . 2

? 六、a ? ? ? 2k? ( k ? 0,1,2, ?) 2

七、 x ? 0 可去间断点, x ? 1 跳跃间断点, x ? 2 n( n ? ? 1,? 2, ?) 无穷间断点, x 为其它实数时 f ( x ) 连续.

作业
P74: 4、11、12、13


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