复习二不等式

复习二 ——必修 5 不等式

说明:高考命题热点有以下两个方面:一是不等式的性质和一元二次不等式、绝对值不 等式、无理不等式的解法和线性规划的考查。二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载 体,以不等式的表现形式,综合考查学生的数学思想、数学方法和数学能力。
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一、不等式的基本性质:
注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质,另 外需要特别注意: ①若 ab>0,则 1 ? 1 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。
a b

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,有时注意分类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象) ,直 接比较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 例 1、 (1)已知 a, b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是( A . a 2 ? b2 B. a 2 b ? ab2 C. 2a ? 2b ? 0 ) D. 1 ? 1
a b

(2)已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:

c d c d (1)若ab ? 0,bc ? ad ? 0, 则 ? ? 0;(2)若ab ? 0, ? ? 0则bc ? ad ? 0 a b a b
c d (3)若bc ? ad ? 0, ? ?, 则ab ? 0, 其中正确命题的个数是( a b



A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 )

(3)已知 a ,b,c 满足 c ? b ? a且ac ? 0 ,则下列选项中不一定能成立的是( ... A. b ? c ; B. b ? a ? 0 ;
2 2 C. b ? a ; c c

a a

c

D. a ? c ? 0 ;

ac

二、不等式的解法:
(1)一元一次不等式: Ⅰ、 ax ? b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则 Ⅱ、 ax ? b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则 ;⑵若 a ? 0 ,则 ;⑵若 a ? 0 ,则 ; ;

(2)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于 零;注:要对 ? 进行讨论: (3)绝对值不等式:若 a ? 0 ,则 | x |? a ? 例 2、 (1)不等式 | x | (1 ? 3x) ? 0 的解集是( A. (??, 1 )
3

; | x |? a ? ) D. (0,

B. (??,0) ? (0, 1 ) C. ( 1 ,?? ) 3 3

1 ) 3

(2)已知不等式 | 8 x ? 9 |? 7 和不等式 ax2 ? bx ? 2 的解集相同,则实数 a、b 的值分别为 ( ) A.-8、-10
x?2

B.-4、-9 C.-1、9

D.-1、2

(3)不等式 x ? 1 ? 0 的解集为

(4)不等式 | 2x - 1|> | x | 的解集为____________

(5)关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 1 ? 1) x ? a ? 1 ? 0(a ? 0) 的解集为 _______________
a a

(6)解不等式 x -(a+2)x+ 2a≤0

2

(7)设不等式 x -2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M ? [1,4] ,求实数 a 的取值范围
2

三、均值不等式: 1、两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若 a, b ? 0 ,则 a ? b ? ab (当且仅当 a ? b 时取等号)
2

基本变形:① a ? b ?

; ( a ? b)2 ?
2



2 2 2 2 2、若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab , a ? b ? ( a ? b ) 2 2 2 基本应 用:①放缩,变形; ②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。

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当 ab ? p (常数) ,当且仅当 当 a ? b ? S (常数) ,当且仅当 常用的方法为:拆、凑、平方;

时, 时,

; ;
2

a 例3、 若 1 ? 1 ? 0 , (1) 则下列不等式: | a |?| b | ; a ? b ? ab ; b ? a ? 2 ; ① ② ③ ④ ? 2a ? b b a b a b
中,正确的不等式有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 )

(2)已知正整数 a, b 满足 4a+b=30 ,使得 1 ? 1 取最小值时,则实数对( a, b) 是(
a b

A.(5,10)

B. (6,6)
2

C. (10,5)

D. (7,2)

(3)当 x ? (1 2) 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 ,

(4)函数 y ? 4 x ?

9 1 ( x ? ) 的最小值 2 ? 4x 2

。 。

(5)若正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 (6)

1 1 ? 的最小 值 x y

当x ? 0时,求(x) f ?

2x 的值域。 x2 ? 1

四、线性规划: 用几何的方法解决代数问题 例 4、 (1)如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分(包括边界) ,则
这个不等式组是 。

?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ?y ? x ? s ? y ? 2x ? 4 ?

第(2)题 (2)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则 s 的取值范围是 (3)满足约束条件 ? x ? y ? 2 的点 P(x,y)所在区域的面积等于 ?
?x ? 2 y ? 2 ? ?x ? y ? 0

? 2 x ? y ? ?1 (4)设 z ? 2 y ? x ,式中变量 x、y 满足下列条件 ?3 x ? 2 y ? 23 ,则 z 的最大值为_______ ? ?y ? 1 ?
?x ?1 ? 0 (5)已知实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , z ? y ? ax ,若使 z 取得最大值的有序数对 ? x, y ? ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?

有无数个,则 a = ________

? x ? 2 y ? 19 ? 0 ( 7 ) 设 二 元 一 次 不 等 式 组 ? x ? y ? 8 ? 0 所表示的平面区域为M ,若函数y ? a x (a ? 0 ? ?2 x ? y ? 14 ? 0 ?

, a ? 1) 的图象没有经过区域 M , 则a 的取值范围是_____________
(8)已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ,目标函数 z ? y ? ax(a ? R) .若取最大值时
? ?2 x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0

的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围是 _____

五、课后练习
1、下列结论正确的是 A (
lg x

) B. 当x ? 0 时, x ? 1 ? 2
x

.当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ? 1 ? 2

C.当 x ? 2 时, x ?

1 的最小值为 2 x

D. 0 ? x ? 2 时, x ?

1 无最大值 x

2、当 x>1 时,不等式 x+

1 ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x ?1

A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3] 3、不等式

1 ? 2 ? 0 的解集是 x
2 2

4、若关于 x 的不等式 ax ? 6 x ? a ? 0 的解集是(1,m),则 m=

已知函数y ? ? 9 x, 5、 x (1)若x ? 0, 当x ? ___ 时, 函数有最 ____ 值 ____ . (2)若x ? 0, 当x ? ___ 时, 函数有最 ____ 值 ____ . 2 (3)当x ? (0, ], 当x ? ___ 时, 函数有最 ____ 值 ____ . 5 (4)当x ? (4, ??), 当x ? ___ 时, 函数有最 ____ 值 ____ .

4

6、若 A 为不等式组 ? y ? 0 ?

?x ? 0

表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线

?y ? x ? 2 ?

x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 (

)A. 3
4

B.1

C. 7
4

D.5

?x ? 0 ? (k为常数) ,若目标函数 z ? x ? 3 y 的最小 7、已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?
值是 ?4 ,则实数 k =
? x ? y ? 5, 8、设 x, y 满足约束条件 ?3 x ? 2 y ? 12, 则使得目标函数 ? ? ? 0 ? x ? 3, ? 0 ? y ? 4. ?

z ? 6 x ? 5 y 的值最大的点 ( x, y ) 是

________________ 9、已知 f ? x ? ? ? 4 a ? 3? x ? b ? 2 a, x ?? 0,1 ,若 f ? x ? ? 2 恒成立,则 t ? a ? b 的最大值 ? 为 ____________


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