高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数学案含解析新人教A版选

1.3.3 函数的最大(小)值与导数 函数的最大(小)值 下图为 y=f(x),x∈的图象. 问题 1:观察上函数 y=f(x)的图象,试找出它的极大值、极小值. 提示:f(x1),f(x3)为函数的极大值,f(x2),f(x4)为函数的极小值. 问题 2:结合图象判断,函数 y=f(x)在区间上是否存在最大值和最小值?若存在,分 别为多少? 提示:存在.f(x)min=f(a),f(x)max=f(x3). 问题 3:函数 y=f(x)在上的最大(小)值一定是其极值吗? 提示:不一定,也可能是区间端点的函数值. 问题 4:怎样确定函数 f(x)在上的最小值和最大值? 提示:比较极值与区间端点处的函数值,最大(小)的是最大(小)值. 1.函数 y=f(x)在区间上的最值 一般地,如果在区间上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值 与最小值. 2.函数最值的求法 求函数 y=f(x)在闭区间上的最值的步骤如下: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值. 极值与最值的区别与联系 (1)区别 ①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较; 函数的最值是函数在整个区间上函数 值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者. ②函数的极值可以有多个,但最大(小)值只能有一个,极值只能在区间内取得,最值可 以在区间端点处取得. 1 (2)联系 如果在区间(a,b)上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那 么该极值点就是最值点,这里区间(a,b)可以是无穷区间. 求函数的最值 求下列各函数的最值: (1)f(x)=-x +3x,x∈; 54 2 (2)f(x)=x - (x<0). 3 x (1)f′(x)=3-3x =3(1-x)(1+x). 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 x f′(x) f(x) - 3 (- 3,- 1) - -1 0 极小值 (-1,1) + ? 1 0 极大值 (1,3) - ? 3 0 ? -18 所以 x=1 和 x=-1 是函数在上的两个极值点,且 f(1)=2,f(-1)=-2. 又因为 f(x)在区间端点处的取值为 f(- 3)=0,f(3)=-18, 所以 f(x)max=2,f(x)min=-18. 54 (2)f′(x)=2x+ 2 ,令 f′(x)=0,得 x=-3. x 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-3) - ? -3 0 极小值 (-3,0) + ? 所以当 x=-3 时,f(x)取得极小值,也就是最小值, 故 f(x)的最小值为 f(-3)=27,无最大值. 利用导数求函数最值的方法 (1)若函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 在区间(a, b)内只有一个导数值为 0 的点,且在这一点处取得极值,则该点一定是函数的最值点. (2)求一个函数在闭区间上的最值时,一般是找出该区间上导数值为 0 的点,无须判断 出是极大值点还是极小值点, 只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较, 其中 2 最大的就是函数的最大值,最小的就是函数的最小值. 1 2 求函数 f(x)=ln(1+x)- x 在区间上的最值. 4 1 1 解:f′(x)= - x, 1+x 2 1 1 令 f′(x)=0,即 - x=0, 1+x 2 得 x=-2 或 x=1. 又∵x+1>0,∴x>-1,∴x=-2 舍去. 1 ∵f(0)=0,f(1)=ln 2- ,f(2)=ln 3-1, 4 1 ∴该函数在区间上的最大值为 ln 2- ,最小值为 0. 4 由函数的最值确定参数的值 若 f(x)=x +3x -9x+1 在区间上的最大值为 28,求 k 的取值范围. 由 f(x)=x +3x -9x+1, 得 f′(x)=3x +6x-9. 令 f′(x)=0,得 x1=-3,x2=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 3 2 3 2 x f′(x) f(x) (-∞,-3) + ? -3 0 28 (-3,1) - ? 1 0 -4 (1,+∞) + ? 当 x=-3 时,取极大值 28; 当 x=1 时,取极小值-4.而 f(2)=3<f(-3)=28, 如果 f(x)在区间上的最大值为 28,则 k≤-3. 所以 k 的取值范围是(-∞,-3]. 由函数的最值确定参数的方法 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导 数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决 问题. 已知函数 f(x)=ax -6ax +b,x∈的最大值为 3,最小值为-29,求 a,b 的值. 解: 由题设知 a≠0, 否则 f(x)=b 为常函数, 与题设矛盾. f′(x)=3ax -12ax=3ax(x 2 3 2 3 -4),令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=4(舍去). ①当 a>0 且 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) -1 (-1,0) + 0 0 (0,2) - ? 2 -7a+b ? b -16a+b 由表可知,当 x=0 时,f(x)取得极大值,也就是函数在上的最大值,∴f(0)=3,即 b =3. 又∵f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1), ∴f(2)=-16a+3=-29,解得 a=2. ②当 a<0 时,同理可得,当 x=0 时,f(x)取得极小值,也就是函数在上的最

相关文档

精品高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数学案含解析新人教A版选修2_2
精品高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大小值与导数学案含解析新人教A版选修1_1
高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大小值与导数学案含解析新人教A版选
2018年高中数学第3章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大小值与导数学案新人教A版选修1-
电脑版