河北省衡水中学2018届高三9月大联考数学(文)试题+Word版含答案

衡水金卷 2018 届全国高三大联考文数

第Ⅰ卷(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选

项中,只有一项是符合题目要求的.

? ? 1.已知集合 M ? x | x2 ? 5x ? 4 ? 0 , N ? ?0,1, 2,3? ,则集合 M N 中元素的个数为

()

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

1
2.已知命题 p : ?x ? R , (2 ? x)2 ? 0 ,则命题 ?p 为( )

1
A. ?x0 ? R , (2 ? x0 )2 ? 0

1
B. ?x ? R , (1? x)2 ? 0

1
C. ?x ? R , (1? x)2 ? 0

1
D. ?x0 ? R , (2 ? x0 )2 ? 0

3.已知复数 z ? 5i ( i 为虚数单位),则复数 z 在复平面内对应的点位于( ) 2i ?1

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4.已知双曲线 C



x2 a2

?

y2 16

? 1(a

?

0)

的一个焦点为 (5, 0)

,则双曲线 C

的渐近线方程为

()

A. 4x ? 3y ? 0

B.16x ? 9y ? 0 C. 4x ? 41y ? 0 D. 4x ? 3y ? 12

5.2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年,中国人民银行为此发行了以此为主题的
金银纪念币.如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币,直径 22mm ,面额 100 元.为了测算
图中军旗部分的面积,现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次,其中恰有 30 次落在军旗内,据

此可估计军旗的面积大约是( )

A. 726? mm2 5

B. 363? mm2 10

C. 363? mm2 5

D. 363? mm2 20

6.下列函数中,与函数

y

?

1 2x

? 2x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是(



A. y ? sin x

B. y ? x3

C. y ? 1 x

D.

y

?

???x2 ,

? ??

x

2

,

x

x? ?0

0

7.如图是一个空间几何体的正视图和俯视图,则它的侧视图为( )

8.设

a

?

log5

4

?

log5

2



b

?

ln

2 3

?

ln

3,

c

?

1
102

lg 5

,则

a



b



c

的大小关系为(



A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. c ? a ? b

D. b ? a ? c

9.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为( )

A. 18 19

B. 19 20

C. 20 21

D. 1 20

10.将函数 f (x) ? 2sin(4x ? ? ) 的图象向左平移 ? 个单位,再把所有点的横坐标伸长到原

3

6

来的 2 倍,得到函数 y ? g(x) 的图象,则下列关于函数 g(x) 的说法错误的是( )

A.最小正周期为 ? C.图象关于点 ( ? , 0) 对称
12

B.图象关于直线 x ? ? 对称 12
D.初相为 ? 3

11.抛物线有如下光学性质:过焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;反 之,平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线

y2 ? 4x 的焦点为 F ,一条平行于 x 轴的光线从点 M (3,1) 射出,经过抛物线上的点 A 反射

后,再经抛物线上的另一点 B 射出,则直线 AB 的斜率为( )

A. 4 3

B. ? 4 3

C. ? 4 3

D. ? 16 9

12.已知 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且

(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a cos B ? b cos A) ? abc ,若 a ? b ? 2 ,则 c 的取值范围为( )

A. (0, 2)

B.[1, 2)

C.[1 , 2) 2

第Ⅱ卷(共 90 分)

D. (1, 2]

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.已知向量 a ? (sin ? , cos ? ) , b ? (k,1) ,若 a / /b ,则 k ?



36

14.已知函数 f (x) ? x3 ? 2x ,若曲线 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线经过圆 C :

x2 ? ( y ? a)2 ? 2 的圆心,则实数 a 的值为



?3x ? y ? ? ,

15.已知实数

x



y

满足约束条件

?? ? ?

x

?

? 6

,

则 sin(x ? y) 的取值范围为

(用

?? y ? 0,

区间表示).

16.在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四

棱锥 M ? ABCD 为阳马,侧棱 MA ? 底面 ABCD ,且 MA ? BC ? AB ? 2 ,则该阳马的

外接球与内切球表面积之和为



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.)

17.在递增的等比数列?an? 中, a1a6 ? 32 , a2 ? a5 ? 18 ,其中 n ? N *.

(1)求数列?an? 的通项公式;

? ? (2)记 bn ? an ? log2 an?1 ,求数列 bn 的前 n 项和Tn .

18.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , AC ? BC ,

AC ? BC ? CC1 ? 2 ,点 D 为 AB 的中点.

(1)证明: AC1 / / 平面 B1CD ;

(2)求三棱锥 A1 ? CDB1 的体积.

19.随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大

街小巷.为了解共享单车在 A 市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参

与调查的网友中抽取了 200 人进行抽样分析,得到表格:(单位:人)

经常使用

偶尔或不用

合计

30 岁及以下

70

30

100

30 岁以上

60

40

100

合计

130

70

200

(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 A 市使用共享单车情

况与年龄有关?

(2)现从所抽取的 30 岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取 5 人.

(i)分别求这 5 人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数;

(ii)从这 5 人中,再随机选出 2 人赠送一件礼品,求选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共

享单车的概率.

参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2

,其中 n ? a ? b ? c ? d .

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考数据:
P(K 2 ? k0 ) k0

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

20.已知椭圆 C



x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0 )过点 (?

2,1) ,离心率为

2 ,直线 l : 2

kx ? y ? 2 ? 0 与椭圆 C 交于 A , B 两点.

(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)是否存在实数 k ,使得| OA ? OB |?| OA ? OB | (其中 O 为坐标原点)成立?若存在,

求出实数 k 的值;若不存在,请说明理由.

21.已知函数 f (x) ? ln x ? 2x2 ? 3 , g(x) ? f '(x) ? 4x ? a ln x (a ? 0) .

(1)求函数 f (x) 的单调区间;

(2)若关于 x 的方程 g(x) ? a 有实数根,求实数 a 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程

已知曲线 C

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

2 cos ? , ( ? sin ?

为参数).以坐标原点为极点,

x

轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2? sin(? ? ? ) ? 3 . 4

(1)求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程;

(2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.

23.选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f (x) ?| 2x ?1| ? | x ?1| .

(1)解不等式 f (x) ? 3 ;

(2)记函数 g(x) ? f (x)? | x ?1|的值域为 M ,若 t ? M ,试证明: t2 ? 2t ? 3 .

一、选择题 1-5: CDDAB 二、填空题

衡水金卷 2018 届全国高三大联考文数答案

6-10: DAABC

11、12: BB

13.1

14. ?2

15.

? ??

1 2

,1???

16. 36? ?16 2?

三、解答题

17.解:(1)设数列?an? 的公比为 q ,则 a2a5 ? a1a6 ? 32 ,

又 a2 ? a5 ? 18 ,

∴ a2 ? 2 , a5 ? 16 或 a2 ? 16 , a5 ? 2 (舍).

∴ q3 ? a5 ? 8 ,即 q ? 2 . a2

故 an ? a2qn?2 ? 2n?1(n ? N*) .

(2)由(1)得, bn ? 2n?1 ? n .


Tn

?

b1

? b2

?…? bn

?

(1 ?

2

?

22

?…?

2n ?1 )

?

(1 ?

2

?3?…?

n)

?

1? 2n 1? 2

?

(1? n)n 2

? 2n ?1? n2 ? n . 2

18.(1)证明:连接 BC1 交 B1C 于点 O ,连接 OD .

在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,四边形 BCC1B1 是平行四边形,

∴点 O 是 BC1 的中点, ∵点 D 为 AB 的中点, ∴ OD / / AC1 .

又 OD ? 平面 B1CD , AC1 ? 平面 B1CD ,

∴ AC1 / / 平面 B1CD . (2)解:∵ AC ? BC , AD ? BD , ∴ CD ? AB .

在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

由 AA1 ? 平面 ABC ,得平面 ABB1A1 ? 平面 ABC ,

又平面 ABB1A1 平面 ABC ? AB ,

∴ CD ? 平面 ABB1A1 .

∴点 C

到平面

A1DB1 的距离为 CD ,且 CD

?

AC sin ? 4

?

2.

V ∴ A1 ?CDB1

? VC? A1DB1

?

1 3 S?A1DB1

? CD

?

1 3

?

1 2

?

A1B1

?

AA1

?

CD

?

1?2 6

2 ? 2?

2?4. 3

19.解:(1)由列联表可知,
K 2 ? 200? (70? 40 ? 60? 30)2 ? 2.198 . 130? 70?100?100
因为 2.198 ? 2.072 , 所以能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 A 市使用共享单车情况与年龄有关. (2)(i)依题意可知,所抽取的 5 名 30 岁以上的网友中,经常使用共享单车的有 5? ?0 ? 3
100 (人),偶尔或不用共享单车的有 5? 40 ? 2 (人).
100 (ii)设这 5 人中,经常使用共享单车的 3 人分别为 a , b , c ;偶尔或不用共享单车的 2

人分别为 d , e . 则从 5 人中选出 2 人的所有可能结果为 (a, b) ,(a, c) ,(a, d ) ,(a, e) ,(b, c) ,(b, d ) ,(b, e) ,

(c, d ) , (c, e) , (d, e) 共 10 种.

其中没有 1 人经常使用共享单车的可能结果为 (d , e) 共 1 种,

故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率 P ? 1? 1 ? 9 . 10 10

?2

? ?

a

2

?

1 b2

? 1,

20.解:(1)依题意,得

? ? ?

c a

?

2, 2

?a2 ? b2 ? c2,

?

?

解得 a2 ? 4 , b2 ? 2 , c2 ? 2 ,

故椭圆 C 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1. 42

(2)假设存在符合条件的实数 k .

? y ? kx ? 2,

依题意,联立方程

? ?

x2

?

2y2

?

4,

消去 y 并整理,得 (1? 2k 2 )x2 ? 8kx ? 4 ? 0 ,

则 ? ? 64k 2 ?16(1? 2k 2 ) ? 0 ,

即k ? 2 或k ?? 2 .

2

2

设 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,

则 x1

?

x2

8k ? ?1? 2k 2

, x1x2

4 ? 1? 2k 2

.

由| OA ? OB |?| OA ? OB | ,得 OA?OB ? 0 ,

∴ x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,

∴ x1x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 , 即 (1? k 2 )x1x2 ? 2k (x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,

∴ 4(1? k 2 ) ? 16k 2 ? 4 ? 0 , 1? 2k 2 1? 2k 2

即 8 ? 4k 2 1? 2k 2

? 0 ,即 k 2

? 2,k

?

?

2.

故存在实数 k ? ? 2 ,使得| OA ? OB |?| OA ? OB | 成立.

21.解:(1)依题意,得

f

'(x)

?

1

? 4x

1? 4x2 ?

?

(1? 2x)(1? 2x)

, x ?(0, ??) .

x

x

x

令 f '(x) ? 0 ,即1? 2x ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ; 2

令 f '(x) ? 0 ,即1? 2x ? 0 ,解得 x ? 1 , 2

故函数 f (x) 的单调递增区间为 (0, 1 ) ,单调递减区间为 (1 , ??) .

2

2

(2)由题得, g(x) ? f '(x) ? 4x ? a ln x ? 1 ? a ln x . x

依题意,方程 1 ? a ln x ? a ? 0 有实数根, x

即函数 h(x) ? 1 ? a ln x ? a 存在零点, x

又 h '(x) ? ? 1 ? a ? ax ?1 , x2 x x2

令 h '(x) ? 0 ,得 x ? 1 . a

当 a ? 0 时, h '(x) ? 0 ,即函数 h(x) 在区间 (0, ??) 上单调递减,

1? 1
而 h(1) ?1? a ? 0 , h(e a ) ?

1
1? 1
ea

? a(1?

1)?a a

?

1
1? 1
ea

?1?

1 ?1? 0, e

所以函数 h(x) 存在零点;

当 a ? 0 时, h '(x) , h(x) 随 x 的变化情况如表:

x

(0, 1 )

1

a

a

h '(x)

?

0

(1 , ??) a
?

h(x)

极小值

所以 h( 1 ) ? a ? a ln 1 ? a ? ?a ln a 为函数 h(x) 的极小值,也是最小值.

a

a

当 h( 1 ) ? 0 ,即 0 ? a ?1时,函数 h(x) 没有零点; a

当 h( 1 ) ? 0 ,即 a ?1时,注意到 h(1) ? 1? a ? 0 , h(e) ? 1 ? a ? a ? 1 ? 0 ,

a

e

e

所以函数 h(x) 存在零点.

综上所述,当 a ?(??, 0) [1, ??) 时,方程 g(x) ? a 有实数根.

22.解:(1)由曲线 C

的参数方程

?x

? ?

y

? ?

2cos?, (? sin ?

为参数),

得曲线 C 的普通方程为 x2 ? y2 ? 1. 4
由 2? sin(? ? ? ) ? 3 ,得 ?(sin? ? cos? ) ? 3 ,即 x ? y ? 3 , 4
所以直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 0 .

(2)设曲线 C 上的一点为 (2cos?,sin?) ,

则该点到直线 l 的距离 d ? | 2 cos? ? sin? ? 3 | ? | 5 sin(? ??) ? 3 | (其中 tan? ? 2 ),

2

2

当 sin(? ??) ? ?1时, dmax ? |

5?3| ? 2

10 ? 3 2 , 2

即曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 10 ? 3 2 . 2

?

??3x, x ? ?1,

23.解:(1)依题意,得

f

(x)

?

???2 ? ?

x, ?1 ?

x

?

1 2

,

则不等式 f (x) ? 3 ,即为

???3x,

x

?

1 2

,

?x ? ?1, ???3x ? 3,



???1 ? ? ??2 ? x

x? ?3

1 2

,



??x ? 1 , ?2 ??3x ? 3,

解得

?1 ?

x

?

1.

故原不等式的解集为?x | ?1? x ?1?.

(2)由题得, g(x) ? f (x)? | x ?1| ?| 2x ?1| ? | 2x ? 2 |?| 2x ?1? 2x ? 2 |? 3 ,

当且仅当 (2x ?1)(2x ? 2) ? 0 , 即 ?1 ? x ? 1 时取等号,
2 ∴ M ? [3, ??) ,
∴ t2 ? 2t ? 3 ? (t ? 3)(t ?1) , ∵ t ? M ,∴ t ?3 ? 0 , t ?1 ? 0 , ∴ (t ? 3)(t ?1) ? 0 ,
∴ t2 ? 2t ? 3 .


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