正切函数的图像和性质导学案


正切函数的图像和性质导学案

学习目标
1、会作出正切函数的简图,掌握正切函数的周期性、单调性等性质。 2、通过正切函数图像的作图、分析过程,观察、归纳出正切函数的性质。 3、通过本节学习,树立用运动变化观点认识事物。

重点.难点
重点:正切函数的图像与性质。 难点:正切函数的性质。

新课学习:
请大家看时 42 页到 45 页,并把重要的内容整理到笔记本上。

一、正切函数的图像
我们可以仿照正弦函数图像的画法画出正切函数的图像。

y

?

?
2

? x 2

二、正切曲线
根据正切函数的诱导公式 tan(x+ ? )=tanx,可以把 y=tanx, x ? ( ? 向右连续平移,得出 y=tanx, x ? (?

? ?

?
2

? k? ,

?
2

, ) 的图像向左、 2 2

? k? ) 的图像——正切曲线。

正切曲线是由通过点( (

?
2

? k? ,0) 且与 y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成。

注:画正切曲线的方法:“三点两线法”’ 三点: (0,0)、( , ? ? 1)、

?

4

? ? ? ? ? , 1? ,两线: x ? 和x ? ? ? 2 2 ? 4 ?

三、正切函数 y=tanx 的性质:
请大家自己在笔记本上总结出正切函数的性质。

典型例题:
例1. 求函数 y ? tan(

?
2

x?

?
3

) 的性质。

例2

求函数 y=lg(tanx- 3 )+ 2 cos x ? 3 的定义域.

评析: 解正切不等式一般有两种方法: 图像法和三角函数线法. 图像法即先画出函数图像, 找出符合条件的边界角,再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作 出角的边界值时的正切线,得到边界角的终边,在单位圆中画出符合条件的区域.要特别 注意函数的定义域. 例:解不等式

1 tan x ? ?1 )

2) tan( x ?

?
6

) ?1

练习:根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的 x 的集合 (1)tanx+1≧0 (2)tanx ? 3 < 0

例:不求值,比较大小: (1) tan138 与tan143
? ?

(2) tan( ?

13 17 π ) 与 tan( ? π ) 4 5

练习:比较大小:

9 3 ? 和 tan ? 11 11 9 3 (3)tan (6 ? ) 和 tan (?5 ? ) 11 11
(1)tan

(2)tan1519°和 tan1493°

例:函数y ? lg(tanx)的增区间是(

)。

例:求函数 y ? tan 2 x ? tan x ? 1的值域。若 x ? [ , ]呢? 4 3

? ?

例:求函数 y=sinx,y=x,y=tanx 的交点个数。

例:作出函数 y=|tanx|的图像,并根据图像求其单调区间.

说明:根据图像我们还可以发现:函数 y=|tanx|的最小正周期为π .一般地,y=A|tan (ω x+φ )|的最小正周期与 y=Atan(ω x+φ )的最小正周期相同,均为 练习: 1.讨论函数 y ? tan( 2.比较大小: (1)tan111°和 tan133° (2)tan ( ?

? . ?

1 ? x ? ) 的性质。 2 6
13 17 ? ) 和 tan (? ? ) 4 5

3.判断下列语句是否正确: (1) y=tanx 在定义域上是单调增函数; (2)y=tanx 在第一象限是单调增函数; (3)?

?
16

?

7? ,而 y=tanx 是单调增函数,? tan ? ? tan 7? 8 16 8

4、函数 y ? tan( x ?

?

4 5、函数 y ? log 1 tan x 的定义域为
2

), x ? k? ?

3? , k ? Z 的对称中心是 4

6、函数 y ? tan x, x ? (?

? ?

, ) 的值域为 4 6

7、函数 y ? tan x , x ? k? ?
2

?

2

, k ? Z 的周期是

8、函数 y ? tan x ? 2 tan x ? 3, x ? ? ? 9、不求值,判断下列格式的符号 (1) tan138 ? tan143
? ?

? ? ?? , ? 的值域为 ? 3 3?
(2) tan( ?

13 17 ? ) ? tan( ? ? ) 4 5
(3) tan x ? 3 ? 0

10、根据正切函数的图象,求适合下列条件的 x 的集合 (1) tan x ? 0 (2) tan x ? 0

11、作出函数 y ? tan | x | 的图象,并根据图象确定其奇偶性,周期性。 12.已知 cos x? 0 ,且 tan x? 0 ,求 (1)角 x 的集合; (2)判断 tan

x x , cos ,的符号. 2 2


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