2014老教协实验中学真题五升六暑期讲义3含答案

综合练习 3
1.有 A、B 两瓶不同浓度的盐水,小明从两瓶中各取 1 升混合在一起,得到 一瓶浓度为 36%的盐水,他又将这份盐水与 2 升 A 瓶盐水混合在一起,最 终浓度为 32%.那么 B 瓶盐水的浓度是 . 解 : 44% . 提 示 : A 瓶 的 浓 度 为 32% ? 2-36%=28% , B 瓶 盐 水 是 36% ? 2-28%=44%. 2.对于一个大于 0 自然数 N,如果具有这样的性质就称为“破坏数”:把它添 加到任何一个自然数的右端,形成的新数都不能被 N+1 整除,那么有 个不大于 10 的破坏数. 解:6 个,提示:奇数肯定是破坏数.4 是破坏数(肯定不能被 5 整除).由于 3|12、7|56、9|18、11|110,所以,2、6、8、10 不是破坏数,故共有 1、3、 4、5、7、9 六个破坏数. 3.小明从家去学校,出门一段时间后,爸爸发现小明未带铅笔盒,便骑车去 追他,两人相遇之后爸爸立即回家,小明继续向学校走,爸爸到家后又发 现小明未带作业本,拿着本再骑车去追他,而小明到校后也发现未带作业 本,于是跑步回家去拿,与爸爸在途中相遇,已知两次的相遇点重合,相 遇之间相差 8 分钟,且爸爸骑车的速度与小明跑步的速度分别是小明步行 速度的 4 倍与 3 倍,则小明步行从家到学校需要 分钟. 解:22 分钟.提示:小明跑步从学校到相遇点的速度是步行从相遇点到学校 速度的 3 倍,在这段路程上,步行所用的时间是跑步的 3 倍,即步行了 6 分钟,爸爸在相遇点与家之间往返一次需要 8 分钟,单程要 4 分钟,故从 家到相遇点小明步行要 16 分钟,故小明步行到学校要 22 分钟. 4.某班男生中有一半戴眼镜,女生中有三分之一戴眼镜,如果男生比女生少 3 人,但戴眼镜的男生比戴眼镜的女生多 3 人,那么这个班共有 人. 解:51 人.提示:列方程 5. 用[x]表示 x 的整数部分, {x}表示 x 的小数部分, 那么方程 5[x]-19{x}=2001 的所有解的平均数是 . 9 解: 402 .提示: 5[x]=19{x}+2001 ,2001+19=2020>5[x] ? 2001. 5[x] 为 5 19 的倍数,5[x]可以为 2005、2010、2015,共三组解,要求解的平均数,只 9 求解的中间数即可.则[x]=402.{x}=(2010-2001) ? 19= . 19 6.小明暑假看一本书,每天比前一天多看 1 页,看到第 9 天时发现才看完全
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书的三分之一, 于是从第 10 天开始每天比第一天多看 3 页, 到了第 18 天刚好 把全书看完,那么全书一共有 页. 解:513 页.提示:后 9 天是前 9 天的 2 倍,第 5 天与第 14 天分别是前 9 天 与后 9 天的平均数.第 14 天是第 5 天的 2 倍,第 14 天比第 5 天多看了 4+3 ? 5=19 页,故第 5 天看了 19 页,前 9 天共看了 171 页.故共有 513 页. 7.将 1-9 这九个数字填入 3 ? 3 的方格表的各个方格内,使得任 意相邻两个格中所填数的和总不超过 M ,则 M 的最小值 是 . 解:11.提示:因为与 9 相邻,M 大于 10.如右图,和都不超 过 11. 8.从三位数 100,101, . . . ,499,500 中任取出 n 个不同的数,其中存在三个 数,它们的各位数字之和都相同,则 n 最小可能值是 . 解:43.提示:数字和为 1 的只有 100,数字和为 22 的只有 499,其它的数的 数字之和在 2-21 之间, 由抽屉原则, 在剩下的数中任意 20 ? 2+1=41 个数中, 必然存在三个数,其数字和都相等.故最小值为 43. 9.用 4 个不同的数字组成两个两位数,使乘积是 7 的倍数,那么这个乘积的 最大值是 . 解:8148.提示:98 ? 76=7448,91 ? 87=7917,84 ? 97=8148,如果有一个乘数不 超过 77,则其乘积肯定小于 7700. 10. 一个正方形的内部有 2008 个点, 以正方形的 4 个顶点和内部的 2008 个点 为顶点,将它剪成一些三角形.问:一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述 这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀,那么共需剪多少刀? 解: 共剪 6025 刀 提示: 如下图, 采用归纳法, 列出 1 个点、 2 个点、 3 个点… 时可剪出的三角形个数,需剪的刀数.

不难看出,当正方形内部有 n 个点时,可以剪成 2n+2 个三角形,需剪 3n+l 刀, 现在内部有 1996 个点, 所以可以剪成 2× 2008+2 个三角形, 需剪 3× 2008+1
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刀. 11.在长方形纸片 ABCD 中,AD=4,AB=3,现在将它折叠,使得 C 与 A 重 合,则折痕的长度是 . 15 解: 提示:折痕 EF 过 AC 中点,且垂直,设 4 AF=CF=x, FD=4-x,在直角三角形 FDC 中,(4 ? x)2 ? 32 ? x 2 ,
25 9 ,那么,HE=3,FH=4-FD-BE=4-2FD= , 8 4 15 再由勾股定理,得 EF= . 4 12. 以长方形 ABCD 的边 AB 和 CD 为斜边向长方 形内作等腰直角三角形 ABE 和 CDF,已知三角形 ABE 的面积为 16,长方形的周长为 44,求三角形 BED 的面积是 . 解:12 提示:三角形 ABE 是等腰直角三角形, 斜边上的高 EH 等于 AB 的一半,则 16= 1 1 ? AB ? EH ? ? AB 2 ,则 AB=8,BC=14,三角 2 4 形 BED 的面积为 14 ? 8 ? 2 ? 16 ? 14 ? 4 ? 2 =12.

则x?

13.有三堆石子的个数分别是 19,8,9,现在进行如下 操作, 每次从这三堆中的任意两堆中各取一个石子, 然后把这 2 个石子都加到 另一堆中去,试问能否经过若干次这样的操作后,使得(1)三堆石子的个数 分别是 22,2,12? (2)三堆都是 12?若能,说明最少要几步? 解: (1)经 6 次可达到要求, (19,8,9) ? (21,7,8) ? (23,6,7) ? (25,5,6) ?(24,4,8) ?(23,3,10) ?(22,2,12),因为最少一堆从 8 到 2,至少要经过 6 次,故不可能比 6 次少. (2)不可能.每次操作后,每堆石子要么加 2,要么少 1,而 19,8,9 被 3 除的余数分别为 1,2,0,经过任何一次操作,余数分别为 0,1,2,不可能 同时被 3 整除.故不能. 14.甲、乙两人打乒乓球,谁先连胜头两局,则谁赢.如果没有人连胜头两局, 则谁先胜三局谁赢,打到决出输赢为止,问有多少种可能情况? 解:甲(或乙)胜就写一个甲(或乙)字,画树形 图: 由图可见共有 14 种可能.
3

甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、甲乙甲乙乙、甲乙乙甲甲、甲乙乙甲乙、 甲乙乙乙、乙甲甲甲、乙甲甲乙甲、乙甲甲乙乙、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙、 乙甲乙乙、乙乙.

综合 3 的课堂小测
1. 计算: ( 20
94 94 7 94 × 1.65- 20 + ×20 )× 47.5× 0.8× 2.5= 95 95 20 95



解:1994 2.算式□□ ? □□+□ ? □,将 1-6 填入 6 个方框中,能得到最大的结果是 . 解: 3404 .提示: 5 和 6 填在两个两位数的十位, 3 、 4 填在其个位,而 53 ? 64<54 ? 63,故最大结果是 54 ? 63+2 ? 1=3404. 3.有三个面积各为 20 平方厘米的圆纸片放在桌上,见下 图. 三个纸片共同重叠的面积是 8 平方厘米, 三个纸片盖住 桌面的总面积是 36 平方厘米.则图中阴影部分的面积之和 是 . 答:8 cm2 . 提示:容斥原理 20? 3 ? 36 ? 8 ? 2 ? 8cm2

4.李名玩投放石子游戏,从 A 点出发,走 1 米放 1 枚石子;再走 4 米放下 3 枚石子;再走 7 米,放下 5 枚石子;再走 10 米放下 7 枚石子…….照此规律 最后走到 B 处共放下石子 35 枚,从 A 点到 B 点的路程是 . 解:477 米 提示:N=(35-1)÷ 2+1=18 末项=1+3× (18-1)=52 和=(1+52)× 18÷ 2=477(米) 5.在前 1000 个自然数(不包括 0)中,则既不是平方数也不是立方数的自然数 有 个. 答: 962 个. 提示: 前 1000 个自然数中, 平方数有: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ……, 900,961,共计 31 个;立方数有 1,8,27,64,125,216,343,521,729, 1000,共计 10 个;既是平方数又是立方数的有 1,64,729,共计 3 个.所 以既不是平方数也不是立方数的有 1000? (31? 10 ? 3) ? 962 个. 6. 把 1,2,3,4,5,6,7,8,9 九个数依不同的次序排列,可以得到 362880 个不同的九位数,则所有这些九位数的最大公约数为 . 答:因为 1+2+…+9=5×9,所以无论这些九位数的值如何,它们的数字之和总 可以被 9 整除, 因而 9 是所有这些九位数的公约数. 现任取这些九位数中的两 个相差 9 的数,如 413798256 和 413798265. 7. 如图所示:在正方形 ABCD 中,红色、绿色正方形的面积


4
绿



分别为 52 和 12,且红绿两个正方形有一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点 位于红色正方形两条对角线的交点, 另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的 交点.则黄色正方形的面积是 . 答案:29.25 提示:红黄相交的部分面积为 52 ? 4 =13,绿黄相交的部分面 积 13 ? 4 =3.25 ,则黄色正方形中另外两块面积相等的小长方形面积之积为

(52 ? 4) ? (13? 4) ? 6.52 , 因 此 黄 色 正 方 形 的 面 积 为
6.5 ? 2 ? 13 ? 3.25 ? 29.25 8.如图,某城市的街道由 5 条东西与 7 条南北向马路组 成.现在要从西南角的 A 处沿最短路线走到东北角的 B 处, 由于修路十字路口 C 不能通过, 则共有 种不同 走法. 解:120 提示:因为每个路口(点)只能由西边相邻点、 南边相邻点走过来,所以达到每个点的走法为西边相邻 点、南边相邻点的走法之和,并且最南方一排、最西方一 排的所有点均只有 1 种走法.因为 C 点不能通过,所以 C 处所标的数字为 0.如下图所示:所以,从 A 到 B 满足条件的走法共有 120 种 9.如图,有一个边长是 5 的立方体,如果它的左上方截 去一个边分别是 5,3,2 的长方体,那么它的表面积减 少了百分之 . 解:8 提示 原来正方体的表面积为 5 × 5× 6=150. 现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面, 它们的面积为(3× 2)× 2=12,12÷ 150=0.08=8%. 即表面积减少了百分之八.

10 右式中相同字母代表相同数字,不同字母代表不同 数字,则 EFCBH 代表的五位数是 解:10652 .
+

A B C D E F G B

E F C B H

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