双曲线(教师版)

双曲线
一、考点梳理
1 .双曲线第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于

F1F2 )的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做的双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线
的焦距. 2.双曲线第二定义:平面内到一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数

e(e ? 1) 的点的轨迹叫做双曲线.定点叫双曲线焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数叫双
曲线离心率. 3.双曲线的标准方程与几何性质: 焦点在 x 轴上 标准方程 焦点在 y 轴上

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a 2 b2
范 围

y 2 x2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a 2 b2
| y |? a, x ? R (0, ?a),(0, a)
F1 (0, ?c), F2 (0, c)

| x |? a, y ? R (?a,0),(a,0)
F1 (?c,0), F2 (c,0)

顶点坐标 几 焦点坐标 何 性 准线方程

x??

a2 c
b x a

y??

a2 c
a x b

渐近线方程

y??

y??

焦半径 对称轴方程 离心率

MF1 ?| a ? ex0 | ,MF2 ?| a ? ex0 |

MF2 ?| a ? ey0 | MF1 ?| a ? ey0 |

x ? 0、 y ?0

e?

c (e ? 1) a

a, b, c 关系
另外,焦点三角形的面积: S ? b2

c2 ? a2 ? b2 (c ? a ? 0, c ? b ? 0)

1 tan

?
2

,? ? ?F1MF2 .

二、典型例题选讲
(一)考查双曲线的概念
例 1 设 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , 9 a2


F1 、 F2 分别是双曲线的左、右焦点.若 | PF1 |? 3 ,则 | PF2 |? (

A. 1 或 5 B.6 C.7 D.9 分析:根据标准方程写出渐近线方程,两个方程对比求出 a 的值,利用双曲线的定义求 出 | PF2 | 的值. 解:? 双曲线

3 x2 y2 ? ? 1 渐近线方程为 y= ? x ,由已知渐近线为 3x ? 2 y ? 0 , 2 a 9 a

| PF2 |? ?4? | PF1 | . ?a ? ?2,? || PF1 | ? | PF2 ||? 4 ,?

| PF1 |? 3,

| PF2 |? 7 . | PF2 |? 0 ,?

故选 C. 归纳小结:本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法.

(二)基本量求解
例 2(2009 山东理)设双曲线 共点,则双曲线的离心率为( A.

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x2 ? 1 只有一个公 2 a b
) C.

5 4

B.5

5 2

D. 5

b ? b x2 y2 ? y? x 解析:双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? x ,由方程组 ? a ,消去 y, a a b 2 ? ? y ? x ?1
得x ?
2

b b x ? 1 ? 0 有唯一解,所以△ = ( ) 2 ? 4 ? 0 , a a
b c a 2 ? b2 b ? 2 ,e ? ? ? 1 ? ( )2 ? 5 ,故选 D. a a a a

所以

归纳小结: 本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念, 以及直线与抛物线的位 置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念、基本方法和 基本技能.

例 3(2009 全国Ⅰ理)设双曲线 相切,则该双曲线的离心率等于( A. 3 B.2

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 2 a b
)

C. 5

D. 6

解析:设切点 P( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为

y ' |x ? x0 ? 2 x0 .由题意有

y0 ? 2 x0 .又有 x0

b b y0 ? x02 ?1 ,联立两式解得: x0 2 ? 1,? ? 2, e ? 1 ? ( )2 ? 5 . a a
因此选 C. 例4 (2009 江西) 设F 1 和 F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 , a 2 b2
) D.3

P(0, 2b) 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为(
A.

3 2

B. 2

C.

5 2

解析:由 tan

?
6

?

c c 3 2 2 2 2 ? 有 3c ? 4b ? 4(c ? a ) ,则 e ? ? 2 ,故选 B. a 2b 3

归纳小结:注意等边三角形及双曲线的几何特征,从而得出 tan 形结合思想的应用.

?
6

?

c 3 ? ,体现数 2b 3

(三)求曲线的方程
例 5(2009,北京)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线 a 2 b2

方程为 x ?

3 . 3

(1)求双曲线 C 的方程; (2)已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆

x2 ? y 2 ? 5 上,求 m 的值.
分析: (1)由已知条件列出 a, b, c 的关系,求出双曲线 C 的方程; (2)将直线与双曲线 方程联立,再由中点坐标公式及点在圆上求出 m 的值.

? a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 . 解: (1)由题意,得 ? c ?c ? 3 ? ?a
∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2

2

y2 ? 1. 2

(2)设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 由? 得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ) , 2 ?x ? y ? m ? 0 ?
∴ x0 ?

x1 ? x2 ? m, y0 ? x0 ? m ? 2m , 2

∵点 M ? x0 , y0 ? 在圆 x2 ? y 2 ? 5 上,
2 ∴ m ? ? 2m ? ? 5 ,∴ m ? ?1 . 2

另解:设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? 2 y12 x ? ?1 ? 1 ? 1 2 由? ,两式相减得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 . 2 2 ? x 2 ? y2 ? 1 2 ? ? 2
由直线的斜率为 1, x0 ?

x 1 ? x2 y ?y , y0 ? 1 2 代入上式,得 y0 ? 2 x0 . 2 2

又 M ( y0 , x0 ) 在圆上,得 y02 ? x02 ? 5 ,又 M ( y0 , x0 ) 在直线上,可求得 m 的值. 归纳小结:本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方 程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力. 例 6 过 M (1,1) 的直线交双曲线

x2 y 2 ? ? 1 于 A, B 两点,若 M 为弦 AB 的中点,求 4 2

直线 AB 的方程.

分析:求过定点 M 的直线方程,只需要求出它的斜率.为此可设其斜率是 k ,利用 M 为弦 AB 的中点,即可求得 k 的值,由此写出直线 AB 的方程.也可设出弦的两端点坐标用 “点差法”求解. 解法一:显然直线 AB 不垂直于 x 轴,设其斜率是 k ,则方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) .

? x2 y 2 ? ?1 ? 由? 4 消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k (1 ? k ) x ? 2k 2 ? 4k ? 6 ? 0 2 ? y ? 1 ? k ( x ? 1) ?
设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由于 M 为弦 AB 的中点,



x1 ? x2 2k (1 ? k ) 1 ? ? 1 ,所以 k ? . 2 2 1 ? 2k 2 1 显然,当 k ? 时方程①的判别式大于零. 2 1 所以直线 AB 的方程为 y ? 1 ? ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2
所以 解法二:设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

? x12 y12 ? ?1 ? ?4 2 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ?4 2

② ③

① -② 得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 . 又因为 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 ,所以 x1 ? x2 ? 2( y1 ? y2 ) . 若 x1 ? x2 , 则 y1 ? y2 ,由 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 得 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? 1 . 则点 A、B 都不在双曲线上,与题设矛盾,所以 x1 ? x2 . 所以 k ?

y1 ? y2 1 ? . x1 ? x2 2
1 ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2

所以直线 AB 的方程为 y ? 1 ?

经检验直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 符合题意,故所求直线为 x ? 2 y ? 1 ? 0 .

2? y) 解法三: 设A ( x, y ) , 由于 A、B 关于点 M (1, 1) 对称, 所以 B 的坐标为 ( 2 ? x, ,

? x2 y 2 ? ? 1, ? ? 4 2 则? 消去平方项,得 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2 2 ?(2-x) ? (2 ? y ) ? 1. ? ? 4 2



即点 A 的坐标满足方程④ ,同理点 B 的坐标也满足方程④ . 故直线 AB 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 归纳总结:由于双曲线(抛物线)不是“封闭”的曲线,以定点为中点的弦不一定存在, 所以在求双曲线(抛物线)中点弦方程时,必须判断满足条件的直线是否存在.

(四)轨迹问题
例 7 已知点 P 1 ( x0 , y0 ) 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( b 为正常数)上任一点, F2 为双曲线 8b 2 b 2

A ,连接 F2 A 并延长交 y 轴于 P 的右焦点,过 P 1 作右准线的垂线,垂足为 2 .求线段 P 1 P 2的
中点 P 的轨迹 E 的方程. 分析:求轨迹问题有多种方法,如相关点法等,本题注意到点 P 是线段 P 1 P 2 的中点, 可利用相关点法. 解:由已知得 F2 (3b, 0), A( b, y0 ) ,则直线 F2 A 的方程为: y ? ? 令 x ? 0 得 y ? 9 y0 ,即 P 2 (0,9 y0 ) .

8 3

3 y0 ( x ? 3b) . b

x0 ? x ? ? ? 2 设P ,则 ? , (x,y) y ? 9 y 0 0 ?y ? ? 5 y0 ? ? 2

? x0 ? 2 x x0 2 y0 2 4x2 y2 ? ?1, 即? y 代入 2 ? 2 ? 1 得: 2 ? 8b b 8b 25b 2 y0 ? ? 5 ?
即 P 的轨迹 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 . ( x ? R) 2b2 25b2

归纳小结:将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法. (五)突出几何性质的考查 例 8 ( 2006 江 西 )

P 是双曲线

x2 y 2 ? ?1 的右支上一点, M , N 分别是圆 9 16

( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的点,则 | PM | ? | PN | 的最大值为(
A.6 B.7 C.8 D.9



解析: 双曲线的两个焦点 F1 (?5,0) 与 F2 (5,0) 恰好是两圆的圆心, 欲使 | PM | ? | PN | 的 值最大,当且仅当 | PM | 最大且 | PN | 最小,由平面几何性质知,点 M 在线段 PF 1 的延长 线上,点 N 是线段 PF2 与圆的交点时所求的值最大.

此时 | PM | ? | PN |? ( PF 1 ? PF 2 ? 3 ? 9 .因此选 D. 1 ? 2) ? ( PF 2 ?1) ? PF 例 9(2009 重庆)已知以原点 O 为中心的双曲线的一条准线方程为 x ?

5 ,离心率 5

e ? 5.
(1)求该双曲线的方程; (2)如图,点 A 的坐标为 (? 5,0) , B 是圆 x2 ? ( y ? 5)2 ? 1 上的点,点 M 在双曲 线右支上,求 MA ? MB 的最小值,并求此时 M 点的坐标 .

分析: (1)比较基础,利用所给条件可求得双曲线的方程; (2)利用双曲线的定义将

MA 、 MB 转化为其它线段,再利用不等式的性质求解.
解: (1)由题意可知,双曲线的焦点在 x 轴上,故可设双曲线的方程为

x2 y 2 5 a2 5 2 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,设 c ? a ? b ,由准线方程为 x ? 得 , ? 2 a b 5 c 5
由e ? 5得

c ? 5. a
2

解得 a ? 1, c ? 5 .从而 b ? 2 ,? 该双曲线的方程为 x ?

y2 ? 1. 4

(2)设点 D 的坐标为 ( 5,0) ,则点 A、D 为双曲线的焦点,

则 | MA | ? | MD |? 2a ? 2 . 所以 | MA | ? | MB |? 2? | MB | ? | MD |≥ 2? | BD | . 因为 B 是圆 x2 ? ( y ? 5)2 ? 1 上的点, 其圆心为 C (0, 5) ,半径为 1, 故 | BD |≥ | CD | ?1 ? 10 ?1 , 从而 | MA | ? | MB |≥ 2? | BD |≥ 10 ?1 . 当 M , B 在线段 CD 上时取等号,此时 | MA | ? | MB | 的最小值为 10 ? 1 . 直线 CD 的方程为 y ? ? x ? 5 ,因点 M 在双曲线右支上,故 x ? 0 .
2 2 ? ? 5?4 2 4 5 ?4 2 ?4 x ? y ? 4 ,y? 由方程组 ? 解得 x ? . 3 3 ? ? y ? ?x ? 5

所以 M 点的坐标为 (

? 5 ?4 2 4 5 ?4 2 , ). 3 3

归纳小结:本题综合考查双曲线的知识及不等式性质,考查推理能力及数形结合思想.

(六)开放性问题
例 10 已知双曲线 C 的中心是原点, 右焦点为 F 设过点 A (?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) . (1)求双曲线 C 的方程; (2)若过原点的直线 a // l ,且 a 与 l 的距离为 6 ,求 k 的值; (3) 证明: 当k ?

?

3, 0 , 一条渐近线 m: x ? 2y ? 0 ,

?

v

2 时, 在双曲线 C 的右支上不存在点 Q, 使之到直线 l 的距离为 6 . 2

分析: 前两问是基本问题, 比较简单, 第三问开放性问题, 可根据图形的几何特征求解. 解:(1)设双曲线 C 的方程为 x2 ? 2 y 2 ? ? (? ? 0) .

?? ?

?
2

? 3 ,解得 ? ? 2 ,双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)直线 l : kx ? y ? 3 2k ? 0 ,直线 a : kx ? y ? 0 . 由题意,得

| 3 2k | 1? k 2

? 6 ,解得 k ? ?

2 . 2

(3)证:设过原点且平行于 l 的直线 b : kx ? y ? 0 .如图:

则直线 l 与 b 的距离 d ?

3 2|k| 1? k 2

,当k ?

1 2 时, 0 ? 2 ? 2 , k 2

d?

3 2 3 2 ? ? 6 .2 1 3 ?1 k2

又双曲线 C 的渐近线为 x ? 2 y ? 0 .

? 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方.

? 双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 .

故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 . 归 纳 小 结 : 由 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 x ? my ? 0 , 可 设 双 曲 线 的 方 程 为

x2 ? m2 y 2 ? ? (? ? 0) ,求出参数 ? 的值,使问题简化;本题第(3)问通过数形结合将问
题解决.

三、本专题总结
本节课包含双曲线的定义、标准方程、双曲线的简单几何性质及应用等知识,主要研究 考查概念、基本量求解、求曲线方程、求参数范围问题等几类高考中常出现的问题. 主要解题策略有:运用第一定义,第二定义进行突破;利用不等式的性质求最值;用相 关点法求轨迹、充分运用曲线的性质及图形的特征,使得解法更简捷,因此在解题时要提高 运用曲线的定义及图形的几何特征的意识.体现主要数学思想有:化归与转化思想、函数与 方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等. 应注意的问题是求最值时要注意讨论等号成立的条件, 应用定义时是否符合要求, 求轨 迹方程时注意讨论方程所表示的点是否都在曲线上等. 练习: 1、 (2009 江西)已知点 P 1 ( x0 , y0 ) 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1( b 为正常数)上任一点, F2 为双 8b 2 b 2

A ,连接 F2 A 并延长交 y 轴于 P 曲线的右焦点,过 P 1 作右准线的垂线,垂足为 2. P 的轨迹 E 的方程. (1)求线段 P 1 P 2 的中点
(2)设轨迹 E 与 x 轴交于 B、D 两点,在 E 上任取一点 Q ? x1, y1 ?? y ? 0? ,直线 QB,QD 分别交 y 轴于 M,N 点。求证:以 MN 为直径的圆过两定点。

x2 y 2 5 2、 (2009 陕西)已知双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,离心率 e ? ,顶点 a b 2
到渐近线的距离为

2 5 。 5

(1)求双曲线 C 的方程; (2)如图,P 是双曲线上一点,A、B 两点在双曲线 C 的渐近线上,且分别位于第一、二 象限。若 AP ? ? PB, ? ? ? , 2? ,求 ?AOB 面积的取值范围。 3

?1 ?

? ?


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