浅谈数列中an与Sn的关系(学生版)

课题

浅谈数列中 an 与 Sn 的递推公式的应用

对于任意一个数列,当定义数列的前 n 项和通常用 Sn 表示时,记作 Sn=a1+a2+…+an,此时通项公 式 an=?????SS1n, -nS= n-11,,n≥2 .
而对于不同的题目中的 an 与 Sn 的递推关系,在解题时又应该从哪些方向去灵活应用 an=Sn-Sn-1(n≥2) 去解决不同类型的问题呢?
我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的 an 与 Sn 相关的问题: 归纳起来常见的角度有: 角度一:直观运用已知的 Sn,求 an; 角度二:客观运用 an=Sn-Sn-1(n≥2),求与 an,Sn 有关的结论; 角度三:an 与 Sn 的延伸应用.

角度一:直观运用已知的 Sn,求 an 方法:已知 Sn 求 an 的三个步骤(此时 Sn 为关于 n 的代数式): (1)先利用 a1=S1 求出 a1; (2)用 n-1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系,利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式; (3)对 n=1 时的结果进行检验,看是否符合 n≥2 时 an 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公
式合写;如果不符合,则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写. 同时,在部分题目中需要深刻理解“数列的前 n 项和”的实际意义,对“和的式子”有本质的认识,
这样才能更好的运用 Sn 求解.如:a1+2a2+3a3+…+nan=2n-1,其中 a1+2a2+3a3+…+nan 表示数列 {nan}的前 n 项和.

1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为( )

A.an=2n-3

B.an=2n+3

C.an=?????21n,-n3=,1n≥2

D.an=?????21n,+n3=,1n≥2

2.(2015·河北石家庄一中月考)数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1) ·3n+1+3(n∈N*),

则数列的通项公式 an=



3.(2015·天津一中月考)已知{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 log2(Sn+1)=n+1,则 an=



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4.(2015·四川成都树德期中)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a5=45,a2+a6=14. (1)求{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:b21+b222+…+b2nn=an+1(n∈N*),求{bn}的前 n 项和.

二:客观运用 an=Sn-Sn-1(n≥2),求与 an,Sn 有关的结论 此类题目中,已知条件往往是一个关于 an 与 Sn 的等式,问题则是求解与 an,Sn 有关联的结论.那么
我们需要通过对所求问题进行客观分析后,判定最后的结果中是保留 an,还是 Sn.那么,主要从两个方向 利用 an=Sn-Sn-1(n≥2):
方向一:若所求问题是与 an 相关的结论,那么用 Sn-Sn-1=an (n≥2)消去等式中所有 Sn 与 Sn-1,保留 项数 an,在进行整理求解;

1.(2015·广州潮州月考)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1 =2Sn+1(n≥1,n∈N*),则数列的

通项公式是



2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an+1=-4Sn+1,a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

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方向二:若所求问题是与 Sn 相关的结论,那么用 an=Sn-Sn-1(n≥2)消去等式中所有项数 an,保留 Sn 与 Sn-1,在进行整理求解.
1.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=12. (1)求证:???S1n???是等差数列; (2)求 an 的表达式.

2.(2015·江西名校联盟调考)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2n-2Snan+1=0.

(1)求数列{Sn}的通项公式;

(2)求证:S11+S12+…+S1n>2(Sn+1-1).(提示:

1> n

1 n+1+

) n

角度三:an 与 Sn 的延伸应用 解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前 n 项和”的实际意义,还需要对 an=?????SS1n, -nS= n-11,,n≥2 关系
式的形式结构很熟练的掌握,这样才能在题目中对已知等式灵活地变换. 当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析,确定等式的变换方向. 方向一:关于双重前 n 项和 此类题目中一般出现“数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn”的条件,在解答时需要
确定清楚求的是与 an,Sn,Tn 中谁相关的问题,确定已知等式的运用方向.但一般是求解最底层的 an.
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1.(2015·湖北武汉质检)设数列{an}的前 n 现和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn,满足 Tn=2Sn-n2,n ∈N*.
(1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式.
2.(2015·安徽滁州期末联考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn,且 2Tn=4Sn-(n2 +n),n∈N*.
(1)证明:数列{an+1}为等比数列; (2)设 bn=ann++11,证明:b1+b2+…+bn<3.
方向二:已知等式在整理过程中需要因式分解 此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列{an}”这样的条件,运用在因式分解后对因式进行 符号的判定,对因式进行的取舍. 1.(2015·山东青岛一模)各项均为正数的数列{an}满足 a2n=4Sn-2an-1(n∈N*),其中 Sn 为{an}的前 n 项和. (1)求 a1,a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式.
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2.已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且 Sn=an?an2+1?,n∈N*. (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)设 bn=21Sn,Tn=b1+b2+…+bn,求 Tn.
方向三:需对已知等式变形后,再求解 1.(2015·江西五校联考)已知正项数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,且 an=2 Sn-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an·1an+1,Tn = b1+b2+b3+…+bn,求 Tn.
2.(2015·浙江温州中学月考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,a2=8,Sn+1+4Sn-1=5Sn(n≥2), Tn 是数列{log2an}的前 n 项和.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)求 Tn.
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3.(2015·江西三县联考)已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+ an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,其中 n∈N*.
(1)若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N*,三个数 A(n),B(n),C(n)依次组成等差数列,求数列{an}的通 项公式;
(2) a1=1,对任意 n∈N*,三个数 A(n),B(n),C(n)依次组成公比为 q 的等比数列,求数列{an}的前 n 项和 An.

4.(2015·辽宁沈阳诊断考试)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=10,an+1=9Sn+10.

(1)求证:{lg an}是等差数列;

(2)设

Tn

是数列???(lg

3 an)(lg

an+1)???的前

n

项和,求

Tn;

(3)求使 Tn>14(m2-5m)对所有的 n∈N*恒成立的整数 m 的取值集合.

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星期一

1.(2015·江苏扬州外国语中学模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式





2.(2015·辽宁沈阳二中月考)已知数列{an}满足 a1+a22+…+ann=a2n-1,求数列{an}的通项公式.

星期二

3.(2015·安徽江淮十校联考)已知函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数 x,y 都

有 f(x·y)= f(x)+f(y),若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 f(Sn+2)-f(an)= f(3)(n∈N*),则 an 为( )

A.2n-1

B. n

C. 2n-1

D.

?3?n-1 ?2?

4.(2015·辽宁鞍山二中期中)设数列{an}是等差数列,数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=32(bn-1),且 a2=

=b1,a5=b2.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)设 cn=an·bn,Tn 为{cn}的前 n 项和,求 Tn.

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星期三

5.在数列{an}中,已知 a1=1,an=2(an-1+an-2+…+a2+a1) (n≥2,n∈N*),则数列的通项公式





6.(2015·广东桂城摸底)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an2+an=2Sn. (1)求 a1; (2) 求数列{an}的通项公式;

(3)若 bn=a12n(n∈N*),Tn=b1+b2+…+bn,求证:Tn<53.???提示:n12<2???2n1-1-2n1+1??????

星期四 7.(2015·大连双基测试)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n+1(n∈N*),则 an=________. 8.(2014·烟台一模)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,首项为 a1,且12,an,Sn 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足 bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求数列???b1n???的前 n 项和.

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星期五 9.(2014·山西四校联考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an-n,则 an=________. 10.(2014·湖南卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2 n,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前 2n 项和.
星期六 11.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,a3=4,{an}的前 3 项和为 7. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-3)2n+3,设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:S11+S12+…+S1n≤2-1n.
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12.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an=Snn+2 (n-1) (n∈N*). (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式; (2)是否存在自然数 n,使得 S1+S22+S33+…+Snn-(n-1)2=2 013?若存在,求出 n 的值;若不存在,
请说明理由.
1.已知 Sn 为正项数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn=12a2n+12an(n∈N*). (1)求 a1,a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式.
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2.在数列{an}中,a1=-5,a2=-2,记 A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3 +a4+…+an+2(n∈N*),若对于任意 n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前 n 项和.
3.(2014·广东卷)设各项均为正数的数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn 满足 S2n-(n2+n-3)Sn-3(n2 +n)=0,n∈N*.
(1)求 a1 的值; (2)求数列{an} 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有a1?a11+1?+a2?a12+1?+…+an?a1n+1?<13.
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