2017年高中数学人教A版必修2教案:2.1空间两点间的距离公式 Word版含解析


空间两点间的距离公式 【教学目标】 1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题. 2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平 面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力. 3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的 求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、 大胆探索的精神. 【重点难点】 教学重点:空间两点间的距离公式. 教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 【课时安排】 1 课时 【教学过程】 导入新课 我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即 d=|x1-x2|; 平面直角坐 标系中,两点之间的距离是 d= ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 .同学们想,在空间直角坐标系 中,两点之间的距离应怎样计算呢?又有什么样的公式呢?因此我们学习空间两点 间的距离公式. 推进新课 新知探究 提出问题 ①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么?它是如何推导的? ②设 A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少?应怎样计算? ③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算? ⑤平面直角坐标系中的方程 x2+y2=r2 表示什么图形?在空间中方程 x2+y2+z2=r2 表示 什么图形? ⑥试根据②③推导两点之间的距离公式. 活动: 学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困 难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.① 学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程;②解决这一问题,可以采取转化的 方法,转化成我们学习的立体几何知识来解;③首先考虑问题的实际意义,直接度量, 显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回 顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式;⑤学生回忆刚 刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知 识,进行推导. 讨论结果: ①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是 d= ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 , 它是利用直角三角形和勾股定理来推导的. 图1 ②如图 1,设 A(x,y,z)是空间任意一点,过 A 作 AB⊥xOy 平面,垂足为 B,过 B 分别作 BD⊥x 轴,BE⊥y 轴,垂足分别为 D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于 三角形 ABO、BOD 是直角三角形,所以 BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此 A 到原点的距离是 d= x 2 ? y 2 ? z 2 . ③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长 的平方等于三条边长的平方的和来算. ④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是 d= ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ,是同 名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是 d= ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 ,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤平面直角坐标系中的方程 x2+y2=r2 表示以原点为圆心,r 为半径

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