2017年高中数学人教A版必修2教案:2.1空间两点间的距离公式 Word版含解析

空间两点间的距离公式 【教学目标】 1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题. 2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平 面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力. 3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的 求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、 大胆探索的精神. 【重点难点】 教学重点:空间两点间的距离公式. 教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 【课时安排】 1 课时 【教学过程】 导入新课 我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即 d=|x1-x2|; 平面直角坐 标系中,两点之间的距离是 d= ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 .同学们想,在空间直角坐标系 中,两点之间的距离应怎样计算呢?又有什么样的公式呢?因此我们学习空间两点 间的距离公式. 推进新课 新知探究 提出问题 ①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么?它是如何推导的? ②设 A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少?应怎样计算? ③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算? ⑤平面直角坐标系中的方程 x2+y2=r2 表示什么图形?在空间中方程 x2+y2+z2=r2 表示 什么图形? ⑥试根据②③推导两点之间的距离公式. 活动: 学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困 难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.① 学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程;②解决这一问题,可以采取转化的 方法,转化成我们学习的立体几何知识来解;③首先考虑问题的实际意义,直接度量, 显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回 顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式;⑤学生回忆刚 刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知 识,进行推导. 讨论结果: ①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是 d= ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 , 它是利用直角三角形和勾股定理来推导的. 图1 ②如图 1,设 A(x,y,z)是空间任意一点,过 A 作 AB⊥xOy 平面,垂足为 B,过 B 分别作 BD⊥x 轴,BE⊥y 轴,垂足分别为 D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于 三角形 ABO、BOD 是直角三角形,所以 BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此 A 到原点的距离是 d= x 2 ? y 2 ? z 2 . ③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长 的平方等于三条边长的平方的和来算. ④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是 d= ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ,是同 名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是 d= ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 ,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤平面直角坐标系中的方程 x2+y2=r2 表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间 x2+y2+z2=r2 表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广. 图2 ⑥如图 2,设 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过 P1P2 作 xOy 平面的垂线,垂足是 M,N,则 M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求 出|MN|= ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 . 再过点 P1 作 P1H⊥P2N,垂足为 H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在 Rt△ P1HP2 中,|P1H|=|MN|= ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ,根据勾股定理,得 |P1P2|= | P1 H | 2 ? | HP2 | 2 = ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 .因此空间中点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 . 于是空间两点之间的距离公式是 d= ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 .它是同名坐 标的差的平方的和的算术平方根. 应用示例 例 1 已知 A(3,3,1),B(1,0,5),求: (1)线段 AB 的中点坐标和长度; (2)到 A,B 两点的距离相等的点 P(x,y,z)的坐标满足的条件. 活动: 学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点 A、 B 都是空间直角坐标系 中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算 的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误. 解:(1)设 M(x,y,z)是线段 AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x= 3 ?1 5 ?1 3 3?0 3 =2,y= = ,z= =3.所以 AB 的中点坐标为(2, ,3). 2 2 2 2 2 根据两点间距离公式,得 d(A,B)= (1 ? 3) 2 ? (0 ? 3) 2 ? (5 ? 1) 2 ? 29 , 所以 AB 的长度为 29 . (2)因为点 P(x

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