高考文科数学二轮复习课件:专题1第2讲《不等式及线性规划》_图文

? 第2讲 不等式及线性规划
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?高考定位 本部分内容高考主要考查以下几方 面:(1)考查利用基本不等式求最值、证明不等 式等,利用基本不等式解决实际问题.(2)考查 以线性目标函数的最值为重点,目标函数的求 解常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、 距离、面积等)来求解.(3)一元二次不等式经常 与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参 数的取值范围,以考查一元二次不等式的解法 为主,并兼顾二次方程的判别式、根的存在 等.
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热点一 利用基本不等式求最值

[微题型 1] 基本不等式的简单应用

【例 1-1】 若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是(

A.[0,2]

B.[-2,0]

C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]

解析 ∵2x+2y≥2 2x·2y=2 2x+y,

∴2 2x+y≤1,即 2x+y≤14=2-2.

所以 x+y≤-2,故选 D.

).
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答案 D 探究提高 在使用基本不等式求最值时一定要检验等号能否取 到,有时也需进行常值代换.
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[微题型 2] 带有约束条件的基本不等式问题 【例 1-2】 若 x,y∈R+,且 2x+y=3,则1x+1y的最小值为 ________. 解析 ∵2x+y=3,∴13(2x+y)=1. ∴1x+1y=???1x+1y???·13???2x+y??? =13???3+yx+2yx???≥13(3+2 2). 当且仅当 x=3-322,y=3 2-3 时等号成立.
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答案

3+2 2 3

规律方法 利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值

时,注意观察其是否具有“和为定值”“积为定值”的结构特

点.在具体题目中,一般很少直接考查基本不等式的应用,而

是需要将式子进行变形,寻求其中的内在关系,然后利用基本

不等式得出最值.

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【训练 1-1】 (2014·上海十三校联考)若实数 x,y 满足|xy|=1, 则 x2+4y2 的最小值为________.
解析 x2+4y2≥2 4x2y2=4|xy|=4. 答案 4
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【训练 1-2】 (2014·金华十校联考)若正实数 x,y 满足 x+y+1

=xy,则 x+2y 的最小值是( ).

A.3

B.5

C.7

解析 由 x+y+1=xy,得 y=xx+ -11,

D.8

又 y>0,x>0,∴x>1.

∴x+2y=x+2×xx+ -11=x+2×????1+x-2 1????

=x+2+x-4 1=3+(x-1)+x-4 1≥3+4=7,

当且仅当 x=3 时取“=”. 答案 C
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热点二 含参不等式恒成立问题 [微题型 1] 运用分离变量解决恒成立问题 【例 2-1】 关于 x 的不等式 x+4x-1-a2+2a>0 对 x∈(0, +∞)恒成立,则实数 a 的取值范围为________. 解析 设 f(x)=x+4x,因为 x>0,所以 f(x)=x+4x≥2 x·4x= 4.又关于 x 的不等式 x+4x-1-a2+2a>0 对 x∈(0,+∞)恒成 立,所以 a2-2a+1<4,解得-1<a<3,所以实数 a 的取值 范围为(-1,3).
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答案 (-1,3) 规律方法 求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关:第 一关是转化关,即通过分离参数,先转化为 f(a)≥g(x)(或 f(a)≤g(x)) 对 ? x ∈ D 恒 成 立 , 再 转 化 为 f(a)≥g(x)max( 或 f(a)≤g(x)min);第二关是求最值关,即求函数 g(x)在区间 D 上 的最大值(或最小值)问题.
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[微题型 2] 构造函数(主辅元转换)解决恒成立问题 【例 2-2】 已知 f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于 f(t)值域内的 所有实数 m,不等式 x2+mx+4>2m+4x 恒成立,求 x 的取值 范围. 解 易知 f(t)∈???12,3???.由题意,令 g(m)=(x-2)m+x2-4x+4 =(x-2)m+(x-2)2>0 对?m∈???12,3???恒成立. 所以只需???g???12???>0, 即可,
??g?3?>0
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即???12?x-2?+?x-2?2>0, ?x>2 或 x<-1. ??3?x-2?+?x-2?2>0
故 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞). 探究提高 主、辅元互换可以实现对问题的有效转化,由繁到 简,应用这种方法的过程中关键还是把握恒成立的本质,巧用 转化思想,灵活处理,从而顺利解决问题.
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【训练 2-1】 (2014·南昌模拟)对一切实数 x,若不等式 x2+ a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析 当 x=0 时,1≥0 恒成立,此时 a∈R. 当 x≠0 时,a≥-x|x2-| 1=-???|x|+|1x|???. 又|x|+|1x|≥2, ∴-???|x|+|1x|???≤-2, ∴a≥-2. 答案 [-2,+∞)
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【训练 2-2】 若不等式 x2-ax+1≥0 对于一切 a∈[-2,2]恒 成立,则 x 的取值范围是________. 解析 因为 a∈[-2,2],可把原式看作关于 a 的函数, 即 g(a)=-xa+x2+1≥0, 由题意可知?????gg??- 2?=2?= x2-x2+2x+2x+ 1≥1≥ 0,0, 解之得 x∈R. 答案 R
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热点三 线性规划问题

【 例 3 】 (2014·新 课 标 全 国 卷 Ⅱ ) 设 x , y 满 足 约 束 条 件

???xx+-y3-y+7≤1≤0,0, 则 z=2x-y 的最大值为(

).

??3x-y-5≥0,

A.10 B.8 C.3 D.2

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解析 画出可行域如图所示.
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由 z=2x-y,得 y=2x-z,欲求 z 的最大值,可将直线 y=2x 向下平移,当经过区域内的点,且满足在 y 轴上的截距-z 最 小时,即得 z 的最大值,如图,可知当过点 A 时 z 最大, 由?????xx+ -y3-y+7= 1=0, 0, 得?????yx==25,, 即 A(5,2),则 zmax=2×5-2= 8. 答案 B
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规律方法 线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合 的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画 目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率 进行比较,避免出错,比如上题中目标函数所对应直线的斜率 -ab<0;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行 域的端点或边界上取得.
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??x+y-2≤0, 【训练 3】(2014·安徽卷)x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, 若
??2x-y+2≥0.

z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为

( ).

A.12或-1

B.2 或12

C.2 或 1

D.2 或-1

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解析 如图,由 y=ax+z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截 距,故当 a>0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一, 则 a=2;当 a<0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯 一,则 a=-1.
答案 D
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? 1.利用基本不等式求最大值、最小值时应注 意:一正、二定、三相等,即:
? (1)函数中的相关项必须是正数; ? (2)求积xy的最大值时,要看和x+y是否为
定值,求和x+y的最小值时,要看积xy是否 为定值,求解时,常用到“拆项”“凑项” 等解题技巧; ? (3)当且仅当各项相等时,才能取等号.以 上三点应特别注意,缺一不可.
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? 2.不等式恒成立问题常考的两种题型:一是 已知不等式恒成立,求字母参数的取值范围, 一般利用分离参数转化为求新函数的最值问 题,如果不能分离参数或者分离参数比较复 杂时,一般选择函数的方法,通常利用函数 的最值解决;二是证明不等式恒成立,在函 数中一般选择以算代证,即通过求函数的最 值证明不等式.
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? 3.不等式实际应用问题中的易错点: ? (1)忽视变量的取值要求,生搬硬套基本不
等式,特别是变量取值为正整数(如人数、楼 层数作为变量)时,不检验等号成立的条件; ? (2)忽视变量的单位换算导致代数式求解出 错; ? (3)漏掉实际问题中的一些定量导致最值求 错.
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区域

区域

不等式

B>0

B<0

直线 Ax+By+C=0 上 直线 Ax+By+C=0 下

Ax+By+C>0





直线 Ax+By+C=0 下 直线 Ax+By+C=0 上

Ax+By+C<0





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?主要看不等号与B的符号是否相向,若同向则 在直线上方,若异向则在直线下方,简记为 “同上异下”,这叫B的值判断法. ?解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意 目标函数表示的几何意义,数形结合找到目标 函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点), 但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解 决.
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