人教B版高中数学课件-选修1-2：第三章-数系的扩充与复数的引入-1.2《复数的几何意义》

3.1 数系的扩充与复数 的概念
3.1.2 复数的几何意义

本节主要学习复数的几何意义。以在几何上，我们用什

么来表示实数引入新课。教学过程以学生探究为主，利用一
个复数是由什么来确定，引导学生来理解（1）复数的第一个 几何意义：复数与复平面内的点一一对应；（2）复数的第二

个内何意义：复数与向量一一对应。使学生能够灵活应用所
学知识，加深对复数几何意义的理解。 教学过程例题与变式结合，通过例1和变式1和2巩固掌

握复数与复平面内的点一一对应，解决了有关复数与点之间
的相关问题。通过例2和变式巩固掌握复数的模、以及复数所 对应的点所表示的几何图形的问题等。从而加深了对复数两 个几何意义的理解。

在几何上，我们用 什么来表示实数?

实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应

实数

数轴上的点

(数 )

(形 )
类比实数的表示， 可以用什么来表示 复数？

想 一 想 ？

回 忆

复数的一
般形式？

Z=a+bi(a, b∈R)
a为实部!
b为虚部!
一个复数由

…

什么唯一确
定？

复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)

（数） y

（形）
建立了平面直角坐标系来表示 复数的平面 ------复数平面 (简称复平面)

z=a+bi Z(a,b)
a b

o

x

x轴------实轴 y轴------虚轴

例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点
位于第二象限，求实数m允许的取值范围。

? m 2 ? m ? 6 ? 0， ? ?3 ? m ? 2， 解：由 ? 2 得? ?m ? m ? 2 ? 0， ?m ? ?2 或 m ? 1，

? m ? (?3, ?2) ? (1, 2).
温 馨 提 示

表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 足的不等式组的问题 在象限的问题

(几何问题)

(代数问题)

一种重要的数学思想：数形结合思想

变式训练1：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值.

解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内

所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，

∴m=1或m=-2.

变式训练2：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，证明：对一切 m，此复数所对应的点不可能位于第四象限.

证明：若复数所对应的点位于第四象限，
?m 2 ? m ? 6 ? 0， ?m ? ?3或m ? 2， 则? 2 即? ?m ? m ? 2 ? 0， ? ?2 ? m ? 1.
所以不等式解集为空集，
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.

复数的几何意义（二）
复数z=a+bi
一一对应 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应

??? ? 平面向量 OZ
y

z=a+bi Z(a,b)
a b

o

x

复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义:

??? ? ??? ? 对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复
平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
y z =a +b i Z (a,b)
O

x

??? ? | z | = | OZ | ? a2 ? b2

例2 求下列复数的模： (1)z1=-5i； (2)z2=-3+4i ； (3)z3=5-5i； (4)z4=1+mi(m∈R) ； (5)z5=4a-3ai(a<0).
解：（1） Z1 ? 02 ? 52 ? 5.

2 （2） Z 2 ? （-3） ? 42 ? 5.

2 （3） Z 3 ? 52 ? （-5） ? 5 2.

（4） Z4 ?

12 ? m 2 .

（5）Z5 ? (4a)2 ? (?3a)2 ? ?5a.

变式训练：
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 解：（1）满足|z|=5(z∈R)的 z值有两个，为-5和5.

5

y

（2）设z=x+yi(x,y∈R)，则
| z |? x
2

? y

2

? 5.

–5 O

5 x

所以满足|z|=5(z∈C)对应的点在 复平面构成了以原点为圆心， 以5为半径的圆.

–5

复数的几何意义
复数z=a+bi

平面向量 OZ

??? ?
一一对应

直角坐标系中 的点Z(a,b)

比 一 比 ？

?? ? oz
复数还有哪些特征
能和平面向量类比?