届高考-之立体几何大题强化训练(文科)

专题复习——立体几何(文)答案
一.经典例题: 例 1:一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M 、 G 分别是 AB 、 DF 的中点. (1) 求证:CM ? 平面 FDM ; (2)在线段 AD 上(含 A 、 D 端点)确定一点 P ,使得 GP// 平面 FMC,并给出证明;

a 2a
正视图
a 2a
俯视图

a a
左视图

F

G D

A

M

E
C B

解:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥DF,DF=AD=DC/2

(Ⅰ) FD ? 平面ABCD,CM ? 平面ABCD,?FD ? CM , ………………………2 分

在矩形ABCD中,CD = 2a, AD = a,M为AB中点,DM = CM = 2a,?CM ? DM , --4 分

FD ? 平面FDM , DM ? 平面FDM,?CM ? 平面FDM …………………………6 分

(Ⅱ)点 P 在 A 点处.

………………………………………7 分

证明:取 DC 中点 S,连接 AS、GS、GA

∵G 是 DF 的中点,GS//FC,AS//CM………………………………………10 分 ∴面 GSA//面 FMC,而 GA ? 面 GSA,∴GP//平面 FMC ……………………12 分

例 2:(2009 江苏卷)(本小题满分 14 分)
如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 、 F 分别是 A1B 、 A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上,

A1D ? B1C 。 求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD ? 平面 BB1C1C .

【解析】 本小题主要考查直线与平面、 平面与平面得位置关系,考查空间想象能力 、推理论证能力。满分 14 分。

例 3:(2009 深圳一模)图,AB 为圆 O 的直径,点 E 、F 在圆 O 上,AB// EF ,矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2, AD ? EF ?1.
(Ⅰ)求证: AF ?平面 CBF ;

(Ⅱ)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ;

(Ⅲ) 设平面 CBF 将几何体 EFABCD分成的两个锥体的体积分别为VF?ABCD ,VF?CBE ,
C
求VF ?ABCD : VF ?CBE .

(Ⅰ)证明: ?平面 ABCD ?平面 ABEF, CB ? AB, 平面 ABCD?平面 ABEF= AB , ?CB ? 平面 ABEF, ? AF ? 平面 ABEF,? AF ? CB ,……… 2 分 又? AB为圆 O 的直径,? AF ? BF ,

D

BM

E

O

A

F

…………………… 4 分

? AF ? 平面 CBF 。

…………………… 5 分

(Ⅱ)设 DF 的中点为 N ,则 MN // 1 CD ,又 AO // 1 CD ,

2

2

则 MN // AO , MNAO为平行四边形,

…………………… 8 分

?OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF ,

?OM // 平面 DAF 。

…………………… 10 分

(Ⅲ)过点 F 作 FG ? AB于 G ,?平面 ABCD ?平面 ABEF,

?FG ? 平面

ABCD,?VF ? ABCD

?

1 3

S ABCD

? FG

?

2 3

FG ,

…………………… 12 分

?CB ? 平面 ABEF,

?VF ?CBE

? VC?BFE

?

1 3

S?BFE

? CB

?

1?1 32

EF ? FG ? CB

?

1 6

FG ,…………………

13 分

?VF?ABCD : VF ?CBE ? 4 :1.

14 分

二.巩固练习: 1.80cm2. 2.答案 A. 3.正确的命题有②和③,选 C 4.一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E 为 PD 中点.
科网
(I)求证:PB//平面 AEC;(II)求四棱锥 C ? PAB 的体积;(Ⅲ)若 F 为侧棱 PA 上一点, 且 PF ? ? ,则 ? 为何值时, PA ? 平面 BDF. FA
P

E
D C
A
B

解:(1)由三视图得,四棱锥底面 ABCD 为菱形,
棱锥的高为 3,设 AC ? BD ? O ,则 PO 即是棱锥
的高,底面边长是 2,连接 OE , E,O 分别

是 DP, DB 的中点,?OE ∥ BP ,

OE ? 面AEC, BP ? 面AEC ?PB ∥ 面AEC

(2)

V三棱锥C-PAB

? V三棱锥P-ABC

?

1 2

V四棱锥P-ABCD

?

1 2

?

? ??

1 3

?

(

1 2

?

2

?

2

3)? 3??? ?

3

(3)过 O 作 OF ? PA,在Rt POA中, PO ? 3, AO ? 3, PA ? 2 3 ? AF ? 3 ----10 分 2

?

PF PO

: FA ? 3时即?=3时,OF ? BD, AC ? BD, PO ?

? PA, AC ? O

?

BD

?

面PAC

---------------12



?BD ? PA,由OF ? PA且BD ?OF ? O?PA ? 面BDF ---------------14 分

5.如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视

图.在直观图中,M 是 BD 的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关

数据如图所示.

D

(1)求出该几何体的体积;

(2)求证:EM∥平面 ABC;

M

E

4

(3)试问在棱 DC 上是否存在点 N,使 NM⊥平

2

面 BDE ? 若存在,确定点 N 的位置;若

C

不存在,请说明理由. (1)∵EA⊥平面 ABC,∴EA⊥AB, 又 AB⊥AC,

A

B

直观图

∴AB⊥平面 ACDE ,

2分

2

∴四棱锥 B-ACDE 的高 h=AB=2,梯形 ACDE 的面积 S= 6

∴VB? ACDE

? 1?S?h ? 4, 3

即所求几何体的体积为 4…4分

2 俯视图

(2)证明:∵M 为 DB 的中点,取 BC 中点 G,连接 EM,MG,AG,

∴ MG∥DC,且 MG ? 1 DC

2

∴ MG ∥ = AE,∴四边形 AGME 为平行四边形,

6分

∴EM∥AG, 又 AG ? 平面 ABC ∴EM∥平面 ABC.……8 分

(3)由(2)知,EM∥AG,

又∵平面 BCD⊥底面 ABC,AG⊥BC,∴AG⊥平面 BCD

∴EM⊥平面 BCD,又∵EM ? 平面 BDE,

∴平面 BDE⊥平面 BCD

10 分

侧视图

18题图
D

E
C
A

M
N G
B

在平面 BCD 中,过 M 作 MN⊥DB 交 DC 于点 N,

∴MN⊥平面 BDE 点 N 即为所求的点

11 分

∵ ?DMN ∽ ?DCB ? DN ? DM 即 DN ? 6 ? DN ? 3

DB DC

26 4

? DN ? 3 DC 4

13 分

∴ 边 DC 上存在点 N,满足 DN= 3 DC 时,有 NM⊥平面 BDE.

4

14 分

6.(2009 福建卷文)(本小题满分 12 分)如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60? , AB ? 2, AD ? 4 将 ?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ?平面 ABD
(I)求证: AB ? DE (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABD 的侧面积。

(I)证明:在 ?ABD 中, AB ? 2, AD ? 4, ?DAB ? 60?

? BD ? AB2 ? AD2 ? 2AB ? 2AD cos ?DAB ? 2 3 ? AB2 ? BD2 ? AD2,? AB ? DE
又 平面 EBD ?平面 ABD 平面 EBD 平面 ABD ? BD, AB ? 平面 ABD
?AB ? 平面 EBD DF ? 平面 EBD,? AB ? DE

(Ⅱ)解:由(I)知 AB ? BD,CD // AB,?CD ? BD,从而 DE ? D

在 Rt?DBE 中, DB ? 2 3, DE ? DC ? AB ? 2

? S?ABE

?

1 2

DB ? DE

?

2

3

又 AB ? 平面 EBD, BE ? 平面 EBD,? AB ? BE

BE

?

BC

?

AD

?

4,? S?ABE

?

1 2

AB ? BE

?

4

DE ? BD, 平面 EBD ?平面 ABD?ED ? ,平面 ABD



AD ? 平面

ABD,? ED

?

AD,? S?ADE

?

1 2

AD ? DE

?

4

综上,三棱锥 E ? ABD 的侧面积, S ? 8 ? 2 3


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