高中数学课件等差数列求和(第一课时)_图文

高一数学第一册 计算: 1+2+3+4+5+6+……+98+99+100=? 问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃 所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而 成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界 七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案 之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同 大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见 左图),奢靡之程度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗? 数学巨人高斯的求法: 1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100 ? 101 ? 50 ? 5050 思考: 23+ 24+ ……+65=? 如何求等差数列{an}的前n项和 ? Sn=a1+a2+…….+an-1+an (如果m ? n ? p ? q, 那么am ? an ? ap ? aq .) 1 99 98 100 2 3 s100 s100 s100 1 2S100 ? (1 ? 100) ?100 (1 ? 100 ) ?100 ? ? 5050 2 100 求等差数列{an}的前项和sn 推导方法二 : Sn=a1+(a1+d)+ (a1+2d) +…….+ [a1+(n-1) d] Sn =an+(an- d)+ (an-2d) +…… +[ an-(n-1) d ] 两式相加得: 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+……+ (a1+an)+ (a1+an) =n (a1+an) n( a1 ? an ) ? Sn ? 2 23+ 24+ ……+65=? S 43 43 ? ( 23 ? 65) ? 2 =1892 公式记忆方法: a1 n(a1 ? an ) 公式1 S n ? 2 n an n( n ? 1) . 1)前n个正整数的和:1+2+3+…+n= 2 ; 2)求正整数列中前n个偶数的和 2+4+6+…+2n= 解: S n ? 。 n ? ( 2 ? 2n) ? n(n ? 1). 2 以下等式中不是等差数列的 前n项和公式是( D n( a1 ? an ) A) S n ? 2 dn2 d C )Sn ? ? (a1 ? )n 2 2 ) n( n ? 1) B ) S n ? na1 ? d 2 D)Sn ? a1 ? (n ?1)d 例1 等差数列-10,-6,-2,2,... 前多少项的和是54? 解:将题中的等差数列记为{a },s 代表该数列 n n 的前n项和,则有a1=-10, d=-6-(-10)=4 设该数列前n 项和为54 根据等差数列前n项和公式:sn ? na1 ? n(n ? 1) 有 ? 10 n ? ? 4 ? 54成立 22 整理后 , 得n ? 6n ? 27 ? 0 解得 n1=9, n2=-3(舍去) 故此等差数列的前9项和为54。 n(n ? 1) d 2 课堂练习 等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为n,第n 项为an,前n项和为Sn,请填写下表: a1 5 20 d 10 -2 2 n 10 8 15 an 95 6 sn 500 104 -360 -38 -10 例2、在等差数列{an}中, 已知 a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36 求S16 (如果m ? n ? p ? q, 那么am ? an ? ap ? aq .) 思考:已知 a6=20 ,你能求出S11吗? 例3 甲、乙两人自相距27km处相向出发, 甲匀速行进,每小时走4km,乙每小时 走2km ,以后每小时比上一小时多0.5km, 问几小时后,甲、乙两人相遇? 小结 1.公式的推导方法:倒序相加法求和。 2.等差数列求和公式的特征。 n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2 3.公式的灵活应用。 请各位同行指导!

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