高等数学 第一章 函数与极限 习题课_图文

第一章 习题课
复习提纲 :
一. 函数定义, 反函数, 复合函数, 初等函数, 初等函数的结构, 双曲函数与反双曲函数 .
二. 极限定义 : ( 4 × 6 = 24 种"极限" ) 典型 : 1. lim xn = a
?ε > 0 , ? N (正整数 ), 当 n > N 时, xn ? a < ε 成立 . 2 . lim f ( x ) = A
x → x0
n →∞

?ε > 0 , ?δ > 0 , 当 0 < x ? x0 < δ 时 ,

f ( x ) ? A < ε 成立 .
无穷小 , 无穷大 , 无穷小的比较 .
1

性质 :
1. 极限如果存在 , 必唯一 .

2 . (1) 数列极限存在 , 必有界 .
( 2) 函数极限存在 , 局部有界 .

xn ≤ M (一切n)

f ( x) ≤ M

3. lim f ( x ) = A > 0 ? f ( x ) > 0
x → x0

? ( x ∈U( x0,δ ) ) ( 当x∈U( x0,δ )时) ?
x → x0

( 当x∈U( x0,δ )时) ?
x → x0

f ( x ) ≥ 0 ? lim f ( x ) ≥ 0
如果存在

4. lim f ( x ) > lim g ( x ) ? f ( x ) > g ( x )
x → x0

( 当x∈U( x0,δ )时) ?
x → x0

( 当x∈U( x0,δ )时) ?

f ( x ) ≥ g ( x ) ? lim f ( x ) ≥ lim g ( x )
x → x0

其它类似的结论??

("<",

x →∞时)

2

5 . lim f ( x ) = A ?? f ( x ) = A + α
n→∞

( α = f ( x) ? A为无穷小)

6 . (1) lim xn = a , 则 { xn } 的任一子列也以 a 为极限 .

( 2) lim f ( x ) = A , 则 lim f ( xn ) = A ,
x → x0 n →∞

其中{ xn} 为趋于 x0 的任一数列.

(3) lim f ( x ) = A ?? lim f ( x ) = lim f ( x ) = A
x → x0
+ x → x0 ? x → x0

x →∞

lim f ( x ) = A ?? lim f ( x ) = lim f ( x ) = A
x → +∞ x → ?∞

(1) , (2) 常用来证明极限不存在,
(3) 常用来求分段函数分段 点的极限.
3

三 . 函数连续 : 1 . f ( x ) 在 x0 点连续

(1) lim f ( x ) = f ( x0 ) 或 lim f ( x + ?x ) = f ( x )
( 2) ?ε > 0 , ? δ > 0 , 当 x ? x0 < δ 时 , f ( x ) ? f ( x0 ) < ε 成立 .
x → x0 ?x → 0

(3) lim ? y = 0
?x → 0

?x = x ? x0 , ? y = f ( x) ? f ( x0 )

2 . f ( x ) 在区间 I x 上连续 .
3 . 左连续 , 右连续 . (1) 最大值 , 最小值 . (3) 零点 , 介值定理 .

4 . 间断点的类型 .

5 . 闭区间上连续函数的性 质 .

( 2) 有界 .
4

四 . 重要结论 : 1. 极限 , 连续函数可以进行加减 乘除(分母 ≠ 0)运算 .

2 . lim f [? ( x )] ===== f
x → x0

f 连续

[ lim ? ( x ) ]
x → x0

当 f 连续时 , f 与 lim 可交换 .
x→ x→x0

lim f [?( x)] === === f [?( x0 )] =

f ,? 连 续

连续函数复合后仍连续.

3 . 无穷小与有界函数的乘 积仍为无穷小 .
4 . 夹逼准则 , 单调有界数列有极限 . lim sin x = 1 5 . 两个重要极限 : x x →0 1 x lim 1 + 1 = e 或 lim (1 + x ) x = e x x →∞ x →0

(

)

5

五 . 极限的计算 :

1. f ( x ) 在 x0 点连续 , 则 lim f ( x ) = f ( x0 ) .

初等函数在其定义域上 连续. (初等函数能代则代. )
2 . 极限的常见未定式 :
最常见

x → x0

0 , 0

∞ , ∞

0?∞ ,
+∞

( 1 + 0 )∞ ,

00 ,

∞±∞.

注意 : c

?∞ | c |> 1 =? ?0 | c |< 1

c ?∞ = ?

3 . 等价无穷小在乘除法中 可以相互代换 :
当 x → 0时:

x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x ) ~ e x ? 1 ;

x ~ x 2 ; ( 1 + x )α ? 1 ~ α x , 1 ? cos x = 2 sin 2 2
2

1 + x ?1 ~ x . 2

4 . 关于 ( 1 ± 0 )∞ 的经验公式 :
lim (1 + f ( x )) g ( x ) = e c

lim f ( x ) = 0
* lim ( 1 + f ( x ))
g( x )

c = lim [ f ( x ) g ( x )]

= lim ?( 1 + f ( x )) ? ?

f ( x ) g( x ) 1 f ( x )?

f ( x) ≠ 0 ?

? ?

"幂 函 "取 限 指 数 极

= ?lim ( 1 + f ( x )) ? ? =ec

lim f ( x ) g ( x ) 1 f ( x )?

? ?

7

x ?3 例 1 . 证明 lim =0 x →3 x
证 . ?ε > 0 ,

先设 x ? 3 <1, 则2 < x < 4 ,
?ε > 0 , ?δ > 0 , 当 0 < x ? x0 < δ 时 , f ( x ) ? a < ε 成立 .

x ?3 x ?3 < x ?3 , ?0 = x | x|
取 δ = min{ ε , 1} , ε
则当 0 < x ? 3 < δ 时 ,

x ?3 ? 0 < x ? 3 < ε 成立 . x
8

例 2 . 证明数列 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , ??
的极限存在 , 并求此数列的极限 . 证 . 显然数列各项大于零 . 用归纳法证明 : xn < xn +1 < 2 . xn+1 = 2 + xn

1 x1 < x2 < 2 显然成立 ,

2 设 xk < xk +1 < 2 成立 , 欲证 xk +1 < xk +2 < 2 成立.
由 xk < xk +1 < 2 ? 2 + xk < 2 + xk +1 < 4

? 2 + xk < 2 + xk +1 < 2 ,

即 xk +1 < xk + 2 < 2 .

数列单调上升有上界, 界 , 数列一定有极限 . 所以数列单调上升有上一定有极限. 设 lim xn = A , ∵ xn +1 = 2 + xn ,
n→∞

∴ lim xn +1 = lim
n→∞

n →∞

2 + xn ,

A= 2+ A , ? A= 2.
9

因此 lim xn = 2 .
n→∞

例 3 . 设 x n = 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n?1 , 求 lim x n . 2 4 6 2n n →∞
2 解 . xn = 1 ? 1 ? 3 ? 3 ? 5 ? 5 ?? ? 2n ?1 ? 2n?1 2 2 4 4 6 6 2n 2n

< 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ?? ? 2n ?1 ? 2n = 1 2 3 4 5 6 7 2n 2n+1 2n +1
? 0 < xn < 1 2n + 1



n →∞

lim xn = 0 .

? 1 →0 ? ?∵ ? 2n +1 ? ?
10

例4 当 x < 1时,
n→∞

求 lim ( 1+ x) 1+ x

(

2

)(

? 1+ x2n ? . 1+ x ?? ? ? ?
4
2

)



? 1 + x 2n ? (1 ? x ) (1 + x ) 1 + x 1 + x ? ? ? ? ? 原式 = lim n →∞ 1? x
4

(

)( )

)

= lim

(1 ? x )(
2

n →∞

? 1 + x 2n ? 1+ x 1+ x ?? ? ? ? 1? x
2 4

)(

? 1 ? x 2n ? ? 1 + x 2n ? 2 n +1 ? ?? ? 1 ? ?? ? = lim 1 ? x = lim = . n →∞ 1 ? x n →∞ 1? x 1? x
11

1

?1+ tan x ? x3 例5 求lim? ? . x→0? 1+ sin x ?
1

"(1+0)∞ "
1

解.

? 1 + tan x ? x 3 ? tan x ? sin x ? x 3 lim ? ? ? = lim ?1 + x → 0? 1 + sin x ? x → 0? 1 + sin x ?

用 验 式 (1+ 0)∞ = ec 经 公

tan x ? sin x 1 sin x (1 ? cos x ) 1 c = lim ? 3 = lim ? 3 x →0 (1 + sin x ) cos x x x →0 1 + sin x x
sin x 1 ? cos x 1 = lim ? = 1 2 x →0 x x 2 (1 + sin x ) cos x
1



? 1 + tan x ? x 3 lim ? ? =e x → 0? 1 + sin x ?

1 2

.

x2 sin x ~ x, 1? cos x ~ 2
12

p( x) ? x3 p( x) 例6 设 p( x) 是多项式, 且 lim = 2 , lim =1 , 2 x→∞ x→0 x x

求 p(x) .
p( x) ? x3 解 由于 lim =2, 2 x→∞ x

可 p( x) = x3 + 2x2 + a x + b ( 其 a , b 为 定 数 ) 设 中 待 系
p( x) 由于 lim = lim x2 + 2x + a + b =1, x x→0 x x→0
∴ b = 0 , a =1.

(

)

因 p( x) = x3 + 2x2 + x . 此
13

? x ?1 , x >1 ? 例7 讨论函数 f ( x) = ? 的连续性. πx ? cos 2 , x ≤1 ?
? 1? x , ? πx 解 f ( x ) = ? cos , 2 ? ? x ?1 , x < ?1 ?1 ≤ x ≤ 1 x >1

)[ ?1

]( +1

显然 f ( x ) 在 ( ? ∞ , ? 1) , ( ? 1 , 1) , (1 , + ∞ ) 内连续 .

当 x = ?1 时 ,

x → ?1+

lim f ( x ) = f ( ?1) = cos
x → ?1?

π ?( ?1)
2

=0,

x → ?1?

lim f ( x ) = lim (1 ? x ) = 2 ,



f ( x ) 在 x = ?1 点间断 .

( 第一类间断点 )

14

当 x = +1 时 ,
x → 1? 0

)[ ?1

]( +1

lim f ( x ) = f (1) = cos
x → 1+ 0

π ?( +1)
2

=0,

x → 1+ 0

lim f ( x ) = lim ( x ? 1) = 0 ,
x → 1? 0



lim f ( x ) = f (1) = lim f ( x ) ,
x → 1+ 0

f ( x ) 在 x = 1 连续 .
因此 f ( x ) 在 ( ? ∞ , ? 1) ∪ ( ? 1 , + ∞ ) 连续 , 在 x = ?1 间断 , x = ?1 为第一类间断点 .
15

例8 设 f ( x) 在闭区间[ 0 , 1] 上连续, 且 f ( 0) = f (1) ,
? 证明 必有一点ξ ∈[ 0 , 1] 使得 f ?ξ + 1 ? = f (ξ ) . ? 2? ? ? 证. 令 F ( x ) = f ? x + 1 ? ? f ( x ) , 则 F ( x ) 在 ? 0 , 1 ? 上连续 . ? 2? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? F (0) = f ? 1 ? ? f (0) = f ? 1 ? ? f (1) ?2? ?2? ? ? ? ? F ? 1 ? = f ( 1 ) ? f ? 1 ? = ? F (0) 欲证 F (ξ ) = 0 ?2? ?2?
若 F (0) = 0 , 取 ξ = 0 即可 .
? ? 若 F (0) ≠ 0 , 则 F (0) 与 F ? 1 ? 异号 , ?2? ? 则在 ? 0 , 1 ? 内至少有一点 ξ 使 F (ξ ) = 0 . ? 2? ?

#

16

总习题一

P 73 ?

1. 在 "充分" , "必要" 和 "充分必要" 三者中选择一个正确 的填入下列空格内 :

必要 (1 ) 数列 { xn } 有界是数列 { xn } 收敛的 ___________ 条件 .
充分 数列 { xn } 收敛是数列 { xn } 有界的 ___________ 条件 .
( 2 ) f ( x ) 在 x0 的某一去心邻域内有界是 lim f ( x ) 存在的

必要 ___________ 条件 . lim f ( x ) 存在是 f ( x ) 在 x0 的某一
去心的邻域内有界的 ___________ 条件 . 充分
( 3 ) f ( x ) 在 x0 的某一去心邻域内无界是 lim f ( x ) = ∞ 的
x → x0

x → x0

必要 ___________ 条件 . lim f ( x ) = ∞ 是 f ( x ) 在 x0 的某一
x → x0

x → x0

去心邻域内无界的 __________ 条件 . 充分

17

( 4 ) f ( x ) 当 x → x0 时的右极限
x → x0

+ f ( x0 ) 及左极限

? f ( x0 ) 都

存在且相等是 lim f ( x ) 存在的 ___________ 条件 . 充分必要

2 . 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论 :
设 f ( x ) = 2 + 3 ? 2 , 则当 x → x0 时 , 有 ( B ) .
x x

( A) f ( x ) 与 x 是等价无穷小 . ( B ) f ( x ) 与 x 同阶但非等价无穷小 .
(C ) f ( x ) 是比 x 高阶的无穷小 . ( D ) f ( x ) 是比 x 低阶的无穷小 .
0 0

f ( x) 2 +3 ?2 2 ln 2 + 3 ln3 lim ==== lim = lim x→0 x x→0 x→0 x 1

x

x

x

x

= ln 2 + ln3

或用 a ?1 ~ x lna

x

18

3 . 设 f ( x ) 的定义域是 [ 0 , 1] , 求下列函数的定义域 :
(1) f (e ) ;
( 3 ) f (arctan x ) ;
x

( 2 ) f ( ln x ) ;
( 4 ) f (cos x ) .

x 解 ( 1 ) e ∈ [ 0 , 1] ? x ∈(?∞, 0] ;

( 2 ) ln x ∈ [ 0 , 1] ? x ∈[1, e ] ;

( 3 ) arctan x ∈ [ 0 , 1] ? x ∈[ 0, tan1] ;
( 4 ) cos x ∈ [ 0 , 1] ? x ∈
+∞

n=?∞

∪[

2nπ ? π , 2nπ + π . 2 2
19

π

π

]


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