2018高中数学人教a版选修4-1学案创新应用:第一讲 二 平行线分线段成比例定理 含解析

二 平行线分线段成比例定理 [对应学生用书 P4] 1.平行线分线段成比例定理 (1)文字语言:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. (2)图形语言: 如图 l1∥l2∥l3, 则有: AB DE = , BC EF AB DE = , AC DF BC EF = . AC DF 变式有: [说明] AB DE = BC AB AC BC AC , = , = . EF DE DF EF DF “对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线 被这两条平行线截得的线段成对应线段.如图中 AB 和 DE;而“对应线段成比 例”是指同一条直线上的两条线段的比等于与它们对应的另一条直线上的两条 线段的比. 2.平行线分线段成比例定理的推论 (1)文字语言: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的 对应线段成比例. (2)图形语言:如图 l1∥l2∥l3, 则有: AD AE AD AE DB CE = , = , = . AB AC DB EC AB AC 3.平行线分线段成比例定理的作用 平行线分线段成比例定理及推论是研究下一节相似三角形的理论基础, 它可 以判定线段成比例.另外,当不能直接证明要证的比例成立时,常用该定理借助 “中间比”转化成另两条线段的比,来得出正确结论.合理添加平行线,运用定 理及推论列比例式, 再经过线段间的转换可以求线段的比值或证明线段间倍数关 系. [对应学生用书 P5] 平行线分线段成比例定 理 [例 1] 求证: 已知:如图,AD∥BE∥CF,EG∥FH. EG = . AC FH 由题目中的两组平行线,利用平行线分线段成比例定理,寻求 AB [思路点拨] AB EG 与 , 均相等的公共比例式. AC FH [证明] AB DE ∵AD∥BE∥CF,∴ = . AC DF EG DE = . FH DF 又∵EG∥FH,∴ AB EG ∴ = . AC FH 平行线分线段成比例定理的解题思路 (1)观察图形和已知条件,找出图中的三条平行线和被平行线所截的两条直 线; (2)分析截线上的对应线段,写出相应的比例关系; (3)灵活运用比例性质或“中间比”进行线段比的转化,达到求线段比或证 明线段成比例的目的; (4)注意定理基本图形的几种变式情形,在复杂图形中识别能够应用定理的 图形. 1.如图,AD∥EF∥BC, AE 2 = ,DF=4 cm,则 FC=________cm. BE 3 AE DF 解析:∵AD∥EF∥BC,∴ = . BE FC 又 AE 2 = ,DF=4 cm, BE 3 ∴FC=6 cm. 答案:6 2.已知:如图所示,l1∥l2∥l3, m = . BC n 求证: DE DF = m m+n . AB 证明:∵l1∥l2∥l3, AB DE m ∴ = = . BC EF n EF n EF+DE n+m ∴ = ,则 = , DE m DE m 即 DF DE = m+n DE m .∴ = . m DF m+n 平行线分线段成比例定理的推 论 [例 2] 已知:如图,点 E 是?ABCD 边 CD 延长线上的一点,连接 BE 交 AC 于点 O,交 AD 于点 F.求证:OB2=OE· OF. [思路点拨] [证明] 利用 AB∥CE,AF∥BC 得出所要比例关系. 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AB∥CD,AD∥BC. OB OA 由 AB∥CE,得 = . OE OC OA OF 由 AF∥BC,得 = . OC OB 所以 OB = (等量代换). OB OE OF 即 OB2=OE· OF. 运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或求线段的长度时, 应分 清相关三角形中的平行线段及所截边,在解答过程中要灵活应用比例性质. 3.已知:如图,D 为 BC 的中点,AG∥BC,求证: EG AF = . ED FC 证明:因为 AG∥BC, 所以 EG AG AF AG = , = , ED BD FC DC 又 BD=DC,所以 EG AF = . ED FC 4.如图,已知 AE∥CF∥DG,AB∶BC∶CD=1∶2∶3,CF=12 cm,求 AE,DG 的长. 解:∵AE∥CF, AE AB ∴ = . CF BC ∴AE= · CF. BC AB ∵AB∶BC=1∶2,CF=12 cm, ∴AE= 91 ×12=6 (cm). 2 BC CF ∵CF∥DG,∴ = . BD DG BC 2 BC 2 ∵ = ,∴ = . CD 3 BD 5 ∴DG= BD 5 · CF= ×12=30(cm). BC 2 通过添加平行线构造基本图形寻找公共比 [例 3] 如图,在△ABC 中,CD⊥AB 于 D,E 为 BC 中点,延长 AC AF = . BC DF AC、DE 相交于点 F,求证: [思路点拨] 由已知条件,结合图形特点,可添加平行线,构造出能够运用 平行线分线段成比例定理或推论的基本图形,再结合直角三角形的性质,找出公 共比,得证. [证明] 则 作 EH∥AB 交 AC 于点 H, AC BC AC AH = ,∴ = . AH BE BC BE DF AF AH = ,∴ = . AH DE DF DE AF 同理: ∵△BDC 为直角三角形, 且 E 为 BC 边中点, ∴BE=CE=DE. AH AH AC AF ∴ = .∴ = . BE DE BC DF 证明比例式成立, 往往会将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究.有 时图形中没有平行线,要添加辅助线,构造相关图形,创造可以形成比例式的条 件,达到证明的目的. 5.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,点 E,F 分别在 AE 2 AB, CD 上, 且 EF∥BC, 若 = , AD=8 cm,

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