湖南省茶陵县第三中学人教版高中数学必修二:2.3.4修改-平面与平面垂直的性质定理 课件_图文

?
?

?

复习回顾:
面面垂直的判定
(1)利用定义

[作出二面角的平面角,证明平面角是直角]
(2)利用判定定理[线面垂直 面面垂直]
? ? 线面垂直

l ?? ? ? ?? ? ? l ? ??
线线垂直

l
B

A 面面垂直

思考2

如图,长方体中,α⊥β,

(1)α里的直线都和β垂直吗? 不一定 (2)什么情况下α里的直线和β垂直?
D1

与AD垂直
C1

F
A1

α

B1

E
A

D

β
B

C

思考3

? ? ? ,? ? ? ? CD, AB ? ? , AB ? CD,

垂足为B,那么直线AB与平面β 的位置关系如何? 为什么? 垂直

Eβ D α C B

A

证明:在平面 ? 内作BE⊥CD,

垂足为B.
则∠ABE就是二面角? ? CD ? ?

的平面角.



∵ ? ? ? , ∴AB⊥BE.
又由题意知AB⊥CD,

D
α C

B

A

且BE ?

CD=B

∴AB⊥? .

平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直. 符号表示:

?
C?

? ?? ? ? ? ? CD AB ? ?

? ? ? ? ? ? AB ? ? ? AB ? CD ? AB ? CD ? B ? ?

A B D

关键点: ①线在平面内. ②线垂直于交线.

?
C?

A B D

作用: ①它能判定线面垂直.
② 它能在一个平面内作与这个平面垂 直的垂线.

面面垂直

线面垂直

(线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线)

思考4

设平面? ⊥平面 ? ,点P在平面? 内,过点P作平

面? 的垂线a,直线a与平面 ? 具有什么位置关系?
直线a在平面? 内 α a
β

α
a
β

P

P

思考5

已知平面? ? ?,? ? ? ? AB,直线a∥?,
垂直

a ? AB,试判断直线a与?的位置关系.
α b B l β a

A

例1

如图,已知平面?,?,? ? ?,直线a满足a ? ?,

a ? ?,试判断直线a与平面?的位置关系.
分析:寻找平面α内与a平行的直线.
α

b
l β

a

A

例2.已知平面?,?,? 满足? ? ? ,? ? ? ,? ? ? ? l , 求证:l ? ? .
分析:作出图形. (法一) l β m b (法二)


β n m b

l

α a n A

γ

γ

证法1:设 ? ? ? ? n, ? ? ? ? m,
在α内作直线a ⊥n 在β内作直线b⊥m l β b a n α

? ? 同理b ? ? ?

?a??

? b / /a? ? a ? ? ? ? b / /? ? ? b ? ? b ?? ? ? ? b / /l ? ? ? ? ? ? ? l? ?? l ? ?. ? b?? ? ? ? ? l? ?

γ

m

证法2:设 ? ? ? ? n, ? ? ? ? m, 在γ内任取一点A(不在m,n上), l β a γ m b A n α

在γ内过A点作直线 a ⊥n,
在γ内过A点作直线 b⊥m,

? ?? ? ? ? ? ? ? n? ? a ? ? ? a?n l ?? ?

a?l ? 同理b ? l a ?b ? A

? l ? ?.

结论 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么这两 个平面的交线垂直于这个平面. 如图:

l
α γ

β

判断线面垂直的两种方法: ①线线垂直→线面垂直; ②面面垂直→线面垂直.

例3.S为三角形ABC所在平面外一点,SA⊥平 面ABC,平面SAB⊥平面SBC。 求证:AB⊥BC。 S
证明:过A点作AD⊥SB于D点. ∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC, ∴ AD⊥BC. 又∵ SA ⊥ 平面ABC, ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A ∴BC ⊥ 平面SAB. ∴BC ⊥AB.
A B D C

如图,平面AED ⊥平面ABCD,△AED 是等边三角形,四边形ABCD是矩形, (1)求证:EA⊥CD (2)若AD=1,AB= 2 ,求EC与平面 ABCD所成的角。
E

D

C

M
A B

1.平面与平面垂直的性质定理: 面面垂直 线面垂直
C

?
?

A
D

2.面面垂直的性质推论: α P a
β

B

α b a l

β

A

α

l γ

β

a ??

a∥α

l ??


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