2014年第30届中国数学奥林匹克

2014年第30届中国数学奥林匹克
王浩杰数学工作室 王浩杰 2065363727@qq.com 第一天 2014年12月20日8 : 00 ? 12 : 30
1. 给定实数r ∈ (0, 1).证明: 若n个复数z1 , z2 , · · · , zn 满足|zk ? 1| |

: :
n n

r(k = 1, 2, · · · , n), 则

zk | · |

k=1

k=1

1 | zk

n2 (1 ? r2 ).

2. 如图, 设A, B, D, E, F, C 依次是一个圆周上的六个点, 满足AB = AC . 直线AD与BE 交于点P , 直

线AF 与CE 交于点R, 直线BF 与CD交于点Q, 直线AD与BF 交于点S , 直线AF 与CD交于点T , 点K 在 SK PQ 线段ST 上, 使得∠SKQ = ∠ACE . 求证: = . KT QR

3. 给定整数n

5,求最小的整数m,使得存在两个由整数构成的集合A, B , 同时满足下列条件:

(1)|A| = n, |B | = m, 且A ? B, (2)对B 中任意两个不同的元素x, y ,有:x + y ∈ B 当且仅当x, y ∈ A.

第二天 2014年12月21日8 : 00 ? 12 : 30
4. 求具有下述性质的所有整数k : 存在无穷多个正整数n, 使得n + k 不整除Cn 2n . 5. 某次会议共有30个人参加, 其中每个人在其余的人中至多有5个熟人; 任意5个人中存在两人不是 熟人, 求最大的正整数k,使得满足上述条件的30个人中总存在k个人, 两两不是熟人.

1

6. 设非负整数的无穷数列a1 , a2 , · · · 满足: 对任意正整数m, n,均有

数k, d,满足

:
2k i=1

:
2m i=1

ain

m, 证明: 存在正整

aid = k ? 2014.

中国数学竞赛交流群号:337278802

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