福建省泉州第一中学2013-2014学年高二下学期期末考试数学(文)试题

一、选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分)
1.设集合 A={x∈R | x+1≥2},B={–2,–1,0,1,2},则 A A.{2} B.{1,2} 2.下列有关命题的说法正确的是( C.{0,1,2} ) B= ( ) D.{–l,0,1,2 }

A.若向量 a、b 满足 a·b = 0 ,则 a = 0 或者 b = 0; B. “ ? ? 30 ”是 “ sin ? ?
2

1 ”的必要不充分条件; 2
2

C.命题“ ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”; D.命题“若 x ? y, 则sin x ? sin y ”的逆否命 题为真命题.

( 0, ??) 3.下列函数中,既是奇函数又在区间 上单调递增的函数为(
A. y ? sin x A.A、B、C 三点共线 C. A、B、D 三点共线 B. y ? ln x C. y ? 2x D. y ? x3 ) 4. 已知 b 2 a +8 b ,8 4a +2 b ,则( AB AB ?? ? aa ? a+5 ? 5 ? b 5 5 , b b BC ,,BC BC ? ?– ? ? ? 2 ? 2 a 2 a ? a ?8 ? 8 b b ,,b CD CD , CD ? 3( ? 3( a a ? a ? b b ? ) ) b)



B. B、C、D 三点共线 D. A、C、D 三点共线 )

5.已知数列 {an } 是等差数列,且 a3 ? a9 ? 4 ,那么数列 {an } 的前 11 项和等于( A.22 B.24 C.44 D.48

6.如图,已知 AB , a, ?? a ? 5 b, BC ? ?2 a3? 8b, ,用 CD ? 3(b a表示 ? b) AD ,则 AD ? ( AB AB ? a a ,, AC AC ? ? bb ,,, BD BD ? ? 3 DC DC



7 A. a ? 4 1 C. a ? 4

3 b 4 3 b 4

7 3 B. a ? b 4 4 3 1 D. a ? b 4 4

A

1 1 0.2 B D C 7.设 a ? log 1 3, b ? ( ) , c ? 2 3 ,则 ( ) 3 2 A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D. a<b<c 4 ? ? 8.已知 sin x ? , x ? ( , ? ) ,则 tan( x ? ) ? ( ) 5 2 4 1 1 A. B. 7 C. ? D. ?7 7 7 ? 1 ? 9.已知数列 ?an ? 中, an ? n ,则数列 ? ) ? 的前 100 项和为( ? an an ?1 ?

A.

99 100

B.

99 101

C.

100 101

D.

101 100

[来源:Zxxk.Com]

10.设向量 a ,b 满足|a|=|b|=1,且 a ,b 的夹角为 120°,则|a+2b|=( A. 2 B. 3
2 x

C. 5

D. 7 )

11.当 a>0 时,函数 f ( x) ? ( x ? 2ax)e 的图象大致是(

1

[来源.C

12.对任意实数 a,b 定义运算“

":a

b= ?

?b, a ? b ? 1, 设f ( x) ? ( x 2 ? 1) ?a, a ? b ? 1,
) C. (0,1]

(4 ? x) ? k ,若函数 f(x)的

图象与 x 轴恰有三个交点,则 k 的取值范围是 ( A.[-2,1) B.[0,1]

D. (-2,1)

二、填空题(本大题共 4 题,每小题 4 分,共 16 分)
13. sin 510 ?
?

; ; ;

14.已知向量 a= (1,1),b=(–2 ,3 ),若 ? a–b 与 a 垂直,则实数 ? = 15.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 2Sn=3an -2 (n ? N*),则 a5 =

16.已知函数 f ( x) ,其中 x ? R , f (1) ? 2 ,且 f ( x) 在 R 上的导数满足 f ?( x) ? 1 ,则 不等式 f ( x 2 ) ? x 2 ? 1 的解集为 .

三、解答题(本大题共 6 题,共 74 分) 17.设全集是实数集 R, A ? {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0} ,B= {x | x 2 ? a ? 0} .
(Ⅰ)当 a=4 时,求 A∩B 和 A∪B; (Ⅱ)若 B ? C R A ,求实数 a 的取值范围.

18.已知在 ?ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边, C ? n=(2,sinB)且 m// n. (Ⅰ)求 b,c; (Ⅱ)求角 A 的大小及 ?ABC 的面积.

?
3

, a ? 3 ,若向量 m=(1,sinA) ,

19.已知 {an } 是等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 a7 ? 20, S3 ? 15 (Ⅰ)求数 列 {an } 的通项公式;
2



(Ⅱ)若等比数列 {bn } 满足: b1 ? a1 , b4 ? a 2 ?a 4 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

20.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3sin 2 ? x ? 3 ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向左平移 象.若 y ? g ( x) 在区间 [0,

? 个单位,再向上平移 a ( a ? 0 )个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图 3

?
4

] 上的最大值与最小值的和为 5,求 a 的值.

21.已知椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点为 F(-1,0),左右顶点分别为 A,B.经过点 F 的直线 l 与椭 a2 3

圆 M 交于 C,D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程;
3

(Ⅱ)若直线 l 的斜率为

3 5 1 ,求椭圆上到 l 的距离为 的点的个数; 5 2

(Ⅲ)记△ ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S 2 ,求| S1 - S 2 |的最大值.

22.设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的图象与直线 y ? 4 相切于 M (1, 4) . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求 f ( x) 的极值; (Ⅲ)是否存在两个不等正数 s , t ( s ? t ) ,当 x ? [ s, t ] 时,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的值域也是 [ s, t ] , 若存在,求出所有这样的正数 s , t ;若不存在,请说明理由.

4

泉州一中高二下学期期末考试卷 数 学(文 科) 参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案
[网]

2014.7

1 B

2 D

3 D

4 C

5 A

6 C

7 D

8 B

9 C

10 B

11 A

12 A

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 1 13. 2
15. 162

14. 16.

1 2

(??,?1) ? (1,??)

三、解答题(本大题共 6 题,共 74 分)

18.

19.

5

20. 【解析】 (Ⅰ)由题意得

f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3
? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 2sin(2? x ? ) 3 由周期为 ? ,得 ? ? 1 .
得 f ? x ? ? 2sin(2 x ? 由 2 k? ?

?

????????3 分

?

?
2

? 2x ?

?
3

3

)

????????????4 分

? 2 k? ?

?
2

,得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

所以函数 f ( x) 的单调增区间是 [k? ?

?

12 ? (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向左平移 个单位,再 向上平移 a 个单位, 3
得到 g ( x) ? 2 sin( 2 x ? 因为 x ? [0,

, k? ?

5? ] ,k ?Z 12

5? ,k ?Z 12
????6 分

?

?
4

3

)?a

????????????8 分

] , 2x ?

?

所以 g ( x) ? [1 ? a,2 ? a] 令1 ? a ? 2 ? a ? 5 得a ?1

? 5? ? 1 ? [ , ] , sin( 2 x ? ) ? [ ,1] , 3 3 6 3 2
????????????10 分 ????????????????12 分

21. (Ⅰ)因为椭圆的焦点为 F(-1,0),所以 c=1, 又 b ? 3 所以 a ? 4 ,
2 2

所以椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

????????2 分

(Ⅲ)

6

当直线 l 无斜率时,直线为 x=-1,此时 C ( ?1,? ) , D ( ?1, ) △ ABD 与△ABC 面积相等,|S1-S2|=0 当直线 l 斜率存在时,显然 k ? 0 , 设直线为 y ? k ( x ? 1) ( k ? 0 )联立椭圆方程得
[来源:Z*xx*k.Com]

3 2

3 2

????????7 分

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0
显然△ >0,且 x1 ? x 2 ? ? 此时 | S1 ? S 2 |?

8k 2 4k 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

????????8 分

1 ? AB ? | y1 | ? | y 2 | ? 2 y1 ? y 2 ? 2 k ( x1 ? 1) ? k ( x 2 ? 1) 2 12 k ????????10 分 ? 2 k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? 3 ? 4k 2 3 12 12 因为 k ? 0 ,上式 ? 时等号成立 ? ? 3 当k ? ? 3 2 3 ? 4k 2 ?4k k k
综上的,|S1-S2|的最大值为 3 22. (1) f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? b . 依题意则有: ? ????????????12 分

? f (1) ? 4 , f '(1) ? 0 ?

所以 ?

?1 ? a ? b ? 4 ?a ? ?6 3 2 ,解得 ? , 所以 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x . ??????3 分 3 ? 2 a ? b ? 0 b ? 9 ? ?

2 x ? 1 或 x ? 3 .??4 分 (2) f '( x) ? 3x ?12 x ? 9 ? 3( x ?1)( x ? 3) ,由 f '( x) ? 0 可得

x
f '( x)

(??,1)
+ 增函数
2

1 0 4

(1,3)
— 减函数

3 0 0

(3,??)
+ 增函数

f ( x)
3

所以函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x 极大值是 4,极小值是 0.

????????7 分

7

则①、②可得 ?

?s ? t ? 3 2 ,即 s , t 是方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根, ?st ? 1

即s ?

3? 5 3? 5 ,t ? 不合要求; 2 2
????????14 分

综上,不存在正数 s , t 满足要求.

8


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