2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(文科)(新课标Ⅱ卷)

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(文科)(新课标Ⅱ卷)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 1} , N ? {?3, ?2, ?1,0,1},则 M A. {?2, ?1,0,1} B. {?3, ?2, ?1,0} C. {?2, ?1, 0} D. {?3, ?2, ?1} 2、

N ?(



2 ?( 1? i
A. 2 2

) B. 2 C. 2 D. 1

? x ? y ? 1 ? 0, ? 3、设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是( ? x ? 3, ?
A. ? 7 B. ? 6 C. ?5 D. ? 3



4、 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 b ? 2 , B= 面积为( ) B. 3 ? 1 D. 3 ? 1

? ? , C= ,则 ?ABC 的 6 4

A. 2 3 ? 2 C. 2 3 ? 2

x2 y 2 5 、 设 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 是 C 上 的 点 , a b

PF2 ? F1F2 , ?PF1F2 ? 30 ,则椭圆 C 的离心率为(
A.



3 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 3


6、已知 sin 2? ? A.

2 ? 2 ,则 cos (? ? ) ? ( 3 4 1 3
C.

1 6

B.

1 2

D.

2 3


7、执行右面的程序框图,如果输入的 N ? 4 ,那么输出的 S ? (

1

A. 1 ? B. 1 ? C. 1 ? D. 1 ?

1 1 1 ? ? 2 3 4 1 1 1 ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 1 ? ? ? 2 3 4 5 1 1 1 1 ? ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 5 ? 4 ? 3? 2


8、设 a ? log3 2 , b ? log5 2 , c ? log2 3 ,则( A. a ? c ? b C. c ? b ? a B. b ? c ? a D. c ? a ? b

2

9、 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (1, 0,1) ,(1,1, 0) ,(0,1,1) ,

(0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为
( )

A.

B.

C.

D.

10 、 设 抛 物 线 C : y 2 ? 4x 的 焦 点 为 F , 直 线 l 过 F 且 与 C 交 于 A , B 两 点 . 若

| AF |? 3 | BF | ,则 l 的方程为(
A. y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 B. y ?



3 3 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 3 3

C. y ? 3( x ?1) 或 y ? ? 3( x ?1) D. y ?

2 2 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 2 2
3 2

11、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,下列结论中错误的是( A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 B.函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形



C.若 x0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 D.若 x0 是 f ( x ) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 12、若存在正数 x 使 2 ( x ? a) ? 1 成立,则 a 的取值范围是(
x



A. (??, ??)

B. (?2, ??)

C. (0, ??)

D. (?1, ??)

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根 据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
3

13、从 1, 2,3, 4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是_______. 14、已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? _______. 15、已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 径的球的表面积为________. 16 、 函 数 y ? c o s ( x2 ? ? ?? ) (? ? ? ? 的) 图象向右平移

3 2 ,底面边长为 3 ,则以 O 为球心, OA 为半 2

? 个单位后,与函数 2

y ? sin(2 x ? ) 的图象重合,则 ? ? _________. 3
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差不为零, a1 ? 25 ,且 a1 , a11 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 +a7 ????? a3 n?2 ; 18、如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点. (Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 ACD 1 1; (Ⅱ)设 AA1 ? AC ? CB ? 2 , AB ? 2 2 ,求三棱锥 C ? A 1DE 的体积.

?

A1 B1 A D B
19、(本小题满分 12 分)

C1

E

C

经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产 品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如

100 ? X ? 150 ) 下图所示,经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品. 以 X (单位: t,
表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品 的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数;

4

(Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率.

20、(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 ,在 y 轴上截得线段长为

2 3.
(Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y ? x 的距离为 21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2e? x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的极小值和极大值; (Ⅱ)当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.

2 ,求圆 P 的方程. 2

请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请 写清题号. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,CD 为 ?ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D ,E 、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC ? AE ? DC ? AF , B 、 E 、 F 、 C 四点共圆.

(Ⅰ)证明: CA 是 ?ABC 外接圆的直径; (Ⅱ)若 DB ? BE ?EA ,求过 B 、 E 、 F 、 C 四点的圆的面积与 ?ABC 外接圆面积的比 值. 23、 (本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程

5

已知动点 P、Q 都在曲线 C : ?

? x ? 2 cos t , ( t 为参数)上,对应参数分别为 t =? 与 t =2? ? y ? 2sin t

( 0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点. (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 24、 (本小题满分 10 分)选修 4——5;不等式选讲

1 a 2 b2 c2 ? ?1 设 a、b、c 均为正数, 且 a ? b ? c ? 1, 证明: (Ⅰ)ab ? bc ? ac ? ( ; Ⅱ) ? 3 b c a

6

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷) 数学 (文科) 参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题: 1、答案:C 解题思路:求出集合 M 中不等式的解集,确定出 M,找出 M 与 N 的公共元素,即可确 定出两集合的交集. 2、答案:C 解题思路: 进行复数的除法运算, 分子和分母同乘以分母的共轭复数, 整理成最简形式, 再根据复数模的定义得到结果. 3、答案:B

? x ? y ? 1 ? 0, ? 解题思路:先画出满足约束条件: ? x ? y ? 1 ? 0, 的平面区域,求出平面区域的各交点, ? x ? 3, ?
然后将交点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数 z=2x-3y 的最小值 4、答案:B 解题思路:由 sinB,sinC 及 b 的值,利用正弦定理求出 c 的值,再求出 A 的度数,由 b, c 及 sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 5、答案:D 解题思路:在直角三角形中,易计算算出 PF2 ? 2c tan 30 ? 由椭圆的定义 PF1 ? PF2 ? 6、答案:A 解题思路: 已知条件中的角是 2? , 要求的结果是二次的, 所以直接利用降幂公式求解. 7、答案:B 解题思路: 由程序中的变量、 各语句的作用, 结合流程图所给的顺序可知当条件满足时, 用 S+

2 3 4 3 c, PF1 ? c ,再 3 3

6 3 c ? 2a 直接计算出离心率. 3

T 的值代替 S 得到新的 S,并用 k+1 代替 k,直到条件不能满足时输出最后算出的 S K

值,由此即可得到本题答案. 8、答案:D 解题思路:先用介值 1, log2 3 ? 1 , log 3 2 ? 调性比较 log2 3和log2 5的大小 .
7

1 1 ? 1 , log 5 2 ? ? 1再利用单 log 2 3 log 2 5

9、答案:A 解题思路:由题意画出几何体的直观图,然后判断以 zOx 平面为投影面,则得到正视图 即可. 10、答案:C 解题思路: 根据题意, 可得抛物线焦点为 F (1, 0) , 由此设直线 l 方程为 y=k (x-1) , 与抛物线方程联解消去 x,得

k 2 y -y-k=0.再设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数 4

的关系和|AF|=3|BF|,建立关于 y1、y2 和 k 的方程组,解之可得 k 值,从而得到直线 l 的方 程. 11、答案:C 解题思路:利用导数的运算法则得出 f′(x) ,分△>0 与△≤0 讨论,列出表格,即可 得出. 12、答案:D 解题思路:转化不等式为 a>x- 围即可.

1 ,利用 x 是正数,通过函数的单调性,求出 a 的范 2x

第Ⅱ卷 二、填空题 13、答案:

1 5

解题思路:由题意结合组合数公式可得总的基本事件数,再找出和为 5 的情形,由古典 概型的概率公式可得答案. 14、答案:2 解题思路:建立平面直角坐标系,将所需要向量用坐标表示出来,利用数量积计算. 15、答案: 24? 解题思路:先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥 O-ABCD 的高,再利用直角 三角形求出正四棱锥 O-ABCD 的侧棱长 OA,最后根据球的表面积公式计算即得. 16、答案:

5? 6

解题思路:由题意可转化为 y ? sin(2 x ?

?
3

) 向左平移

? 个单位,得 2

y ? cos(2 x ? ? )(?? ? ? ? ? ) ,据函数图象平移的公式,可得平移后的图象为

8

y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) ? cos(2 x ? ? ) 由此结合三角函数的诱导公式即可 2 3 3
算出 φ 的值.

?

?

?

三.解答题
2 17、 解题思路: (I) 设等差数列{an}的公差为 d≠0, 利用成等比数列的定义可得,a11 =a1a13,

再利用等差数列的通项公式可得(a1+10d)2=a1(a1+12d),化为 d(2a1+25d)=0,解出 d 即可得到通项公式 an;(II)由(I)可得 a3n-2=-2(3n-2)+27=-6n+31,可知此数 列是以 25 为首项,-6 为公差的等差数列.利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 a1+a4 +a7+…+a3n-2. 解答过程:
2 解:(I)设{an}的公差为 d,由题意, a11 ? a1a13 ,

即 (a1 ? 10d ) 2 ? a1 (a1 ? 12d ) 于是 d (2a1 ? 25d ) ? 0 又 a1 ? 25 ,所以 d=0(舍去) ,d= ? 2 故 an ? ?2n ? 27 (Ⅱ)令 S n ? a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a3n?2 由(Ⅰ)知 a3n?2 ? ?6n ? 31,故 {a3n ?2 } 是首项为 25,公差为 ? 6 的等差数列, 从而 S n ?

n (a1 ? a3n ? 2 ) 2

?

n (?6n ? 56) 2

? ?3n 2 ? 28n
18、解题思路:(Ⅰ)连接 AC1,交 A1C 于点 F,则 DF 为三角形 ABC1 的中位线,故 DF∥BC1.再根据直线和平面平行的判定定理证得 BC1∥平面 A1CD.(Ⅱ)由题意可得此 直三棱柱的底面 ABC 为等腰直角三角形,由 D 为 AB 的中点可得 CD⊥平面 ABB1A1.求得 CD 的值,利用勾股定理求得 A1D、DE 和 A1E 的值,可得 A1D⊥DE.进而求得 S△A1DE 的值, 再根据三棱锥 C-A1DE 的体积为 解答过程: 解: (Ⅰ)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点,

1 S 3

A1 DE

CD ,运算求得结果.

9

又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1//DF 因为 DF ? 平面 A1CD,BC1 ? 平面 A1CD, 所以 BC1//平面 A1CD (Ⅱ)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1 由 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 得 ∠ACB=90° ,CD= 2 ,A1D= 6 ,DE= 3 ,A1E=3, 故 A1D2+DE2=A1E2,即 DE⊥A1D 所以 VC ? A1DE =

1 1 ? ? 6 ? 3? 2 ?1 3 2

19、解题思路: (I)由题意先分段写出,当 X∈[100,130)时,当 X∈[130,150)时, 和利润值,最后利用分段函数的形式进行综合即可. (II)由(I)知,利润 T 不少于 57000 元,当且仅当 120≤X≤150.再由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,利用样本估 计总体的方法得出下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值. 解答过程:

,130) 时, 解: (Ⅰ)当 X∈ [100 T ? 500X ? 300(130 ? X )
? 800 X ? 39000
当 X ? [130,150] 时,

T ? 500 ? 130 ? 65000
所以 T ? ?

, 100 ? X ? 130, ?800X ? 39000 , 130 ? X ? 150. ?65000

(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润 T 不少于 57000 元,当且仅当 120 ? X ? 150 , 由直方图知需求量 X ? [120,150] 的频率为 0.7,
10

所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7. 20、解题思路: (Ⅰ)由题意,可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角 形中利用勾股定理建立关于点 P 的横纵坐标的方程,整理即可得到所求的轨迹方程;(Ⅱ) 由题,可先由点到直线的距离公式建立关于点 P 的横纵坐标的方程,将此方程与(I)所求 的轨迹方程联立,解出点 P 的坐标,进而解出圆的半径即可写出圆 P 的方程. 解答过程: 解:(Ⅰ)设圆心 P(x,y),由题意得 x2+3=y2+2, 整理得 y2-x2=1 即为圆心 P 的轨迹方程,此轨迹是等轴双曲线 (Ⅱ)由 P 点到直线 y=x 的距离为

x? y 2 2 得, = , 2 2 2

即|x-y|=1,即 x=y+1 或 y=x+1, 分别代入 y2-x2=1 解得 P(0,-1)或 P(0,1)若 P(0,-1), 此时点 P 在 y 轴上,故半径为 3 ,所以圆 P 的方程为(y+1)2+x2=3; 若 P(0,1),此时点 P 在 y 轴上,故半径为 3 , 所以圆 P 的方程为(y-1)2+x2=3; 综上,圆 P 的方程为(y+1)2+x2=3 或(y-1)2+x2=3 21、解题思路: (Ⅰ)利用导数的运算法则即可得出 f′(x) ,利用导数与函数单调性的 关系及函数的极值点的定义,即可求出函数的极值;(Ⅱ)利用导数的几何意义即可得到切 线的斜率,得出切线的方程,利用方程求出与 x 轴交点的横坐标,再利用导数研究函数的单 调性、极值、最值即可. 解答过程: 解:(Ⅰ)∵f(x)=x2e x,∴f′(x)=2xe x-x2e x=e x(2x-x2),
- - - -

令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x=2, 令 f′(x)>0,可解得 0<x<2;令 f′(x)<0,可解得 x<0 或 x>2, 故函数在区间(-∞,0)与(2,+∞)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数. ∴x=0 是极小值点,x=2 极大值点,又 f(0)=0,f(2)=

4 , e2

故 f(x)的极小值和极大值分别为 0, (II)设切点为(x0,x02e 则切线方程为 y-x02e 令 y=0,解得 x=
-x0 -x0

4 . e2

), (2x0-x02)(x-x0),

=e

-x0

2 x0 ? x0 2 ? ( x0 ? 2) ? ?3 , x0 ? 2 x0 ? 2

11

因为曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数,∴ e 令 f(x0)=x0+

? x0

2 (2x0 ? x0 ) ? 0 ,∴x0<0 或 x0>2,

2 +1, x0 ? 2

则 f′(x0)=1-

( x0 ? 2)2 ? 2 2 , ? ( x0 ? 2)2 ( x0 ? 2)2

①当 x0<0 时,(x0-2)2-2>0,即 f′(x0)>0, ∴f(x0)在(-∞,0)上单调递增,∴f(x0)<f(0)=0; ②当 x0>2 时,令 f′(x0)=0,解得 x0=2+ 2 , 当 x0>2+ 2 时,f′(x0)>0,函数 f(x0)单调递增; 当 2<x0<2+ 2 时,f′(x0)<0,函数 f(x0)单调递减. 故当 x0=2+ 2 时,函数 f(x0)取得极小值,也即最小值,且 f(2+ 2 )=3+2 2 , 综上可知:切线 l 在 x 轴上截距的取值范围是(-∞,0)∪[2 2 +3,+∞). 22、 解题思路: (1) 已知 CD 为△ABC 外接圆的切线, 利用弦切角定理可得∠DCB=∠A, 及 BC?AE=DC?AF,可知△CDB∽△AEF,于是∠CBD=∠AFE.利用 B、E、F、C 四点共 圆,可得∠CFE=∠DBC,进而得到∠CFE=∠AFE=90° 即可证明 CA 是△ABC 外接圆的直 径; (2)要求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.只需求出其外 接圆的直径的平方之比即可.由过 B、E、F、C 四点的圆的直径为 CE,及 DB=BE,可得 CE=DC,利用切割线定理可得 DC2=DB?DA,CA2=CB2+BA2,都用 DB 表示即可. 解答过程: 解: (Ⅰ)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A, 由题设知

BC DC ? ,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. FA EA

因为 B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90° . 所以∠CBA=90° ,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (Ⅱ)连结 CE,因为∠CBE=90° ,所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE, 由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC 2 ? DB ? BA ? 2DB 2 ,所以

CA2 ? 4DE 2 ? BC 2 ? 6DB2 .

12

而 DC 2 ? DB ? DA ? 3DB 2 , 故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为

1 . 2

23、解题思路:(I)根据题意写出 P,Q 两点的坐标:P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α, 2sin2α) , 再利用中点坐标公式得 PQ 的中点 M 的坐标, 从而得出 M 的轨迹的参数方程; (II) 利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 得 到 M 到 坐 标 原 点 的 距 离

d?

x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0 ? ? ? 2? )

,再验证当 α=π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐

标原点. 解答过程: 解: (Ⅰ)依题意有 P(2 cos? ,2 sin ? ), Q(2 cos2? ,2 sin 2? ) ,因此

M (cos? ? cos2? , sin ? ? sin 2? ) .
M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos? ? cos2? , ( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? ) . ? y ? sin ? ? sin 2? ,

(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离

d?

x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0 ? ? ? 2? ) .

当 ? ? ? 时, d ? 0 ,故 M 的轨迹过坐标原点. 24、解题思路:(Ⅰ)依题意,由 a+b+c=1? (a+b+c)2=1? a2+b2+c2+2ab+2bc +2ca=1,利用基本不等式可得 3(ab+bc+ca)≤1,从而得证;(Ⅱ)利用基本不等式可

a2 b2 c2 ? b ? 2a, ? c ? 2b, ? a ? 2c c a 证得: b ,三式累加即可证得结论.
解答过程: 解: (Ⅰ)由 a 2 ? b 2 ? 2ab, b 2 ? c 2 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca 得

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca .
由题设得 (a ? b ? c) 2 ? 1 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 1 . 所以 3(ab ? bc ? ca) ? 1 ,即 ab ? bc ? ca ?

1 . 3

13

a2 b2 c2 (Ⅱ)因为 ? b ? 2a, ? c ? 2b, ? a ? 2c , b c a a2 b2 c2 a2 b2 c2 故 ? ? ? (a ? b ? c) ? 2(a ? b ? c) ,即 ? ? ? a ? b ? c. b c a b c a
所以

a2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a

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