河南省信阳高级中学2016届高三上学期第八次大考数学试题

信阳高中 2016 届高三第八次大考

数学(理)试题
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
1.已知集合 M ? ? x A. ? ??,2? 2.复数 ﹣

? 2 ? ? 1? , N ? ? y y ? 1 ? x 2 ? ,则 M ? N ? ( x ? ?
B. ? 0,1? =( ) C.﹣2i ( ) . D.2i C. ? 0,2? D. ?0,1?

) .

A.0 B.2 3.下列命题中,正确的是 A.存在 x0 ? 0 ,使得 x0 ? sin x0

a b B. “ lna ? lnb ”是“ 10 ? 10 ”的充要条件

C.若 sin ? ?

1 ? ,则 ? ? 2 6
3 2 2

D.若函数 f ( x) ? x ? 3ax ? bx ? a 在 x ? ?1 有极值 0 ,则 a ? 2, b ? 9 或 a ? 1, b ? 3

? 4.

?

4 0

cos 2 x dx cos x ? sin x = ( )
B. 2 ? 1 C. 2 ? 1 D. 2 ? 2

A. 2( 2 ?1)

5.如图是一个无盖器皿的三视图,正视图、侧视图和俯视图中的正 方形边长为 2,正视图、侧视图中的虚线都是半圆,则该器皿的表面 积是( ) A. 2? ? 24 B. 2? ? 20 C. ? ? 24 D. ? ? 20

? x? y?6 ? 0 ? 6.设 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 2a ? 4 ,最小值为 a ? 1 , ?3x ? y ? 2 ? 0 ?
则实数 a 的取值范围为 A. [?1, 2] B. [?2,1] C. [?3, ?2] D. [?3,1]

7.平行四边形 ABCD 中, AB · BD =0,沿 BD 将四边形折起成直二面角 A 一 BD-C,

??? ?

??? ?

且 2 AB ? BD ? 4 ,则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为( A.

2

2

) D.

? 2

B.

? 4

C. 4?

? 2

8.已知函数 g ( x) ?

1 3 m x ? x ? m ? (m ? 0) 是 [1, ??) 上的增函数.当实数 m 取最大值时, 3 x

若存在点 Q ,使得过点 Q 的直线与曲线 y ? g ( x ) 围成两个封闭图形,且这两个封闭图形的面 积总相等,则点 Q 的坐标为 ( )

? 3) A. (0,

3) B. (0,

? 2) C. (0,

2) D. (0,

9. 已知中心在原点, 焦点在坐标轴上的双曲线与圆 x 2 ? y 2 ? 17 有公共点 A(1, ?4) , 且圆在 A 点的切线与双曲线的渐近线平行,则双曲线的离心率为 A.

17 4

B. 17

C.

17 或 17 4

D.以上都不对

10.函数 f ( x) ? ? 为( A.1 ) B.

?log 2 x,
2

x ?0

? x ? 4 x ? 1, x ? 0

,若实数 a 满足 f ( f (a)) =1,则实数 a 的所有取值的和

17 ? 5 16

C. ?

15 ? 5 16

D. ?2

11. 已知双曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1, 其左、 右焦点分别是 F1 、F2 . 已知点 ? 坐标为 ? 2,1? , 4 5

???? ???? ? ???? ? ???? ? PF1 ? MF1 F2 F1 ? MF1 ???? ? ???? ? , 双曲线 C 上点 ? ? x0 , y0 ? ( x0 ? 0 ,y0 ? 0 ) 满足 则 S?PMF1 ? S?PMF2 ? | PF1 | | F2 F1 |
( ) A. ?1 B. 1 C. 2 D. 4

12 . 已 知 定 义 在 [0,??) 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x) ? 2 f ( x ? 2) , 当 x ? [0,2) 时 ,

f ( x) ? ?2 x 2 ? 4 x ,设 f ( x) 在 [2n ? 2,2n) 上的最大值为 an (n ? N ? ) ,且 {an }的前 n 项和为
Sn ,则 Sn =(
A. 2 ? ) . B. 4 ?

1 2n ?1

1 2
n?2

C. 2 ?

1 2n

D. 4 ?

1 2n ?1

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题---第 21 题为必考题, 每个试题考 生都必须做答。第 22 题—第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
13 . 若 函 数 f ( x) ? logt | x ? 1 | 在 区 间 ( ?2,?1) 上 恒 有

f ( x) ? 0 , 则 关 于 t 的 不 等 式

f (8 ?1) ? f (1) 的解集为_______.
t

14.记 min{a , b} ? ? t 的最大值为

?b, a ? b y } 也在变化,则 ,当正数 x 、 y 变化时, t ? min{x, 2 x ? y2 ?a, a ? b


15 .如图在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8, AD ? 4 ,

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的值是


x

16 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ln x ? ax 在 ?0, e ? 上 是 增 函 数 , 函 数 g ( x ) ? e ? a ?

a2 ,当 2

3 x ? ?0, ln 3? 时,函数 g ( x) 的最大值 M 与最小值 m 的差为 ,则 a ? 2



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? cos(2 x ?
4? ) ? 2 cos 2 x., 3

(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值,并写出使 f ( x) 取最大值时 x 的集合;
3 ?? 12 (Ⅱ)已知 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 f ( B ? C ) ? , , ,求 ?ABC ba ?c 2

的面积的最大值. 18. (本小题共 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? n(2 ? Sn ), n ? N * ,若 bn ? ?, n ? N * 恒成立,求实数 ? 的取值范 围; (3)设 cn ?

1 n ?1 , an ?1 ? an . 2 2n

2 ? Sn 3 , n ? N * , Tn 是数列 ?cn ?的前 n 项和,证明 ? Tn ? 1 . 4 n(n ? 1)

19 . (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,

?BAC ? 90? , AB ? 2, AC ? 6 , 点 D 在 线 段 BB1 上 , 且 B D?

1 , B1 B 3

A1C ? AC1 ? E .

(Ⅰ)求证:直线 DE 与平面 ABC 不平行; (Ⅱ)设平面 ADC1 与平面 ABC 所成的锐二面角为 ? ,若 cos? ?

7 ,求 AA1 的长; 7

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设平面 ADC1 ? 平面 ABC ? l ,求直线 l 与 DE 所成的角的余弦值.

x2 y 2 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的下顶点为 P(0,-1), P 到焦点 a b
的距离为 2 . (Ⅰ)设 Q 是椭圆上的动点,求 | PQ | 的最大值; (Ⅱ)若直线 l 与圆 O:x +y =1 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A、B.当 OA? OB ? ? ,且
2 2

2 3 ? ? ? 时,求 ? AOB 面积 S 的取值范围. 3 4 1 ? 2 ln x 21.已知 f ? x ? ? . x2
满足 (1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)令 g ? x ? ? ax ? 2ln x ,则 g ? x ? ? 1 时有两个不同的根,求 a 的取值范围;
2

x 1 ? lnx (3)存在 x1 , x2 ? ?1, ??? 且 x1 ? x2 ,使 f ? x 1 ? ? f ?x 2 ? ?k ln
范围.

2

成立,求 k 的取值

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 CB 与 ? O 相切于 B , 如图, 连接 AC 、 E 为线段 CB 上一点, AB 是 ? O 的直径, AE 分别交 ? O 于 D 、 G 两点,连接 DG 交 CB 于点 F . (Ⅰ)求证: C , E , G, D 四点共圆; (Ⅱ)若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E , EG ? 1 , GA ? 3 ,求线段 CE 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 3 ? y ? 3t

, ( t 为参数) ,以坐标原点为极点,

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围. 24. (本题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲

已知 f (x) ? 2x ?1 ? x ? 1 (1)求 f (x) ? x 的解集; (2)若 a ? b ? 1, 对?a, b ? (0, ??),

1 4 ? ? 2 x ? 1 - x ? 1 恒成立,求 x 的取值范围. a b
理科数学参考答案

一、选择题:1B

2.D 3.C 4.C 5.C 6.B 7.C

8.C 9.B 10.C 11.C 12.B 16.

二、填空题:13. ( ,1)

1 3

14.

2 2

15.4

5 2

二、解答题: 17. (Ⅰ) f ( x) ? cos(2 x ?

4? 4? 4? ) ? 2cos 2 x ? (cos 2 x cos ? sin 2 x sin ) ? (1 ? cos 2 x) 3 3 3

1 3 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 ????3 分 2 2 3
所以 f ( x) 的最大值为 2 ????4 分 此时 cos(2 x ?

?
3

) ? 1,2 x ?

?

? ? ? ? 2k? (k ? Z ) 故 x 的集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? 3 6 ? ? ?5 分
?
3 ] ?1 ? 3 ? 1 ,即 cos(2? ? 2 A ? ) ? . 2 3 2

(Ⅱ)由题意, f ( B ? C ) ? cos[2( B ? C ) ? 化简得 cos(2 A ?

?
3

)?

1 7分 2 ? (?

A ? (0, ? ) ,? 2 A ?

?
3

? 5?
3 , 3

) ,只有 2 A ?

?
3

?

?
3

,A?

?

. 3 ??8 分

在 ?ABC 中, a ? 1, A ?

? ? 2 2 2 由余弦定理, a ? b ? c ? 2bc cos 3 3

2 2 即 1 ? b ? c ? bc ? bc ,当且仅当 b ? c 取等号,??10 分

1 3 3 S?ABC ? bc sin A ? bc ? 2 4 4 ??12 分
. 18. (1)由已知得

an ?1 1 an * ? ,其中 n ? N n ?1 2 n

所以数列 {

an 1 1 } 是公比为 的等比数列,首项 a1 = 2 2 n
3分

?

1 an 1 ? n ,所以 an = n( )n n 2 2

由(1)知 Sn =

1 2 3 n 1 1 2 3 n + 2 + 3 + L + n 所以 Sn = 2 + 3 + 4 L + n + 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以

1 1 1 1 1 n 1 n?2 Sn = + 2 + 3 + L + n - n+ 1 ? S n ? 1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2
n?2 2n
7分

? Sn ? 2 ?
因此 bn =

( n + 1)( n + 3) n( n + 2) - n2 + 3 n( n + 2) b b = = , n+ 1 n 2n 2n+ 1 2n 2n+ 1

所以,当 n = 1 , b2 - b1 > 0 即 b2 > b1 , n ? 2, bn?1 ? bn ? 0 即 bn+ 1 < bn 所以 b2 是最大项

b2 = 2,

所以 ? ? 2 .

.9 分

Cn ?
(3)

n?2 1 1 ? 2( n ? ), 2 n(n ? 1) n2 (n ? 1)2n ?1
n

?Tn ? 2(

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ……+ ? ) n 2 ?1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 3 n ? 2 (n+1) ? 2n+1
1

? 1?

1 2 (n ? 1)
n

又令 f (n) ?

1 1 * ,显然 f ( n) 在 n ? N 时单调递减,所以 0 ? f ( n) ? f (1) ? 4 2 ( n ? 1)
n

故而 19.

3 ? Tn ? 1 4

12 分

依题意,可建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

h? h? ? ? 设 AA1 ? h ,则 B ? 2,0,0 ? , C ? 0,6,0 ? , D ? 2,0, ? , A1 ? 0,0, h ? , C1 ? 0,6, h ? , E ? 0,3, ? . 3? 2? ? ? ? ? ? (Ⅰ)证明:由 AA1 ? 平面 ABC 可知 n1 ? ? 0,0,1? 为平面 ABC 的一个法向量. ???? ?? ? ? h? h ∴ DE ? n1 ? ? ?2,3, ? ? ? 0, 0,1? ? ? 0 . 3分 6? 6 ? ∴ 直线 DE 与平面 ABC 不平行. 4 分 ?? ? (Ⅱ)设平面 ADC1 的法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,则

2分

? ???? ? ?? h? h ? n ? 2 ? AD ? ? x, y, z ? ? ? 2,0, 3 ? ? 2 x ? 3 z ? 0 , 5分 ? ? ? ?? ? ?n? ? ???? ? 2 AC1 ? ? x, y, z ? ? ? 0,6, h ? ? 6 y ? hz ? 0
?? ? 取 z ? ?6 ,则 x ? y ? h ,故 n2 ? ? h, h, ?6? . 6 分

?? ? ?? ? n1 ? n2 ?? ? ?? ? 6 7 ? ∴ cos ? ? cos ? n1 , n2 ? ? ?? , 7分 ? ?? ?= 2 7 n1 n2 1 ? 2h ? 36

解得 h ? 6 3 . ∴ AA1 ? 6 3 . 8 分 (Ⅲ)在平面 BCC1 B1 内,分别延长 CB、C1 D ,交于点 F ,连结 AF ,则直线 AF 为平面 ADC1 与平面 ABC 的交线. 9 分 ??? ? 1 ??? ? BF BD 1 1 1 ∵ BD //CC1 , BD= BB1 = CC1 ,∴ ? ? .∴ BF ? CB , 2 3 3 FC CC1 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ∴ AF ? AB ? BF ? AB ? CB ? ? 2,0,0? ? ? 2, ?6,0? ? ? 3, ?3,0? . 10 分 2 2 ???? ? h? 由(Ⅱ)知, h ? 6 3 ,故 DE ? ? ?2,3, ? ? ?2,3, 3 , 6? ?

?

?

? ???? AF ? DE ?15 5 ∴ cos ? ??? AF , DE ?? ??? ?? 2 . 11 分 ? ???? ? AF DE 3 2?4 8

??? ? ????

∴ 直线 l 与 DE 所成的角的余弦值为 ?

5 5 2 ? 2 . 12 分 8 8
1分

20 (1)易知椭圆的方程为 设 Q ( x, y ) , PQ ?

x2 ? y2 ? 1 2

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2(1 ? y 2 ) ? ( y ? 1) 2 ? ?( y ? 1) 2 ? 4(?1 ? y ? 1) .
4分

∴当 y ? 1 时, PQ max ? 2 .

(2)依题结合图形知的斜率不可能为零,所以设直线 l 的方程为 x ? my ? n ( m ? R ). ∵直线 l 即 x ? m y ? n ? 0 与圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 相切, ∴有:

|n| m ?1
2

? 1得 n 2 ? m 2 ? 1 .

6分

又∵点 A、B 的坐标( x1 , y 1 )、( x2 , y 2 )满足: ? 消去整理得 (m 2 ? 2) y 2 ? 2mny? n 2 ? 2 ? 0 , 由韦达定理得 y1 ? y 2 ? ?
2 2

? x ? my ? n
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

n2 ? 2 2mn y y ? , . 1 2 m2 ? 2 m2 ? 2
2 2 2 2

其判别式 ? ? 4m n ? 4(m ? 2)(n ? 2) ? 8(m ? n ? 2) ? 8 , 又由求根公式有 y1、 2 ?
? ?

? 2mn ? ? .??8 分 2(m 2 ? 2)

∵ ? = OA? OB = x1 x2 ? y1 y 2 ? (my1 ? n)(my2 ? n) ? y1 y 2

? (m 2 ? 1) y1 y 2 ? m n( y1 ? y 2 ) ? n 2 ?

3n 2 ? 2m 2 ? 2 m 2 ? 1 ? 2 . m ?2 m2 ? 2

9分

S ?AOB ?
?

1 | n( y 2 ? y1 ) | 2
10 分

1 ? m2 ?1 m2 ? 1 1 | n|? 2 ? 2? . ? 2? ? 2 2 2 2 2 m ?2 (m ? 2) m ?2 m ?2



m2 ? 1 m2 ? 1 1 2 3 ? ? ? 1 ,且 ∈[ , ]. ? 2 2 2 m ?2 m ?2 m ?2 3 4

∴ S ?AOB ?

2 ? ? ? (1 ? ? ) ∈[
f ?? x? ?

6 2 , ]. 4 3

12 分

21. 解: (1) 调递增; 综上,

?4 ln x x 3 .令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 1 , x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单

x ? ?1, ?? ?

时,

f ? ? x? ? 0



f ? x?

单调递减.

f ? x?

单调递增区间为

? 0,1? ,单调递减区间为 ?1, ??? .??3 分

(2)

g ? ? x ? ? 2ax ?

2 2 2 ? ax ? 1? ? x x ??4 分

①当 a ? 0 时,

g? ? x ? ? 0

,单调递减,故不可能有两个根,舍去??5 分

? 1? x?? ? 0, a ? ? ? ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, ②当 a ? 0 时, ? 1 ? ? 1? x?? , ?? g ? ? ? ? a ? ? ? ?1 ? ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增.所以 ? a ? 得 0 ? a ? 1 .??6 分

x ? 0, g ( x) ? ??, x ? ??, g ( x) ? ?? ,所以 0 ? a ? 1 ??7 分
(3)不妨设

x1 ? x2 ? 1 ,由(1)知 x ? ?1, ?? ? 时, f ? x ? 单调递减.
,等价于

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? k ln x1 ? ln x2


f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? k ? ln x1 ? ln x2 ?

f ? x2 ? ? k ln x2 ? f ? x1 ? ? k ln x1
x1


??8 分

存在 令

x2 ? ?1, ???



x1 ? x2 ,使 f ? x2 ? ? k ln x2 ? f ? x1 ? ? k ln x1 成立

h ? x ? ? f ? x ? ? k ln x



h ? x?



?1, ??? 存在减区间??9 分

h? ? x ? ?

? 4 ln x ? kx 2 ? 4 ln x 4 ln x k ?? 2 ? k ? ? 0 ? x ?max x 2 有解,即 x3 有解,即
4 ?1 ? 2 ln x ? 4 ln x t? ? x ? ? x ? 0, e 2 x , x3 , 时, t ?( x) ? 0, t ( x) 单调递增,



t ? x? ?

?

?

x?

?

e , ??

? 时, t?( x) ? 0, t( x) 单调递减, ? ?

2 ? 4ln x ? ? 2 ? x ?max e ,

?

k?

2 e .??12 分

22. (Ⅰ)连接 BD ,则 ?AGD ? ?ABD , 又因为 ?ABD ? ?DAB ? 90? , ?C ? ?CAB ? 90? ,所以 ?C ? ?ABD 所以 ?C ? ?AGD ,所以 ?C ? ?DGE ? 180? ,所以 C , E , G, D 四点共圆 5 分
2 (Ⅱ)因为 EG ? EA ? EB ,则 EB ? 2 ,又 F 为 EB 三等分,所以 EF ?

2 4 , FB ? , 3 3

由于 C , E , G, D 四点共圆,由割线定理得 FG ? FD ? FE ? FC ,

FB 与⊙ O 相切于 B ,由切割线定理得 FG ? FD ? FB2
2 所以 FE ? FC ? FB ,则 FC ?

8 ,故 CE ? 2 10 分 3

考点:四点共圆的判定定理,切割线定理. 23. (Ⅰ)直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 3 3 ? 0 ; 2 分 曲线 C 的直角坐标方程为: ( x ? 2) ? y ? 1 5 分
2 2

(Ⅱ)设点 P(2 ? cos? , sin ? ) (? ? R ) ,则

| 3(2 ? cos? ) ? sin ? ? 3 3 | d? ? 2
所以 d 的取值范围是 [

| 2 cos(? ? ) ? 5 3 | 6 2

?

5 3 5 3 ? 1, ? 1] 10 分 2 2

? ?? x ? 2, x ? ?1 ? 1 ? 24. ∵ f ( x) ? ??3 x, ?1 ? x ? , 如图: ??3 分 2 ? 1 ? x ? 2, x ? ? ? 2
( 1 ) f (x) ? 2x ?1 ? x ?1 当 x ? ?1 时, f (x) ? x 得 1 ? 2 x ? x ? 1 ? x, 即得 x ? ?1 ;当

?1 ? x ?

1 1 时 , f ( x )? x得 1 ? 2 x ? x ? 1 ? x, 即 ?1 ? x ? 0 ; 当 x ? 时 , f ( x )? x得 2 2

2 x ? 1 ? (x ? 1) ? x ,得-2>0 无解;综上 x ? 0 ,所以 f (x) ? x 的解集为 ? x x ? 0? . 5 分
(2)∵ a, b ? (0, ??), 且 a ? b ? 1 ,所以

b 4a 1 4 1 4 b 4a b 4a ? ? ( ? )(a ? b) ? 5 ? ( ? ) ? 5 ? 2 ? ? 9 ,当且仅当 ? 时等号成立, a b a b a b a b a b

1 2 , b ? .??8 分 3 3 1 4 由 ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 恒成立,∴ 2x ?1 ? x ? 1 ? 9 ,结合图像知: ?7 ? x ? 11 ,∴ x 的 a b 取值范围是: ?7 ? x ? 11 .??10 分
即a ?

理科数学参考答案(教师版) 1.B 因为 M ? {x | 0 ? x ? 2} , N ? { y | y ? 1} ,所以 M ? N ? (0,1] ,故选 B. 2.D 解: =i+i=2i. 3.CA 中,令 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, ??) 为增函数,所 以 f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 x ? sin x ,所以不存在 x0 ? 0 ,使得 x0 ? sin x0 ,不正确; B 中当 ﹣ = ﹣ = ﹣

b ? a ? 0 时 , l na ? l b n 不 成 立 , 不 正 确 ; D 中 , f ?( x)? 32 x ? 6a x ? , b则有

a?b ? 0 ?3 ? 6 ?a ? 2 ?a ? 1 , 解 得 或 , 而 当 a ? 1, b ? 3 时 , ? ? ? 2 b ? 9 b ? 3 ? 1 ? 3 a ? b ? a ? 0 ? ? ?
f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3 ? 3( x ?1)2 ? 0 ,此时函数无极值,故 D 不正确; C 正确,故选 C.

4 . C

?

?

4 0

? ? cos 2 x cos 2 x ? sin 2 x 4 dx ? ? dx ? ? 4 (cos x ? sin x)dx ? (sin x ? cos x) 4 0 0 cos x ? sin x cos x ? sin x 0

?

? 2 ? 1 ,故选 C.
5 . C 该器皿的表面积可分为两部分:去掉一个圆的正方体的表面积 s1 和半球的表面积

1 ? s ? s1 ? s2 ? ? ? 24 , 故选:C. s 2 , s1 ? 6 ? 2 ? 2 ? ? ?12 ? 24 ? ?,s2 ? ? 4? ?12 ? 2?, 2 7 11 6. B 作出约束条件表示的可行域, 如图所示的 ?ABC 内部 (含边界) , 其中 A(1,1) ,B ( , ) , 3 3

C (2, 4) ,
y

C B

A O x

z ? ax ? y 的最大值为 2a ? 4 ,最小值为 a ? 1 ,说明 z 在点 C 处取得最大值,在点 A 处取得

最小值,则有 kBC ? ?a ? kBA , k BC

11 11 ?1 3 ? ?1 , k ? 3 ? ? 2 ,所以 ?1 ? ?a ? 2 ,即 AB 7 7 2? ?1 3 3 4?

?2 ? a ? 1 ,选 B. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 7.C AB ? BD ? 0 ,所以 AB ? BD ,因为 ABCD 为平行四边形,所以 CD ? BD, AB ? CD .
因 为

A?

B? D 为 C 直 二 面 角 , 所 以

面ABD ? 面CBD

,





面ABD ? 面CBD=BD , AB ? 面ABD , AB ? BD , 所以 AB ? 面CBD . 因为 BC ? 面CBD , 所以

AB ? BC . 分 析 可 知 三 棱 锥 A ? B C D 的 外 接 球 的 球 心 为 AC 的 中 点 . 因 为
2 2 AC ? AB ?

B 2C ?

2 A ( B ?

2 C ? D ) 2B 2 ? D

2

A ?B

2

4 C ,? 所D 以 AC ? 2 . 则 三 棱 锥

A ? BCD 的外接球的半径为 1,表面积为 4? .故 C 正确. m m 2 2 2 g '( x ) ? x 2 ? 1 ? 2 ? 0 恒成立, 8. C g '( x ) ? x ? 1 ? 2 , 由题意 x ? 1 时, 所以 m ? x ( x ? 1) , x x
2 2 而 当 x ? 1 时 , x ( x ? 1) ? 1? (1 ? 1) ? 2 , 所 以 m ? 2 , 即 m 的 最 大 值 为 2 . 此 时

g ( x) ?

1 3 2 1 2 x ? x ? 2 ? ,由于函数 h( x) ? g ( x) ? 2 ? x3 ? x ? 是奇函数,关于点 (0, 0) 对 3 x 3 x

称,所以函数 g ( x) 的图象关于点 (0, ?2) 对称,所以点 Q 的坐标为 (0, ?2) . 9. B 由题意圆在 A 点的切线方程为 x ? 4 y ? 17 ? 0 , 因为圆在 A 点的切线与双曲线的渐近线 平行, 故双曲线的渐近线为 x ? 4 y ? 0 , 可设双曲线的方程为 x ? 16 y ? ? , 将点 A(1, ?4) 代
2 2







? ? ?255









线







x 2 ? 16 y 2 ? ?255 ?

y x c ? ? 1? e ? ? 255 255 a 16

2

2

255 ? 255 16 ? 17 255 16

10 . C 令 t ? f (a ) ,则 f (t ) ? 1 ,当 t ? 0 时,由 f (t ) ? log2 t ? 1 得 t ? 2 ;当 t ? 0 时,由

f (t ) ? t 2 ? 4t ? 1 ? 1得 t ? 0 或 t ? ?4 ,所以 f (a ) ? 2 或 f (a ) ? 0 或 f (a ) ? ?4 ;

a?2 , 此 时 a ?4 ; 当 a ?0 时 , 若 f ( a ) ? 2 , 当 a ? 0 时 , f (a ) ? l o 2 g
f (a) ? a 2 ? 4a ? 1 ? 2 ,此时 a ? ?2 ? 5 ( a ? ?2 ? 5 舍去) ;

a ?0 , 此 时 a ?1 ; 当 a ? 0 时 , 若 f ( a ) ? 0 , 当 a ? 0 时 , f (a ) ? l o 2 g
f (a) ? a 2 ? 4a ? 1 ? 0 ,此时 a ? ?2 ? 3 或 a ? ?2 ? 3 ;

a ? ?4 , 此 时 a ? 1 ; 当 a ? 0 时 , 若 f (a ) ? ?4 , 当 a ? 0 时 , f (a) ? l o 2g
16
f (a) ? a 2 ? 4a ? 1 ? ?4 ,此时方程无解;
15 1 ? 5 ,故选 C. ,其和为 ? 16 16 ???? ???? ? ???? ? ???? ? PF1 ? MF1 F2 F1 ? MF1 ???? ? ???? ? 11 . C 由 条 件 , 得 F1 (?3,0) , F2 (3,0) . 因 为 ,所以 | PF1 | | F2 F1 |
所以 a 所有可能值为 4,?2 ? 5 ,1,?2 ? 3,?2 ? 3,

(?3 ? x0 , ? y0 )? (?3 ? 2, ?1) (?3 ? x0 )2 ? y02
5 15 x0 ? 理, 得 y0 ? 12 12
或 x0 ? ?



(?3 ? 3, 0)?(?3 ? 2, ?1) ,即 6

15 ? 5x0 ? y0 x0 2 ? 6 x ? 9 ? y0 2

? 5 ,化简整

x2 y2 ? ? 1, ①. 又 P 在双曲线上, 所以把①代入双曲线 解得 x0 ? 3 4 5

5 63 (舍去) ,所以 P (3, ) ,所以直线 PF1 的方程为 5x ? 12 y ? 15 ? 0 ,所以点 M 到 2 31

直线 PF1 的距离 d ?

| 5 ? 2 ? 12 ? 15 | 52 ? (?12)2

? 1 .易知点 M 到 x 轴、直线 PF2 的距离均为 1,所以点

???? ? 1 ???? 1 M 是 ?PF1F2 的内心,所以 S?PMF1 ? S?PMF2 = (| PF1 | ? | PF2 |) ? 1= ? 4 ?1 = 2 ,故选 C. 2 2
12 . B 因 为 定 义 在 [0,??) 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x) ? 2 f ( x ? 2) 恒 成 立 , 所 以

f

?

x? 2 ? ?

1 f? ?x 2







f ? x ? 4? ?

1 1 1 f ? x ? , f ? x ? 6 ? ? 3 f ? x ? ,? , f ? x ? 2n ? ? n f ? x ? .设 x ?[2n ? 2, 2n ) , 2 2 2 2

则 x ? 2n ? 2 ??0,2? . 因 为 当 x ? [0,2) 时 , f ( x) ? ?2 x 2 ? 4 x , 所 以 f ? ? x ? ? 2n ? 2 ? ? ?=
2 1 ?2 ? ? x ? ? 2n ? 2 ? ? ? , 所 以 21? n f ? x ? ? 2n ? 2 ? ? ? + 4?

?x ??

? 2 ? x ?2 x ? ?1
2

?2 ,所以

2 ? x 2? n ? 1? ? , 2 x ?[2n ? 2, 2n) ,所以 x ? 2n ? 1 时, f ( x) 的最大值为 ? 1 2 2 ? n ,即 an ? 22?n ,所以前 n 项和为 S n ? 4 ? n ? 2 ,故选 B. 2 1 13.( ,1) 因为 x ? (?2, ?1) , 所以 | x ? 1|? (0,1) . 又函数 f ( x) ? logt | x ? 1 | 在区间 ( ?2,?1) 上 3

f

?2 ?x ? ? 21?n ? ? ?

恒有

f ( x) ? 0 , 所 以 0 ? t ? 1 , 所 以 函 数 f ? x ? 在 定 义 域 内 为 减 函 数 , 所 以 不 等 式

1 f (8t ?1) ? f (1) 等价于 8t ? 1 ? 1 ,解得 ? t ? 1 . 3
14 .

y y xy 1 2 2 2 2 若x? 2 ,则 t ? x , t ? x ? x ? 2 , 当且仅当 ? ? .故 t ? 2 2 2 2 x ?y x ?y 2 xy 2 y y y xy 1 2 2 ? x , 则t ? 2 时取“=” ;若 2 ,t ?( 2 )2 ? ? .故 2 2 2 x ?y x ?y 2 x ?y 2 xy 2

x? y?

t?


2 2 2 2 ,当且仅当 x=y= 时取“=” .综上可知,当 x ? y ? 时,t 取最大值为 . 2 2 2 2
??? ? ??? ? ????

? 3 ??? ? 1 ???? ??? DC )( BC ? CD ) 4 4 ???? 3 ??? ? ???? 2 1 ??? ? ???? 3 ??? ?2 ? ???? ??? ? ???? 1 ??? ( AD ? AB) ? AD ? AB ? AD ? AB ? 16 ? AB ? AD ? 12 ? 2 解得 AB ? AD ? 4 . 4 2 16 2 5 ' 16. 因为函数 f ( x) ? ? x ln x ? ax 在 ?0, e ? 上是增函数, 所以 f ( x) ? a ? 1 ? ln x ? 0 在 ?0, e ? 2
15.4 由题意 AP ? BP ? ( AD ?

? a2 x a ? e ? ,0 ? x ? ln a a2 ? ? 2 x ?? 上恒成立,即 a ? 2 ? 0 ,即 a ? 2 ;因为 g ( x) ? e ? a ? ,若 2 ? x a2 e ? a ? , x ? ln a ? 2 ?
ln a ? ln 3 ,即 a ? 3 时, g ( x) 在 ?0, ln 3? 单调递减,则 M ? m ? g (0) ? g (ln3) ? 2 (舍) ,
当 ln a ? ln 3 , 即 2 ? a ? 3 时 , 函 数 g ( x) 在 ?0, ln a ? 上 递 减 , 在 ?ln a, ln 3? 上 递 增 , 且

g (0) ? g (ln 3) ? 2a ? 4 ? 0







3 M ? m ? g (0) ? g ( a) l? n 2





(a ? 1 ?

a2 a2 3 5 5 )? ? a ? 1 ? ,解得 a ? ;故填 . 2 2 2 2 2

17. (Ⅰ) f ( x) ? cos(2 x ?

4? 4? 4? ) ? 2cos 2 x ? (cos 2 x cos ? sin 2 x sin ) ? (1 ? cos 2 x) 3 3 3

1 3 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 ????3 分 2 2 3
所以 f ( x) 的最大值为 2 ????4 分 此时 cos(2 x ?

?
3

) ? 1,2 x ?

?

? ? ? ? 2k? (k ? Z ) 故 x 的集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? 3 6 ? ? ?5 分
?
3 ] ?1 ? 3 ? 1 ,即 cos(2? ? 2 A ? ) ? . 2 3 2

(Ⅱ)由题意, f ( B ? C ) ? cos[2( B ? C ) ? 化简得 cos(2 A ?

?
3

)?

1 7分 2 ? (?

A ? (0, ? ) ,? 2 A ?

?
3

? 5?
3 , 3

) ,只有 2 A ?

?
3

?

?
3

,A?

?

. 3 ??8 分

在 ?ABC 中, a ? 1, A ?

? ? 2 2 2 由余弦定理, a ? b ? c ? 2bc cos 3 3

2 2 即 1 ? b ? c ? bc ? bc ,当且仅当 b ? c 取等号,??10 分

1 3 3 S?ABC ? bc sin A ? bc ? 2 4 4 ??12 分
. 18. (1)由已知得

an ?1 1 an * ? ,其中 n ? N n ?1 2 n

所以数列 {

an 1 1 } 是公比为 的等比数列,首项 a1 = 2 2 n
3分

?

1 an 1 ? n ,所以 an = n( )n n 2 2

由(1)知 Sn =

1 2 3 n 1 1 2 3 n + 2 + 3 + L + n 所以 Sn = 2 + 3 + 4 L + n + 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以

1 1 1 1 1 n 1 n?2 Sn = + 2 + 3 + L + n - n+ 1 ? S n ? 1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2

? Sn ? 2 ?
因此 bn =

n?2 2n

7分

( n + 1)( n + 3) n( n + 2) - n2 + 3 n( n + 2) , b b = = n+ 1 n 2n 2n+ 1 2n 2n+ 1

所以,当 n = 1 , b2 - b1 > 0 即 b2 > b1 , n ? 2, bn?1 ? bn ? 0 即 bn+ 1 < bn 所以 b2 是最大项

b2 = 2,

所以 ? ? 2 .

.9 分

Cn ?
(3)

n?2 1 1 ? 2( n ? ), 2 n(n ? 1) n2 (n ? 1)2n ?1
n

?Tn ? 2(

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ……+ ? ) n 2 ?1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 3 n ? 2 (n+1) ? 2n+1
1

? 1?

1 2 (n ? 1)
n

又令 f (n) ?

1 1 * ,显然 f ( n) 在 n ? N 时单调递减,所以 0 ? f ( n) ? f (1) ? 4 2 ( n ? 1)
n

故而 19.

3 ? Tn ? 1 4

12 分

依题意,可建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

h? h? ? ? 设 AA1 ? h ,则 B ? 2,0,0 ? , C ? 0,6,0 ? , D ? 2,0, ? , A1 ? 0,0, h ? , C1 ? 0,6, h ? , E ? 0,3, ? . 3? 2? ? ? ? ? ? (Ⅰ)证明:由 AA1 ? 平面 ABC 可知 n1 ? ? 0,0,1? 为平面 ABC 的一个法向量. ???? ?? ? ? h? h ∴ DE ? n1 ? ? ?2,3, ? ? ? 0, 0,1? ? ? 0 . 3分 6? 6 ? ∴ 直线 DE 与平面 ABC 不平行. 4 分 ?? ? (Ⅱ)设平面 ADC1 的法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,则

2分

? ???? ? ?? h? h ? ?n2 ? AD ? ? x, y, z ? ? ? 2,0, 3 ? ? 2 x ? 3 z ? 0 , 5分 ? ? ? ?? ? ?n? ? ???? ? 2 AC1 ? ? x, y, z ? ? ? 0,6, h ? ? 6 y ? hz ? 0
?? ? 取 z ? ?6 ,则 x ? y ? h ,故 n2 ? ? h, h, ?6? . 6 分

?? ? ?? ? n1 ? n2 ?? ? ?? ? 6 7 ? ∴ cos ? ? cos ? n1 , n2 ? ? ?? , 7分 ? ?? ?= 2 7 n1 n2 1 ? 2h ? 36

解得 h ? 6 3 . ∴ AA1 ? 6 3 . 8 分 (Ⅲ)在平面 BCC1 B1 内,分别延长 CB、C1 D ,交于点 F ,连结 AF ,则直线 AF 为平面 ADC1 与平面 ABC 的交线. 9 分 ??? ? 1 ??? ? BF BD 1 1 1 ∵ BD //CC1 , BD= BB1 = CC1 ,∴ ? ? .∴ BF ? CB , 2 3 3 FC CC1 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ∴ AF ? AB ? BF ? AB ? CB ? ? 2,0,0? ? ? 2, ?6,0? ? ? 3, ?3,0? . 10 分 2 2 ???? ? h? 由(Ⅱ)知, h ? 6 3 ,故 DE ? ? ?2,3, ? ? ?2,3, 3 , 6? ?

?

?

? ???? AF ? DE ?15 5 ∴ cos ? ??? AF , DE ?? ??? ?? 2 . 11 分 ? ???? ? AF DE 3 2?4 8

??? ? ????

∴ 直线 l 与 DE 所成的角的余弦值为 ?

5 5 2 ? 2 . 12 分 8 8
1分

20 (1)易知椭圆的方程为 设 Q ( x, y ) , PQ ?

x2 ? y2 ? 1 2

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2(1 ? y 2 ) ? ( y ? 1) 2 ? ?( y ? 1) 2 ? 4(?1 ? y ? 1) .
4分

∴当 y ? 1 时, PQ max ? 2 .

(2)依题结合图形知的斜率不可能为零,所以设直线 l 的方程为 x ? my ? n ( m ? R ). ∵直线 l 即 x ? m y ? n ? 0 与圆 O: x ? y ? 1 相切,
2 2

∴有:

|n| m ?1
2

? 1得 n 2 ? m 2 ? 1 .

6分

又∵点 A、B 的坐标( x1 , y 1 )、( x2 , y 2 )满足: ?

? x ? my ? n
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

消去整理得 (m 2 ? 2) y 2 ? 2mny? n 2 ? 2 ? 0 , 由韦达定理得 y1 ? y 2 ? ?

n2 ? 2 2mn y y ? , . 1 2 m2 ? 2 m2 ? 2

其判别式 ? ? 4m 2 n 2 ? 4(m 2 ? 2)(n 2 ? 2) ? 8(m 2 ? n 2 ? 2) ? 8 , 又由求根公式有 y1、 2 ?
? ?

? 2mn ? ? .??8 分 2(m 2 ? 2)

∵ ? = OA? OB = x1 x2 ? y1 y 2 ? (my1 ? n)(my2 ? n) ? y1 y 2

? (m 2 ? 1) y1 y 2 ? m n( y1 ? y 2 ) ? n 2 ?

3n 2 ? 2m 2 ? 2 m 2 ? 1 ? 2 . m ?2 m2 ? 2

9分

S ?AOB ?
?

1 | n( y 2 ? y1 ) | 2
10 分

1 ? m2 ?1 m2 ? 1 1 | n|? 2 ? 2? . ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 m ?2 (m ? 2) m ?2 m ?2



m2 ? 1 m2 ? 1 1 2 3 ? ? ? 1 ,且 ∈[ , ]. ? 2 2 2 m ?2 m ?2 m ?2 3 4

∴ S ?AOB ?

2 ? ? ? (1 ? ? ) ∈[
f ?? x? ?

6 2 , ]. 4 3

12 分

21. 解: (1) 调递增; 综上,

?4 ln x x 3 .令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 1 , x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单

x ? ?1, ?? ?

时,

f ? ? x? ? 0



f ? x?

单调递减.

f ? x?

单调递增区间为

? 0,1? ,单调递减区间为 ?1, ??? .??3 分

2 2 2 ? ax ? 1? g ? ? x ? ? 2ax ? ? x x (2) ??4 分

①当 a ? 0 时,

g? ? x ? ? 0

,单调递减,故不可能有两个根,舍去??5 分

? 1? x?? 0, ? ? a? ? ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, a ? 0 ②当 时,

? 1 ? ? 1? x?? , ?? g ? ? ? a ? ? a? ? ?1 ? ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增.所以 ? ? 得 0 ? a ? 1 .??6 分

x ? 0, g ( x) ? ??, x ? ??, g ( x) ? ?? ,所以 0 ? a ? 1 ??7 分
(3)不妨设

x1 ? x2 ? 1 ,由(1)知 x ? ?1, ?? ? 时, f ? x ? 单调递减.
,等价于

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? k ln x1 ? ln x2


f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? k ? ln x1 ? ln x2 ?

f ? x2 ? ? k ln x2 ? f ? x1 ? ? k ln x1
x1


??8 分

存在 令

x2 ? ?1, ???



x1 ? x2 ,使 f ? x2 ? ? k ln x2 ? f ? x1 ? ? k ln x1 成立

h ? x ? ? f ? x ? ? k ln x



h ? x?



?1, ??? 存在减区间??9 分

h? ? x ? ?

? 4 ln x ? kx 2 ? 4 ln x 4 ln x k ?? 2 ? k ? ? 0 ? x ?max x 2 有解,即 x3 有解,即
4 ?1 ? 2 ln x ? 4 ln x t? ? x ? ? x ? 0, e 2 x , x3 , 时, t ?( x) ? 0, t ( x) 单调递增,



t ? x? ?

?

?

x?

?

2 ? 4ln x ? ? ? ? 2 e , ?? x ?max e , 时, t ?( x) ? 0, t ( x) 单调递减, ?

?

?

k?

2 e .??12 分

22. (Ⅰ)连接 BD ,则 ?AGD ? ?ABD , 又因为 ?ABD ? ?DAB ? 90? , ?C ? ?CAB ? 90? ,所以 ?C ? ?ABD 所以 ?C ? ?AGD ,所以 ?C ? ?DGE ? 180? ,所以 C , E , G, D 四点共圆 5 分
2 (Ⅱ)因为 EG ? EA ? EB ,则 EB ? 2 ,又 F 为 EB 三等分,所以 EF ?

2 4 , FB ? , 3 3

由于 C , E , G, D 四点共圆,由割线定理得 FG ? FD ? FE ? FC ,

FB 与⊙ O 相切于 B ,由切割线定理得 FG ? FD ? FB2
2 所以 FE ? FC ? FB ,则 FC ?

8 ,故 CE ? 2 10 分 3

考点:四点共圆的判定定理,切割线定理. 23. (Ⅰ)直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 3 3 ? 0 ; 2 分 曲线 C 的直角坐标方程为: ( x ? 2) ? y ? 1 5 分
2 2

(Ⅱ)设点 P(2 ? cos? , sin ? ) (? ? R ) ,则

| 2 cos(? ? ) ? 5 3 | | 3(2 ? cos? ) ? sin ? ? 3 3 | 6 d? ? 2 2
所以 d 的取值范围是 [

?

5 3 5 3 ? 1, ? 1] 10 分 2 2

? ?? x ? 2, x ? ?1 ? 1 ? 25. ∵ f ( x) ? ??3 x, ?1 ? x ? , 如图: ??3 分 2 ? 1 ? x ? 2, x ? ? ? 2
( 1 ) f (x) ? 2x ?1 ? x ?1 当 x ? ?1 时, f (x) ? x 得 1 ? 2 x ? x ? 1 ? x, 即得 x ? ?1 ;当

?1 ? x ?

1 1 时 , f ( x )? x得 1 ? 2 x ? x ? 1 ? x, 即 ?1 ? x ? 0 ; 当 x ? 时 , f ( x )? x得 2 2

2 x ? 1 ? (x ? 1) ? x ,得-2>0 无解;综上 x ? 0 ,所以 f (x) ? x 的解集为 ? x x ? 0? . 5 分
(3)∵ a, b ? (0, ??), 且 a ? b ? 1 ,所以

b 4a 1 4 1 4 b 4a b 4a ? ? ( ? )(a ? b) ? 5 ? ( ? ) ? 5 ? 2 ? ? 9 ,当且仅当 ? 时等号成立, a b a b a b a b a b
1 2 , b ? .??8 分 3 3 1 4 由 ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 恒成立,∴ 2x ?1 ? x ? 1 ? 9 ,结合图像知: ?7 ? x ? 11 ,∴ x 的 a b 取值范围是: ?7 ? x ? 11 .??10 分
即a ?


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