高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第二课时三角函数线及其应用学案含解析新人教A

第二课时 三角函数线及其应用 [提出问题] 在平面直角坐标系中,任意角 α 的终边与单位圆交于点 P,过 P 作 PM⊥x 轴,过 A(1,0) 作 AT⊥x 轴,交终边或其反向延长线于点 T. 问题 1:根据上面的叙述画出 α 分别取 135°,30°,225°和-60°时的图形. 提示: 问题 2:由上面的图形结合三角函数定义,可以得到 sin α ,cos α ,tan α 与 MP,OM, AT 的关系吗? 提示:可以,|sin α |=|MP|, |cos α |=|OM|,|tan α |=|AT|. [导入新知] 1.有向线段 带有方向的线段叫做有向线段. 2.三角函数线 图示 正弦线 余弦线 正切线 α 的终边与单位圆交于 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴,有向线段 MP 即为正弦线 有向线段 OM 即为余弦线 过 A(1,0)作 x 轴的垂线,交 α 的终边或其终边的反向延长线于 T,有向线段 AT -1- 即为正切线 [化解疑难] 三角函数线的四个注意点 (1)位置:三条有向线段中有两条在单位圆内,一条在单位圆外; (2)方向:正弦线由垂足指向 α 的终边与单位圆的交点,余弦线由原点指向垂足,正切 线由切点指向切线与 α 的终边(或其延长线)的交点; (3)正负:三条有向线段中与 x 轴或 y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向的为负值; (4)书写:有向线段的始点字母在前,终点字母在后. 三角函数线的作法 3π [例 1] 作出 的正弦线、余弦线和正切线. 4 3π [解] 角 的终边(如图)与单位圆的交点为 P.作 PM 垂直于 x 轴, 4 3π 垂足为 M,过 A(1,0)作单位圆的切线 AT,与 的终边的反向延长线交 4 3π 于点 T,则 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT. 4 [类题通法] 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作 x 轴的垂 线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线. (2)作正切线时,应从 A(1,0)点引单位圆的切线,交角的终边或终边的反向延长线于一点 T,即可得到正切线 AT. [活学活用] 9π 作出- 的正弦线、余弦线和正切线. 4 解:如图所示, -2- - 9π 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT. 4 利用三角函数线比较大小 2π 4π 2π 4π 2π 4π [例 2] 分别比较 sin 与 sin ;cos 与 cos ;tan 与 tan 的大小. 3 5 3 5 3 5 [解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示.以 x 轴非负半轴为始 2π 边作 的终边与单位圆交于 P 点,作 PM⊥Ox,垂足为 M.由单位圆与 3 Ox 正方向的交点 A 作 Ox 的垂线与 OP 的反向延长线交于 T 点, 则 sin 2π 2π =MP,cos =OM,tan =AT. 3 3 2π 3 4π 4π 4π 4π 同理,可作出 的正弦线、余弦线和正切线,sin =M′P′,cos =OM′,tan 5 5 5 5 = AT′.由图形可知, MP>M′P′,符号相同,则 sin 2π 4π >sin ; OM>OM′,符号相同,则 3 5 2π 4π 2π 4π cos >cos ;AT<AT′,符号相同,则 tan <tan . 3 5 3 5 [类题通法] 利用三角函数线比较大小的步骤 利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:①角的位置要“对号入座”; ②比较三角函数线的长度;③确定有向线段的正负. [活学活用] 设 π π π 3π <α < ,试比较角 α 的正弦线、余弦线和正切线的长度.如果 <α < ,上述长 4 2 2 4 度关系又如何? π π 解:如图所示,当 <α < 时,角 α 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT,显然 4 2 在长度上,AT>MP>OM; -3- 当 π 3π <α < 时,角 α 的正弦线为 M′P′,余弦线为 OM′,正切线为 AT′,显然在长度 2 4 上,AT′>M′P′>OM′. 利用三角函数线解不等式 [例 3] 利用三角函数线,求满足下列条件的 α 的范围. 1 3 (1)sin α <- ;(2)cos α > . 2 2 1? ? [解] (1)如图①,过点?0,- ?作 x 轴的平行线交单位圆于 P,P′两点,则 sin∠xOP 2? ? 1 11π 7π =sin∠xOP′=- ,∠xOP= ,∠xOP′= , 2 6 6 故 α 的范围是?α ? ? ? ?7π +2kπ <α <11π +2kπ ,k∈Z? ? 6 ? 6 ? . (2)如图②,过点? ? 3 ? ,0?作 x 轴的垂线与单位圆交于 P,P′两点,则 cos∠xOP=cos∠ ?2 ? xOP′= 3 π π ,∠xOP= ,∠xOP′=- , 2 6 6 . ? ? π ? π 故 α 的范围是?α ?- +2kπ <α < +2kπ ,k∈Z? 6 ? ? 6 ? [类题通法] 利用三角函数线解三角不等式的方法 利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的方法,求解关键是恰当地寻求点.一 般来说,对于 sin x≥b,cos x≥a(或 sin x≤b,cos x≤a),只需作直线 y=b,x=a 与单 位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的 x 的 范围;对于 tan x≥c(或 tan x≤c),则取点(1,c),连接该点和原点即得角的终边所在的位 -4- 置,并反向延长,结合图象可得. [活学活用] 利用三角函数线求满足 tan α ≥ ? ? ? π 答案:?α ?k?π + 6 ? ? ? 3 的角 α 的范围. 3 ? ? π ≤α <k?π + ,k∈Z? 2 ? ? 2.三角

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