高中数学第二章概率1离散型随机变量及其分布列课件北师大选修2_3_图文

知识点一 理解教材新知
§1

知识点二 考点一

第 二 章

离散 型随 机变 量及 其分 布列

把握热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

§ 1

离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量

(1)掷一枚均匀的骰子,出现的点数. (2)在一块地里种下 10 颗树苗,成活的棵数. (3)一个袋中装有 10 个红球,5 个白球,从中任取 4 个球, 所含红球的个数. 问题 1:上述现象有何特点?

提示:各现象的结果都可以用数表示.

问题 2:现象(3)中红球的个数 x 取什么值?

提示:x=0,1,2,3,4.
问题 3:掷一枚硬币,可能出现正面向上,反面向上,其 结果能用数字表示吗?

提示:可以,如用数 1 和 0 分别表示正面向上和反面向 上.

1.随机变量 将随机现象中试验 ( 或观测 ) 的每一个可能的结果都对应于
一个数 ,这种_____ 对应 称为一个随机变量,通常用大写的英文字 ________

母 X,Y 来表示. 2.离散型随机变量
一一列举出来 , 如果随机变量 X 的所有可能的取值都能够_____________

这样的随机变量称为离散型随机变量.

离散型随机变量的分布列

1.抛掷一枚均匀的骰子,用 X 表示骰子向上一面的点数. 问题 1:X 的可能取值是什么?
提示:X=1,2,3,4,5,6.

问题 2:X 取不同值时,其概率分别是多少?

1 提示:都等于 . 6

问题 3:试用表格表示 X 和 P 的对应关系.
提示: X 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 P 6 6 6 6 6 6
问题 4:试求概率和.
提示:其和等于 1.

1.离散型随机变量的分布列的定义 设离散型随机变量 X 的取值为 a1,a2…,随机变量 X 取 ai 的 概率为 pi(i=1,2,…),记作: pi (i=1,2,…),(1) P(X=ai)=___ 或把上式列成表 X=ai P(X=ai) a1 a2 … p1 __ p2 … __

上表或(1)式称为离散型随机变量 X 的分布列. 2.离散型随机变量的性质
p1+p2+p3+…=1 pi>0 ;(2)___________________. (1)________

1.随机试验中,确定了一个对应关系,使每一个试验结 果用一个确定的数字表示, 这些数字随着试验结果的变化而变 化,称为随机变量. 2.判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随 机变量的所有可能取值能否一一列出. 3.求离散型随机变量的分布列关键是搞清随机变量所取 的所有可能值,以及对应的概率.

随机变量的概念

[例 1]

写出下列各随机变量可能的取值,并说明随机变量

所取的值所表示的随机试验的结果: (1)从一个装有编号为 1 号到 10 号的 10 个球的袋中,任取 1 球,被取出的球的编号为 X; (2)一个袋中装有 10 个红球,5 个白球,从中任取 4 个球, 其中所含红球的个数为 X;
(3)投掷两枚骰子,所得点数之和为 X.

[思路点拨]
[精解详析]

把随机变量的取值一一列举出来,再说明每一

取值与试验结果的对应关系.
(1)X 的可能取值为 1,2,3,…,10,X=k(k=

1,2,…,10)表示取出第 k 号球. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4.X=k 表示取出 k 个红球,(4- k)个白球,其中 k=0,1,2,3,4. (3)X 的可能取值为 2,3,4,…,12.若以(i,j)表示投掷甲、乙 两枚骰子后, 骰子甲得 i 点, 且骰子乙得 j 点, 则 X=2 表示(1,1); X=3 表示(1,2),(2,1);X=4 表示(1,3),(2,2),(3,1);…;X=12 表示(6,6).

[一点通 ]

解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可

能的取值,以及取每一个值时对应的意义,即随机变量的一个 取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程不要漏掉 某些试验结果.

1.下列变量中属于离散型随机变量的有________. ①在 2 014 张已编号的卡片(从 1 号到 2 014 号)中任取一张, 被取出的编号数为 X; ②连续不断射击,首次命中目标需要的射击次数 X; ③从 2 014 张已编号的卡片(从 1 号到 2 014 号)中任取 3 张, 被取出的卡片的号数和 X; ④某工厂加工的某种钢管,外径与规定的外径尺寸之差 X; ⑤投掷一枚骰子,六面都刻有数字 6,所得的点数 X.

解析: ①②③中变量 X 的所有可能取值是可以一一列举出来的, 是离散型随机变量.④中 X 的取值为某一范围内的实数,无法 全部列出,不是离散型随机变量.⑤中 X 的取值确定,是 6,不 是随机变量.

答案:①②③

2.在 8 件产品中,有 3 件次品,5 件正品,从中任取一件,取到 次品就停止,设抽取次数为 X,则 X=3 表示的试验结果是 ________.

解析:X=3 表示前 2 次均是正品,第 3 次是次品.
答案:共抽取 3 次,前 2 次均是正品,第 3 次是次品

3.抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子 掷出的点数之差为 X,试求 X 的集合,并说明“X>4”表示的试 验结果.
解:设第一枚骰子掷出的点数为 x,第二枚骰子掷出的点数 为 y,其中 x,y=1,2,3,4,5,6. 依题意得 X=x-y. 则-5≤X≤5, 即 X 的集合为{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}. 则 X>4?X=5,表示 x=6,y=1, 即第一枚骰子掷出 6 点,第二枚骰子掷出 1 点.

离散型随机变量分布列的性质
[例 2] 已知随机变量 X 的分布列: X= i P(X=i) (1)求 a; (2)求 P(X≥4),P(2≤X<5). 1 1 10 2 3 10 3 a 4 1 10 5 1 10

[思路点拨]

(1)利用分布列中所有概率和为 1 的性质求解.

(2)借助互斥事件概率求法求解.

1 3 1 1 [精解详析] (1)由 + +a+ + =1, 10 10 10 10 2 得 a= . 5 1 1 1 (2)P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)= + = , 10 10 5 P(2≤X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) 3 2 1 = + + 10 5 10 4 = . 5

[ 一点通 ] 题:

利用分布列的性质解题时要注意以下两个问

(1)X 的各个取值表示的事件是互斥的. (2)p1+p2+…=1,且 pi>0,i=1,2,….

4.设随机变量 X 的分布列为 值为 A.1 11 C. 13

?1? ? ?i,i=1,2,3,则 P(X=i)=a· ?3?

a的 )

( 9 B. 13 27 D. 13

1 解析:由分布列的性质,知 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=a· 3
?1? ?1? 13 27 2 3 ? ? ? ? +a· +a· = a=1.∴a= . 3 3 27 13 ? ? ? ?

答案:D

k 5.设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= ,k=1,2,3,4.求: 10 (1)P(X=1 或 X=2);
?1 7? (2)P?2<X<2?. ? ?

k 解:∵P(X=k)= ,k=1,2,3,4, 10 (1)P(X=1 或 X=2)=P(X=1)+P(X=2) 1 2 3 = + = . 10 10 10
?1 7? (2)P?2<X<2? ? ?

=P(X=1 或 X=2 或 X=3) 4 6 3 =1-P(X=4)=1- = = . 10 10 5

离散型随机变量的分布列

[例 3]

(10 分)袋中装有编号为 1~6 的同样大小的 6 个球,

现从袋中随机取 3 个球,设 X 表示取出 3 个球中的最大号码, 求 X 的分布列. [思路点拨] 先确定 X 的所有可能取值,然后分别求出 X 取各值时的概率即可.

[精解详析] 根据题意, 随机变量 X 的所有可能取值为 3,4,5,6. X=3,即取出的 3 个球中最大号码为 3,其他 2 个球的号码 C2 1 2 为 1,2.所以,P(X=3)= 3= ; C6 20 (2 分)

X=4,即取出的 3 个球中最大号码为 4,其他 2 个球只能在 号码为 1,2,3 的 3 个球中取. C2 3 3 所以,P(X=4)= 3= ; C6 20 (4 分)

X=5,即取出的 3 个球中最大号码为 5,其他 2 个球只能在 号码为 1,2,3,4 的 4 个球中取.

C2 3 4 所以,P(X=5)= 3= ; C6 10

(6 分)

X=6,即取出的 3 个球中最大号码为 6,其他 2 个球只能 在号码为 1,2,3,4,5 的 5 个球中取. C2 1 5 所以,P=(X=6)= 3= . C6 2 所以,随机变量 X 的分布列为 X=xi P(X=xi) 3 1 20 4 3 20 5 3 10 6 1 2
(10 分)

(8 分)

[ 一点通 ]

(1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散

型随机变量 X 取每一个值时对应的随机事件, 然后利用排列组合 知识求出 X 取每个值的概率,最后列出分布列. (2)求离散型随机变量 X 的分布列的步骤:首先确定 X 的所 有可能的取值;其次,求相应的概率 P(X=xi)=pi;最后列成表 格的形式.

6.在射击的试验中,令

? ?1, 射中, X=? ? ?0,未射中,

如果射中的概率为

0.8,求随机变量 X 的分布列.
解:由 P(X=1)=0.8,得 P(X=0)=0.2.所以 X 的分布 列为: X=xi P(X=xi) 1 0.8 0 0.2

7.(天津高考改编)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4;白色卡片 3 张, 编号分别为 2,3,4. 从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相 同). (1)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率; (2)在取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求 随机变量 X 的分布列.

解: (1)设“取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片”为事件 A,
3 2 2 C1 C + C 6 2 5 2C5 则 P(A)= = . 4 C7 7

6 所以,取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率为 . 7 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.
3 C3 1 C 4 3 4 P(X=1)= 4= ,P(X=2)= 4= , C7 35 C7 35 3 C3 2 C 4 5 6 P(X=3)= 4= ,P(X=4)= 4= . C7 7 C7 7

所以随机变量 X 的分布列为 X P 1 1 35 2 3 4

4 2 4 35 7 7

8.(湖南高考改编)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信 息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的 相关数据,如下表所示:
一次购物 量 1至 4件 5至 8件 9至12件 13至16件 17件及以上

顾客数(人)
结算时间 (分钟/人)

x
1

30
1.5

25
2

y
2.5

10
3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)求 x,y 的值; (2)将频率视为概率,求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列.

解: (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y= 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的 简单随机样本,将频率视为概率得 15 3 30 3 P(X=1)= = ,P(X=1.5)= = , 100 20 100 10 25 1 20 1 P(X=2)= = ,P(X=2.5)= = , 100 4 100 5

10 1 P(X=3)= = . 100 10 X 的分布列为
X 1 1.5 2 2.5 1 5 3 1 10

3 3 1 P 20 10 4

1.随机变量 X 是关于试验结果的函数,即每一个试验结 果对应着一个实数;随机变量 X 的线性组合 Y=aX+b(a,b 是常数)也是随机变量. 2.离散型随机变量 X 的分布列实质上就是随机变量 X 与 这一变量所对应的概率 P 的分布表, 它从整体上反映了随机变 量取各个值的可能性的大小,反映了随机变量取值的规律.


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